沪科版九年级数学 21.2 二次函数的图象和性质（学习、上课课件）

21.2二次函数的图象和性质第二十一章二次函数与反比例函数第1课时二次函数y=ax

2

的图象和性质逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2二次函数y=ax2

的图象的画法二次函数y=ax2

的图象和性质知1－讲感悟新知知识点二次函数y=ax2的图象的画法1用描点法画二次函数y=ax2

的图象的步骤感悟新知知1－讲特别提醒用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的.在画二次函数图象时，画的线必须平滑，顶端不能画成尖的，一般来说，选点越多，图象越精确，但也要具体问题具体分析.知1－练感悟新知

例1解题秘方：用描点法，按列表→描点→连线这三个步骤作图.知1－练感悟新知解：列表如下：x

…-4-3-2-101234……84.520.500.524.58……-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8……42.2510.2500.2512.254…

知1－练感悟新知描点、连线，即得三个函数的图象，如图21.2-1所示.知1－练感悟新知1-1.如图，函数y=－2x2的图象是(

)A.①B.②C.③D.④C感悟新知知2－讲知识点二次函数y=ax2的图象和性质21.抛物线的概念观察函数y=x2

的图象知它是一条关于y

轴对称的曲线，我们把这条曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2

的图象都是抛物线，二次函数y=ax2

的图象可以简称为抛物线y=ax2.感悟新知知2－讲2.二次函数y=ax2

的图象和性质a

的符号a﹥0a﹤0图象开口方向开口向上开口向下感悟新知知2－讲续表顶点坐标(0，0)对称轴y

轴(或直线x=0)增减性在对称轴的左侧，即x

﹤0时，y

随x

的增大而减小；在对称轴的右侧，即x

﹥0时，y

随x

的增大而增大在对称轴的左侧，即x

﹤0时，y

随x

的增大而增大；在对称轴的右侧，即x

﹥0时，y

随x

的增大而减小最值当x=0时，y

最小值=0当x=0时，y

最大值=0知2－讲感悟新知要点解读1.判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是y随x的增大而增大，“下坡路”就是y随x的增大而减小.2.在二次函数y=ax2(

a≠0)

中，a的正负决定抛物线的开口方向，|a|决定开口的大小.|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大.3.二次函数y=－ax2(a

≠0)的图象与y=ax2(

a≠0)的图象关于x

轴对称.感悟新知知2－练[母题教材P10练习T2]如图21.2-2，四个二次函数的图象分别对应：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2.①与③，②与④分别关于x轴对称.例2

知2－练感悟新知解题秘方：紧扣y=ax2

中“a

的符号”及“|a|的大小”采用数形结合思想进行解答.知2－练感悟新知(1)比较a，b，c，d

的大小；解：由抛物线的开口方向知a>0，b>0，c<0，d<0.由抛物线的开口大小知|a|>|b|，|c|>|d|，∴a>b，c<d.∴a>b>d>c.知2－练感悟新知(2)说明a

与c，b

与d

的数量关系.解：∵①与③，②与④分别关于x

轴对称，∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反.∴a+c=0，b+d=0.知2－练感悟新知2-1.

[月考·合肥四十六中]如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=2与二次函数y=x2，y=0.5x2的图象分别交于A，B

和C，D，若CD=aAB，则a

的值为(

)A.4B.2C.3D.2D知2－练感悟新知已知函数y=(

m+2)

xm²+m

－4是关于x

的二次函数.(1)求满足条件的m

的值；(2)当m

为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当x

为何值时，y

随x的增大而增大？(3)当m

为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x

为何值时，y

随x

的增大而减小？例3知2－练感悟新知解题秘方：按对称轴的左、右两侧，分x>0和x<0两种情况讨论二次函数的增减性.知2－练感悟新知

已知函数y=(

m+2)

xm²+m

－4是关于x

的二次函数.(1)求满足条件的m

的值；知2－练感悟新知(2)当m

为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当x

为何值时，y

随x的增大而增大？解：若图象有最低点，则图象的开口向上，∴m+2>0，即m>－2.∴m=2.∵这个最低点为图象的顶点，∴最低点的坐标为(0，0).当x>0时，y

随x

的增大而增大.知2－练感悟新知(3)当m

为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x

为何值时，y

随x

的增大而减小？解：若函数有最大值，则图象的开口向下，∴m+2<0，即m<－2.∴m=－3.∵函数的最大值为图象顶点的纵坐标，顶点坐标为(0，0)，∴当m=－3时，函数有最大值0.当x>0时，y

随x

的增大而减小.知2－练感悟新知

C知2－练感悟新知3-2.

