第3节　向心加速度 教学设计

第3节向心加速度[学习目标]1．理解向心加速度的产生及向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，知道其方向总是指向圆心且时刻改变．2．知道决定向心加速度的有关因素，并能利用向心加速度公式进行有关计算．知识点1匀速圆周运动的加速度方向1．向心加速度：做匀速圆周运动的物体指向圆心的加速度．2．方向：沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直．[判一判]1．(1)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动．()(2)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直．()(3)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零．()(4)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心，大小不变．()提示：(1)×(2)√(3)×(4)√知识点2匀速圆周运动的加速度大小向心加速度的大小：an＝eq\f(v2,r)或an＝ω2r．[判一判]2．(1)变速圆周运动的向心加速度的方向不指向圆心，大小变化．()(2)根据a＝eq\f(v2,r)知加速度a与半径r成反比．()提示：(1)×(2)×[想一想]地球在不停地公转和自转，关于地球的自转，思考以下问题：地球上各地的角速度大小、线速度大小、向心加速度大小是否相同？提示：地球上各地自转的周期都是24h，所以地球上各地的角速度大小相同，但由于各地自转的半径不同，根据v＝ωr可知各地的线速度大小不同．地球上各地自转的角速度相同，半径不同，根据an＝ω2r可知，各地的向心加速度大小因自转半径的不同而不同．1．(对向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法中，正确的是()A．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化B．向心加速度的方向始终保持不变C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直解析：选D.向心加速度的方向始终沿半径方向指向圆心，与速度垂直，它的方向始终在改变，故B错误，D正确；匀速圆周运动的向心加速度的大小始终不变，但是方向时刻改变，所以匀速圆周运动的向心加速度时刻改变，故A、C错误．2．(对向心加速度公式的理解)对于做匀速圆周运动的质点，下列说法正确的是()A．根据公式a＝eq\f(v2,r)，可知其向心加速度a与半径r成反比B．根据公式a＝ω2r，可知其向心加速度a与半径r成正比C．根据公式ω＝eq\f(v,r)，可知其角速度ω与半径r成反比D．根据公式ω＝2πn，可知其角速度ω与转速n成正比解析：选D.物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关，但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能成立．当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比．对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论．正确选项为D.3．(向心加速度大小的计算)一物体以4m/s的速率沿圆弧运动，角速度为πrad/s，则物体在运动过程中某时刻的速度变化率的大小为()A．2m/s2 B．4m/s2C．0 D．4πm/s2解析：选D.由题意知物体做匀速圆周运动，则在运动过程中某一时刻的速度变化率即加速度的大小均是相同的，由a＝rω2、v＝rω得a＝vω＝4πm/s2，D正确．4．(对圆周运动参量的考查)如图所示，假设地球绕地轴自转时，在其表面上有A、B两物体(图中阴影平面表示赤道平面)，图中θ1和θ2已知，则()A．角速度之比ωA∶ωB＝sinθ1∶sinθ2B．线速度之比vA∶vB＝sinθ1∶cosθ2C．周期之比TA∶TB＝sinθ1∶sinθ2D．A、B两物体的向心加速度之比为sin2θ1∶sin2θ2解析：选B.A、B两物体随地球一起转动，角速度相同，根据T＝eq\f(2π,ω)可知，周期相同，故A、C错误；根据v＝rω可知，角速度相等时，线速度与轨道半径成正比，则vA∶vB＝(Rsinθ1)∶(Rcosθ2)＝sinθ1∶cosθ2，故B正确；根据an＝vω可知，角速度相等时，向心加速度与线速度成正比，则aA∶aB＝vA∶vB＝sinθ1∶cosθ2，故D错误．探究一对向心加速度的理解【情景导入】1．如图甲所示，游客乘坐摩天轮做匀速圆周运动时，有加速度吗？方向向哪？甲乙2．如图乙所示，小球在拉力作用下做匀速圆周运动，小球受几个力？合力方向如何？产生的加速度指向哪个方向？提示：1.有加速度指向圆心2．两个力合力指向轨迹圆心加速度指向轨迹圆心1．向心加速度的物理意义描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢．2．向心加速度的方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．3．圆周运动的性质不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．【例1】(多选)关于向心加速度，以下说法正确的是()A．物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度B．物体做圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度C．物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心D．物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心[解析]物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度；物体做变速圆周运动时，向心加速度只是合加速度的一个分量，A正确，B错误；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；物体做变速圆周运动时，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度不再指向圆心，C错误，D正确．