2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（配湘教版）3.2.2 双曲线的简单几何性质

3.2.2双曲线的简单几何性质A级必备知识基础练1.双曲线x29-y216=A.2 B.4 C.5 D.82.离心率为2的双曲线x2a2-y2b2=1(A.5x±y=0 B.x±y=0 C.x±3y=0 D.3x±y=03.已知双曲线C的离心率为e=43,虚轴长为27,则其标准方程为(A.x24B.x24-y23C.x29-y27D.x29-y274.双曲线C:x22-y2m=1(m>0)的一条渐近线的方程为2x+y=0,A.2 B.2 C.4 D.55.已知双曲线的方程为x2-y22=1,则下列叙述正确的是(A.焦点坐标为(±1,0) B.渐近线方程为y=±2xC.离心率为2 D.实轴长为226.(多选题)若双曲线C的一个焦点为F(5,0),P是双曲线上一点,且双曲线的渐近线方程为y=±43x,则下列结论正确的是(A.C的标准方程为x29B.C的离心率为5C.焦点到渐近线的距离为3D.|PF|的最小值为27.已知点(3,0)是双曲线x2-y2b2=1(b>0)的一个焦点,则b=,顶点到渐近线的距离为8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e=233,过点A(0,-b)B级关键能力提升练9.[2024甘肃武威高二统考阶段练习]已知双曲线x2m-y26=1的离心率为5,A.2 B.3C.2 D.310.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m等于()A.-14 B.-4C.4 D.111.(多选题)已知双曲线x2m-y2m2-A.离心率的最小值为4B.当m=2时,离心率最小C.离心率最小时,双曲线的标准方程为x22D.离心率最小时,双曲线的渐近线方程为3x±y=012.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过左焦点F1作垂直于x轴的直线交双曲线的两条渐近线于M,N两点,若∠MFA.(2,+∞) B.(5,+∞) C.(1,2) D.(1,5)13.[2023全国甲,理8]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,A.15 B.5C.255 D14.[2024甘肃白银高三联考阶段练习]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线D:x2-y23=1有相同的焦点F1,F2,且它们的离心率互为倒数,P是C与D的一个公共点,15.焦距为2c的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),如果满足“2(1)若双曲线C是“等差双曲线”,求其渐近线的方程;(2)对于焦距为10的“等差双曲线”,若过点M(0,2)的直线l与其仅有一个公共点,求直线l的方程.C级学科素养创新练16.已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线C上的点A满足|AF1|=2|AF2|,且AF1的中点在yA.3+12 B.3 C.2 D.3

3.2.2双曲线的简单几何性质1.D由x29-y216=1,知a=3,故选D.2.D由题意,双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为e=ca=2,则a∶b∶所以双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax=±3x,即3.D由题意可得2b=27,所以b=7.又因为e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=44.D根据题意,双曲线C:x22-y2m=1(则有m2=2,即m=8,则双曲线的方程为x22-y28=1,其中a=2,b=22,则c=10,5.B由已知得a=1,b=2,c=3,所以实轴长为2a=2,焦点坐标为(±3,0),离心率为e=ca=3,故双曲线的渐近线方程为y=±2x,故B正确.故选B.6.AD由于双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线的标准方程为x2a2-y2所以渐近线的方程为y=±bax,即bx±ay=0,由题意43=ba,再由c2=a2+b2=a2+43a2=259a2=25,可得a2所以双曲线的标准方程为x29-y216离心率e=ca=53,焦点F到渐近线的距离d=bca2+b2=b=|PF|的最小值为c-a=5-3=2,故D正确.故选AD.7.22223因为点(3,0)是双曲线x2-y2b2=1(b>0)的一个焦点,所以a=1,c=3,所以b=22,于是双曲线的渐近线方程为y=±22x,顶点为8.解∵e=233,∴ca=∴a2=3b2.①又直线AB的方程为bx-ay-ab=0,∴直线AB与原点之间的距离d=aba即4a2b2=3(a2+b2).②解①②组成的方程组,得a2=3,b2=1.∴双曲线的标准方程为x23-y2=9.B由双曲线x2m-y26=1,得a2所以a=m,c=a2则e=ca=m+6m=5,10.A双曲线方程化为标准形式y2-x2-1m=1,则有a2=1,b2=-1m,由题设条件知,2=-11.BCD由双曲线的方程可得a2=m,b2=m2-m+4,所以c2=a2+b2=m+m2-m+4=m2+4,所以双曲线的离心率e=ca=当且仅当m=4m且m>0,即m=2时,等号成立故A不正确,B正确;离心率最小时m=2,这时双曲线的标准方程为x22-y26=1,渐近线方程为3x±故选BCD.12.B如图所示.∵双曲线x2a2-y2b2=1(过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线渐近线于M,N两点,∴|MF1|=|NF1|=bca,|F1F2|=2c∵∠MF2N是钝角,∴∠MF2F1>45°,∴|F1F2|<|MF1|,即2c<bca,∴2ac<bc整理得4a2<b2,由e2=1+b2a解得e>5或e<-5(舍去),故选B.13.D由e=ca=5,得c=5a,所以b=c2-a2=2a.所以双曲线的渐近线为y=±bax=±2x.由题意知,双曲线的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点又圆心(2,3)到渐近线2x-y=0的距离d=|2×2-3|22+(-1)2=5514.6由题可知,F1(-2,0),F2(2,0),D的离心率为2,则C的离心率为12,则a=4,b=23根据对称性,不妨设P在第一象限,则|PF则|PF1|2=|PF则△PF1F2的面积为12|PF2||F1F2|=615.解(1)联立2b=a+c,c2=a2+(2)根据题意可知2c=10,所以c=5,由(1)得3b=4a,所以a=3,b=4,故双曲线的标准方程为x29-又因为过点M(0,2)的直线l与双曲线仅有一个公共点,所以直线l平行于该双曲线的渐近线,即直线l的斜率k=±43,故所求直线l的方程为y=43x+2或y=-4316.B设F1(-c,0),F2(c,0),由双曲线C上的点A满足|AF1|=2|A