[月考·合肥瑶海区]二次函数y=ax2

的图象经过点(

2，－2)

.(1)求这个二次函数的关系式；知2－练感悟新知(2)

当x

为何值时，y

的值随着x

的增大而增大？二次函数y=ax2的图象和性质y随x的增减性最大(小)值y=ax2开口方向最高(低)点图象性质21.2二次函数的图象和性质第二十一章二次函数与反比例函数第2课时二次函数y=ax

2

+bx+c的图象和性质学习目标课时讲解1二次函数y＝ax2＋k的图象和性质二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次函数y＝a(x＋h)2＋k之间的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a，b，c

的符号关系逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时流程2知识点二次函数y＝ax2＋k的图象和性质知1－讲11.二次函数y＝ax2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系它们的形状(开口大小、方向)相同，只是上、下位置不同，二次函数y＝ax2＋k的图象可由二次函数y＝ax2的图象上下平移|k|个单位得到.知1－讲要点提醒a决定抛物线的开口方向和开口大小，所以y＝ax2(a

≠0)与y＝ax2+k(a

≠0)的图象开口方向和开口大小相同，只是位置不同.知1－讲2.二次函数y＝ax2＋k的图象的画法(1)描点法：类比作二次函数y＝ax2图象的描点法，即按列表→描点→连线的顺序作图.(2)平移法：将二次函数y＝ax2的图象向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得二次函数y＝ax2＋k的图象.知1－讲3.二次函数y＝ax2＋k的图象与性质a的符号a＞0a＜0k的符号k＞0k＜0k＞0k＜0图象开口方向向上向下对称轴y轴(直线x＝0)y轴(直线x＝0)知1－讲续表增减性当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大最值当x＝0时，y取得最小值，最小值为k当x＝0时，y取得最大值，最大值为k知1－讲平移规律口诀上加下减，纵变横不变.“上加下减”表示抛物线上下平移的规律.“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即抛物线上下平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.知1－练例1[母题教材P13练习T2]画出函数y＝－x2＋1与y＝－x2－1的图象，并根据图象回答下列问题：解题秘方：紧扣抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2

间的关系及图象的平移规律解答.知1－练解：列表如下：x…－3－2－10123…y＝－x2＋1…－8－3010－3－8…y＝－x2－1…－10－5－2－1－2－5－10…知1－练描点、连线，即可得这两个函数的图象，如图21.2-8所示.知1－练(1)抛物线y＝－x2＋1经过怎样的平移才能得到抛物线y＝－x2－1？解：由图象可以看出，抛物线y＝－x2＋1向下平移2个单位得到抛物线y＝－x2－1.知1－练(2)对于函数y＝－x2＋1，其图象与x轴的交点坐标是________________；对称轴是__________；顶点坐标是__________.(－1，0)，(1，0)y轴(0，1)知1－练感悟新知1-1.

[月考·安庆迎江区]二次函数y=－x2－1的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是(

)A.开口向上B.当x=0时，函数的最大值是－1C.对称轴是直线x=1D.抛物线与x轴有两个交点B知1－练感悟新知1-2.

[中考·荆门]抛物线y

＝x2+3上有两点A(

x1，y1)，B(

x2，y2)，若y1

＜y2，则下列结论正确的是(

)A．0≤x1

＜x2B．x2

＜x1≤0C．x2

＜x1

≤0或0≤x1

＜x2D．以上都不对D知2－讲知识点二次函数y＝a(x+h)2的图象和性质21.

二次函数y＝a(x＋h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系它们的形状(开口大小、方向)相同，只是左、右位置不同，二次函数y＝a(x＋h)2的图象可由二次函数y＝ax2的图象左右平移|h|个单位得到.知2－讲2.二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质a的符号a＞0a＜0图象开口方向向上向下对称轴直线x＝－h知2－讲续表顶点坐标(－h，0)增减性当x<－h时，y随x的增大而减小；当x>－h时，y随x的增大而增大当x<－h时，y随x的增大而增大；当x>－h时，y随x的增大而减小最值当x＝－h时，y最小值＝0当x＝－h时，y最大值＝0知2－讲平移规律口诀左加右减，横变纵不变：1.“左加”表示当h>0时，抛物线y＝ax2沿x轴向左平移h个单位得到抛物线y＝a(x＋h)2；2.“右减”表示当h<0时，抛物线y＝ax2沿x轴向右平移|h|个单位得到抛物线y＝a(x＋h)2；3.“横变纵不变”表示坐标的平移规律，即抛物线左右平移时对应点的横坐标改变而纵坐标不变.知2－练[母题教材P16练习T2]抛物线y=3(x－4)