[答案]AD[针对训练1]如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么()A．加速度为零B．加速度恒定C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心解析：选D.由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．探究二向心加速度的大小【情景导入】如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：(1)A和B两个点的向心加速度与半径有什么关系？(2)B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？提示：(1)A、B两个点的线速度大小相同，向心加速度与半径成反比．(2)B、C两个点的角速度相同，向心加速度与半径成正比．1．向心加速度的公式an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.2．对向心加速度大小与半径关系的理解(1)当r一定时，an∝v2，an∝ω2.(2)当v一定时，an∝eq\f(1,r).(3)当ω一定时，an∝r.(4)an与r的关系图像如图所示．要想通过an－r图像确定an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定．【例2】(2022·长春外国语学校期中)如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上有两个小物块A、B，它们距圆盘中心的距离分别为r和2r，它们随圆盘一起匀速转动，关于小物块A、B各物理量之比正确的是()A．角速度之比ωA∶ωB＝1∶1B．周期之比TA∶TB＝1∶2C．线速度之比vA∶vB＝1∶1D．向心加速度之比aA∶aB＝2∶1[解析]两物体同轴转动，则角速度相等，即角速度之比ωA∶ωB＝1∶1；根据T＝eq\f(2π,ω)可知周期之比TA∶TB＝1∶1；根据v＝ωr可知，线速度之比vA∶vB＝1∶2；根据a＝ωv可知向心加速度之比aA∶aB＝1∶2.[答案]A【例3】如图所示的皮带传动装置中，轮B和C同轴，轮A和B通过皮带传动连接(皮带和轮无相对滑动)，且其半径RA＝RC＝2RB，则轮A、B、C边缘上的点的向心加速度之比aA∶aB∶aC等于()A．4∶2∶1 B．2∶1∶2C．1∶2∶4 D．4∶1∶4[解析]由于B轮和A轮是皮带传动，皮带传动的特点是两轮与皮带接触点的线速度的大小与皮带的线速度大小相同，故vA＝vB，vB∶vA＝1∶1；由于C轮和B轮共轴，故两轮角速度相同，即ωC＝ωB，故ωC∶ωB＝1∶1，由角速度和线速度的关系式v＝ωR可得vC∶vB＝RC∶RB＝2∶1，则vA∶vB∶vC＝1∶1∶2，又因为RA＝RC＝2RB，根据a＝eq\f(v2,r)得：aA∶aB∶aC＝1∶2∶4，故选C.[答案]C【例4】如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球．若给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆．设细绳与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，下列说法中正确的是()A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用B．小球的线速度v＝eq\r(gLtanθ)C．小球的角速度ω＝eq\f(gtanθ,L)D．小球的向心加速度an＝gtanθ[解析]小球只受重力和绳的拉力，向心力是根据力的作用效果命名的，不是实际受到的力，故A错误；小球做匀速圆周运动，有mgtanθ＝meq\f(v2,Lsinθ)＝mLω2sinθ，可解得小球的线速度和角速度分别为v＝eq\r(gLsinθ·tanθ)，ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ))，故B、C错误；小球做匀速圆周运动，向心加速度为an＝eq\f(mgtanθ,m)＝gtanθ，故D正确．[答案]D[针对训练2](多选)一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周的半径为4.0m，线速度为2.0m/s，则小孩做圆周运动的()A．角速度ω＝0.5rad/sB．周期T＝8πsC．转速n＝eq\f(1,4π)r/sD．向心加速度a＝2m/s2解析：选AC.圆周的半径r＝4.0m，线速度v＝2.0m/s，则圆周运动的角速度ω＝eq\f(v,r)＝0.5rad/s，故A正确；圆周运动的周期为T＝eq\f(2πr,v)＝4πs，故B错误；转速n＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,4π)r/s，故C正确；向心加速度a＝eq\f(v2,r)＝1m/s2，故D错误．[针对训练3]如图所示，O、O′为两个皮带轮，O轮的半径为r，O′轮的半径为R，且R>r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O′轮上的任意一点，当皮带轮转动时，(设转动过程中不打滑)则()A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度解析：选A.在O′轮的边缘上取一点Q，则Q点和N点在同一个轮子上，其角速度相等，即ωQ＝ωN，又rQ>rN，由向心加速度公式an＝ω2r可知aQ>aN；由于皮带转动时不打滑，Q点和M点都在由皮带传动的两个轮子边缘上，这两点的线速度大小相等，即vQ＝vM，又rQ>rM，由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)可知，aQ<aM，所以aM>aN，A正确．[A级——合格考达标练]1．