专题36和反比例函数有关的最值问题（原卷版）

专题36和反比例函数有关的最值问题1．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形，则三角形面积的最小值为（

）A． B． C．1 D．2．（2021春·江苏扬州·八年级统考期末）对于反比例函数，如果当≤≤时有最大值，则当≥8时，有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值= D．最小值=3．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则______．4．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，点A（a，2）、B（﹣2，b）都在双曲线y=上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是y=x+，则k=__．5．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，B两点，点C在x轴上运动，连接AC，点Q为AC中点，若点C运动过程中，的最小值为2，则_______________．6．（2021春·江苏常州·八年级统考期末）已知函数与函数的部分图像如图所示，有以下结论：①当时，都随x的增大而增大；②当时，；③的图像的两个交点之间的距离是2；④函数的最小值为2；则所有正确的结论是_________．三、解答题7．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）（1）【阅读理解】对于任意正实数、．∵，∴，∴，只有当时，．结论：在均为正实数中，若为定值，则只有当时，有最小值，根据上述内容，回答下列问题：问题：若，当______时，有最小值为______．问题：若函数，则当______时，函数有最小值为______．（2）【探索应用】如图，已知、，为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．8．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）阅读下列材料，回答问题：对任意的实数a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．易知当a＝b时，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．若a≠b，则（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．[类比论证]对于任意正实数a、b，∵≥0，∴a+b______2（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”）[结论应用]若a＞0，则当a＝_____时，代数式a+有最小值为_____[问题解决]①某汽车零件生产公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共3600元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元（元），三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？②如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y＝（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．则四边形ABCD面积的最小值为____．9．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：_________，_________，_________（2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数a、b，a＋b_________（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”），并说明理由；（3）结论应用：若a＞0，则当a＝_________时，有最小值；若b＞0，有最小值，最小值为_________；（4）问题解决：如图，已知点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，且AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C．四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点A的坐标；若不存在，说明理由10．（2022春·江苏泰州·八年级校考期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+2及双曲线y＝（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m（m＞0）．(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．(2)如图②过C、D两点分别作轴交直线AB于C'，D'，当CDAB时，①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．②若k＝6，且满足m＝a﹣4+，求d的最大值．11．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x＞0）和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1）．在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：(1)设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为（1＜x＜9）；(2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象：①列表：x123469y0m4n0表中m＝，n＝；②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点．③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，当x＝时，y的最大值为．(3)应用：①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长．②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值．12．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）通过构造适当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．(1)【理解】如图①，，垂足分别为是的中点，连接，已知，（）．①已知可以用表示，请用含的代数式表示CE的长；②比较大小：（填“”“”或“”），并用①中的结论证明该大小关系．(2)【应用】如图②，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（）的图像上，横坐标分别为．设，，记．①当时，，当时，；②通过归纳猜想，可得的最小值是．请利用图②构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．13．（2021春·江苏扬州·八年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点为原点，点的坐标为，正方形的顶点在轴的负半轴上，点在第二象限．现将正方形绕点顺时针旋转角得到正方形．(1)如图2，若，求直线的函数表达式．(2)若，当取得最小值时，求过正方形的顶点的反比例函数解析式．14．（2021春·江苏宿迁·八年级校考期中）【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立．【数学认识】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则，只有当时，有最小值(1)【解决问题】若时，有最小值为___________，此时x＝___________(2)如图，已知点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，轴，过点A作AD上y轴于点D，过点B作BC上y轴于点C，求四边形ABCD周长的最小值．15．（2021春·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考期末）[阅读理解]对于任意正实数a、b．,只有当a=b时，等号成立．[数学认