2

是由抛物线y=3x2

经过怎样的平移得到的？求：(1)开口方向、顶点坐标、对称轴；(2)

y

随x

的变化情况；(3)函数的最大值或最小值．例2知2－练解题秘方：紧扣二次函数图象的平移规律和二次函数y=a(x+h)

2

的图象与性质解题．知2－练解：抛物线y=3(x－4)

2是由抛物线y

＝3x2

向右平移4个单位得到的．抛物线y=3(x－4)

2开口向上，顶点坐标是(4，0)，对称轴是直线x

＝4.(1)开口方向、顶点坐标、对称轴；知2－练(2)

y

随x

的变化情况；(3)函数的最大值或最小值．解：当x<4时，y

随x

的增大而减小；当x>4时，y

随x

的增大而增大．当x＝4时，y

有最小值0，无最大值．知2－练感悟新知2-1.对于y=2(x－3)

2的图象，下列叙述不正确的是(

)A.顶点坐标为(－3，0)B.对称轴为直线x=3C.当x>3时，y

随x

的增大而增大D.当x=3时，y

有最小值0A知3－讲知识点二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质31.二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的关系

y＝a(x＋h)2＋k的图象是由y＝ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位得到的.具体平移规律如下：知3－讲2.

二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质a的符号a＞0a＜0图象的开口方向向上向下对称轴直线x＝－h顶点坐标(－h，k)知3－讲续表函数的增减性当x>－h时，y随x的增大而增大；当x<－h时，y随x的增大而减小当x>－h时，y随x的增大而减小；当x<－h时，y随x的增大而增大最值当x＝－h时，y最小值＝k当x＝－h时，y最大值＝k知3－讲解题策略掌握二次函数顶点式y＝a(x＋h)2＋k的图象特点与性质是解题的关键，即在y＝a(x＋h)2＋k中，a决定开口方向，对称轴为x＝－h，顶点坐标为(－h，k)．顶点是图象的最高点或最低点，同时也是函数增减性变化的分界点．因为从y＝a(x＋h)2＋k中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把y＝a(x＋h)2＋k(a

≠0)叫做二次函数的顶点式.知3－练[母题教材P17练习T1]对于抛物线y=－(x+1)2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y

随x

的增大而减小.其中正确结论有__________.例3解题秘方：紧扣二次函数y=a(x+h)2+k的图象与性质逐一判断.①③④知3－练解：∵a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确；对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为(－1，3)，故③正确；当x>1时，y

随x

的增大而减小，故④正确.知3－练感悟新知3-1.

[月考·合肥]对于抛物线y=－3(

x+2)2

－5，下列判断正确的是(

)A．抛物线的开口向上B．抛物线的顶点坐标是(

2，－5)C．对称轴为直线x=2D．当x>2时，y随着x

的增大而减小D知4－讲知识点二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x+h)2+k之间的关系4

知4－讲2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的画法方法一：描点法.知4－讲方法二：平移法.(1)把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x＋h)2＋k的形式，其图象的顶点坐标为(－h，k)；(2)作出二次函数y＝ax2的图象；(3)将二次函数y＝ax2的图象平移，使其顶点平移到(－h，k).知4－讲特别解读用配方法把二次函数y=ax2+bx+c

化为顶点式的两点注意：(1)注意与配方法解一元二次方程的区别：前者是提取二次项系数使其系数为1；后者是方程两边同除以二次项系数.(2)注意“一加一减”：提取完二次项系数后,括号里要加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，然后再减去一次项系数一半的平方.这里的一次项系数是提取了二次项系数之后的一次项系数.知4－练[母题教材P20练习T1]对于抛物线y=x2－4x+3.(1)将抛物线的表达式化为顶点式；(2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线.例4“五点”包括顶点以及关于对称轴对称的两对点.知4－练解题秘方：先用配方法将一般式转化为顶点式，再进行解答.知4－练解：∵y=x2－4x+3=(

x2－4x+4)－4+3=(

x－2)

2－1，∴顶点式为y=(

x－2)

2－1.(1)将抛物线的表达式化为顶点式；知4－练解：列表：抛物线如图21.2-9.(2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线.x…01234…y…30-103…

知4－练感悟新知4-1.