(多选)下列说法中正确的是()A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动D．匀速圆周运动的加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，加速度的方向发生了变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动解析：选BD.做匀速圆周运动的物体，速度的大小不变，但方向时刻改变，所以必有加速度，且加速度大小不变，方向时刻指向圆心，加速度不恒定，因此匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动，故A、C错误，B、D正确．2．中国保护大熊猫研究中心之一的雅安碧峰峡基地位于东经103°，北纬30°.地球可以看作半径为R的球体，则在该中心处的物体与赤道上的物体随地球自转的向心加速度之比为()A.eq\r(3)∶3 B.eq\r(3)∶2C．2∶eq\r(3) D．1∶2解析：选B.向心加速度a＝rω2，在该中心处的物体与赤道上的物体随地球自转的角速度相同，所以加速度之比为轨道半径之比，即Rcos30°∶R＝eq\r(3)∶2，B正确．3．两架飞机在空中沿水平面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路径之比为2∶3，运动方向改变的角度之比为4∶3.它们的向心加速度之比为()A．2∶3 B．8∶9C．2∶1 D．1∶2解析：选B.两架飞机做匀速圆周运动，由于在相同的时间内它们通过的路程之比是2∶3，所以它们的线速度之比为v1∶v2＝2∶3；由于在相同的时间内运动方向改变的角度之比是4∶3，所以它们的角速度之比为ω1∶ω2＝4∶3；由于向心加速度a＝vω，故向心加速度之比为a1∶a2＝8∶9.4．如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑．图中有A、B、C三点，这三点所在处半径rA>rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC间的关系是()A．aA＝aB＝aC B．aC>aA>aBC．aC<aA<aB D．aC＝aB>aA解析：选C.A、B两点通过同一根皮带传动，线速度大小相等，即vA＝vB，由于rA>rB，根据a＝eq\f(v2,r)可知aA<aB；A、C两点绕同一转轴转动，有ωA＝ωC，由于rA>rC，根据a＝ω2r可知aC<aA，所以aC<aA<aB，故C正确，A、B、D错误．5．如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在竖直平面内做变速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是()解析：选D.由于圆周运动不是直线运动，故加速度的方向与速度方向不在同一直线上，A错误．由于是变速圆周运动，不仅小球的速度方向发生变化，且在图示位置速度的大小也发生变化，故加速度的方向一定不沿半径指向圆心，B错误．在曲线运动中，加速度的方向应指向运动轨迹的内侧，C错误，D正确．6.如图所示，在光滑水平面上，轻弹簧的一端固定在竖直转轴O上，另一端连接质量为m的小球，轻弹簧的劲度系数为k，原长为L，小球以角速度ω绕竖直转轴做匀速圆周运动(k>mω2)．则小球运动的向心加速度为()A．ω2L B.eq\f(kω2L,k－mω2)C.eq\f(kωL,k－mω2) D.eq\f(ω2L,k－mω2)解析：选B.设弹簧的形变量为x，则有：kx＝mω2(x＋L)，解得：x＝eq\f(mω2L,k－mω2)，则小球运动的向心加速度为a＝eq\f(kx,m)＝eq\f(kω2L,k－mω2)，B正确．7．如图所示，转动自行车的脚踏板时，关于大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的A、B、C三点的向心加速度的说法正确的是()A．A点的向心加速度比B点的大B．B点的向心加速度比C点的大C．C点的向心加速度最大D．以上三种说法都不正确解析：选C.因A、B线速度相等，则应用向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)，又因A的半径大于B的半径，可知，A的向心加速度小于B的向心加速度，故A错误；B与C绕同一转轴转动，角速度相等，根据an＝ω2r可知半径大的向心加速度大，则C的加速度大，故B错误；由以上分析可知，C点的向心加速度最大，故C正确，D错误．[B级——等级考增分练]8.2021年11月8日，中国载人航天工程空间站顺利完成第三次航天员出舱活动，本次出舱先后完成了机械臂悬挂装置与转接件安装测试工作．机械臂绕图中O点旋转时，旋转臂上A、B两点的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a的关系正确的是()A．vA＞vB、aA＞aB B．vA＜vB、TA＝TBC．ωA＞ωB、aA＞aB D．vA＜vB、ωA＞ωB解析：选B.在旋转过程中，各点都绕O点转动，所以各点的周期是相同的，根据ω＝eq\f(2π,T)可知，A、B两点的角速度也是相等的，根据v＝rω可知，B点线速度要大，故A、C、D错误，B正确．9．地下车库为了限制车辆高度，现已采用如图所示曲杆道闸．道闸总长3m，由相同长度的转动杆AB与横杆BC组成．B、C为横杆的两个端点，道闸工作期间，横杆BC始终保持水平，转动杆AB绕A点匀速转动过程中，下列说法正确的是()A．C点加速度大小一直在变B．B点的加速度不变C．C点的运动轨迹为一条直线D．AB杆上各点的角速度均相等解析：选D.转动杆AB绕A点匀速转动过程中，横杆BC始终保持水平，BC两个端点相对静止，因此C端点做匀速圆周运动，加速度大小不变，A错误；B点做匀速圆周运动，加速度大小不变，方向指向圆心，时刻改变，B错误；根据前面选项分析，C点做匀速圆周运动，C错误；根据前面选项分析，转动杆AB上各点属于同轴转动，角速度相等，D正确．10．如图所示，半径为R的圆环竖直放置，一轻弹簧一端固定在环的最高点A，一端系一带有小孔穿在环上的小球，弹簧原长为eq\f(2,3)R.将小球从静止释放，释放时弹簧恰无形变，小球运动到环的最低点时速率为v，这时小球的向心加速度的大小为()A.eq\f(