[月考·淮南]将二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的表达式为y=x2－2x+1，则b－c=(

)A．－2B．2C．4D．6A知5－讲知识点二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质5函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)a的符号a>0a<0图象开口方向向上向下知5－讲对称轴顶点坐标增减性续表知5－讲最值续表知5－讲

知5－练[母题教材P21练习T3]已知抛物线y＝2x2－4x－6.(1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？例5知5－练解：开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－8).(1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；知5－练(2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；解题秘方：类比一次函数的方法，求图象与x

轴的交点坐标，令y＝0，再解方程；求图象与y

轴的交点坐标，令x＝0，再代入求值.本题可以不画图象，利用二次函数表达式中的系数来说明函数图象的特征.知5－练解：令y＝0，得2x2－4x－6＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0).令x＝0，得y＝－6，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，－6).知5－练解：当x>1时，y随x的增大而增大.(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？知5－练感悟新知5-1.已知二次函数y=x2－4x+m

的最小值是－2，则m

的值为________

.2知5－练感悟新知5-2.

(易错题)已知抛物线y=－x2+2kx－3的顶点在x轴的负半轴上，则k

的值为______

.知6－讲知识点二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a，b，c的符号关系6二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a的符号决定抛物线的开口方向，ab的符号决定抛物线对称轴的大致位置，c的符号决定抛物线与y轴交点的大致位置.知6－讲字母(或式子)符号特征aa>0开口向上a<0开口向下b＝0对称轴为y轴ab>0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a，b异号)对称轴在y轴右侧具体如下表：知6－讲字母(或式子)符号特征cc＝0图象过原点c>0图象与y轴正半轴相交c<0图象与y轴负半轴相交特别解读对于二次函数y＝ax2＋bx＋c：(1)当x＝1时，y＝a＋b＋c，此时，若y＝0，则a＋b＋c＝0；若y>0，则a＋b＋c>0；若y<0，则a＋b＋c<0.(2)当x＝－1时，y＝a－b＋c，此时，若y＝0，则a－b＋c＝0；若y>0，则a－b＋c>0；若y<0，则a－b＋c<0.知6－讲知6－练[中考·青岛]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，对称轴为直线x＝－1，且经过点(－3，0)，则下列结论正确的是()A.b>0

B.c<0

C.a＋b＋c>0

D.3a＋c=0例6解题秘方：根据二次函数的图象特征与字母系数之间的关系判断.知6－练答案：D解：∵图象开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x＝－1，∴b＝2a.∴b<0，故A错误；∵图象经过点(－3，0)，且对称轴为直线x＝－1，∴图象经过点(1，0).∴当x＝1时，a＋b＋c＝0.∴c＝－a－b，∴c>0，故B，C错误；将b＝2a代入a＋b＋c＝0，可得3a＋c＝0，故D正确．知6－练感悟新知6-1.二次函数y=ax2+bx+c

的图象如图所示，则点P(a，b)所在的象限是(

)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D二次函数y=ax2+bx+c

的图象和性质y=a(x+h)2+ky=ax2+bx+c图象顶点式y=ax2性质平移y=ax2+ky=a(x+h)2左右平移上下平移21.2二次函数的图象和性质第二十一章二次函数与反比例函数*第3课时二次函数表达式的确定逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2用待定系数法求二次函数的表达式知1－讲感悟新知知识点用待定系数法求二次函数的表达式1方法名称函数表达式适用情形一般步骤待定系数法一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)已知二次函数图象上任意三个点的坐标或x，y

的三组对应值见下表

感悟新知知1－讲方法名称函数表达式适用情形一般步骤待定系数法顶点式：y=a(x+h)2+k

(a

≠0)已知抛物线的顶点坐标或对称轴和最值交点式：y=a(x－x1)·(x－x2)(a≠0）.其中x1，x2

是抛物线与x轴交点的横坐标已知二次函数的图象与x

轴的两个交点的坐标

知1－讲技巧提醒特殊位置抛物线对应的函数表达式的设法技巧：1.顶点在原点，可设为y＝ax2；2.对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋k；3.顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2；4.抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx.知1－练感悟新知如图21.2-15，抛物线y=ax2+bx+c

经过A(－1，0)，B(

0，－3)，C(

3，0)三点.(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)若该