安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题

安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则A． B． C． D．2．已知直线与直线，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列四个数中最大的是A． B． C． D．4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为A．4h B．6h C．8h D．12h5．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是A． B．C． D．6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是A． B． C． D．7．已知函数，则满足的的取值范围是A． B． C． D．8．定义为不超过的最大整数，区间（或）的长度记为．若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则实数的取值范围为A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，若，则下列命题正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．已知，且，则A． B． C． D．11．已知函数与的导函数分别为与，且的定义域均为为奇函数，则A． B．为偶函数 C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若“”是假命题，则实数的最小值为______．13．若函数在时取得极小值，则的极大值为______．14．已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（Ⅰ）已知函数满足，求在区间上的值域；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.16．（15分）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为．（Ⅰ）求实数m，n的值；（Ⅱ）求的零点个数.17．（15分）已知函数.（Ⅰ）若，证明：；（Ⅱ）若且存在，使得成立，求的取值范围．18．（17分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的极值；（Ⅲ）若恒成立，求的取值范围．19．（17分）已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性．（Ⅱ）当时．（ⅰ）证明：当时，；（ⅱ）若方程有两个不同的实数根，证明：．附：当时，．

数学•答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案 B命题意图 本题考查集合的交运算.解析 由已知，得，由，得，所以，所以．2．答案 A命题意图 本题考查充分必要条件的判断．解析 若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．3．答案 C命题意图 本题考查对数函数的性质．解析 由的单调性可知，即．故最大的是．4．答案 C命题意图 本题考查函数的实际应用．解析 依题意得，当时，，当时，，则，可得，即，所以，当时，解得，故至少需要过滤8h才能达到排放标准．5．答案 D命题意图 本题考查函数图象的识别．解析 对于A，当时，，排除A；对于B，因为，所以函数为偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，当时，由0，得，排除C，故选D．6．答案 B命题意图 本题考查函数的单调性．解析 易知在上单调递减，要使在上单调递减，则需满足解得，即的取值范围是．7．答案 D命题意图 本题考查利用函数性质解不等式．解析 令为奇函数，且易知在上单调递增．原不等式可转化为，即，解得．8．答案 B命题意图 本题考查新定义及不等式与函数综合问题．解析 设，作出的图象，因为不等式的解集对应区间的长度为2，所以解集只可能为或．当解集为时，如图（1），数形结合易知即无解．当解集为时，如图，数形结合易知即解得所以．综上，实数的取值范围为．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案 ABC命题意图 本题考查指、对数的运算性质和函数的性质．解析 由题意知，所以，所以．对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若，则，解得，故C正确；对于D，若，则，不能得到，故D错误．10．答案 BC命题意图 本题考查基本不等式的应用．解析 对于A，因为，所以，所以，故A错误；对于，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故D错误．11．答案 ACD命题意图 本题考查抽象函数及函数的性质．解析 对于A，因为为奇函数，所以，令，得，故A正确；对于B，由，得，又，所以，即，所以，又的定义域为，故为奇函数，故B错误；对于C，由，可得为常数）.，又，所以，所以，所以，所以是周期为8的函数，同理也是周期为8的函数，故C正确；对于D，，令，得，则，再令，得，又是周期为8的函数，所以，因为，所以，又，所以，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案 命题意图 本题考查全称量词命题．解析 因为“”是假命题，所以“”是真命题，所以，故实数的最小值为．13．答案 命题意图 本题考查利用导数研究函数的极值．解析 由题意可得，，解得，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为．14．答案 命题意图 本题考查导数的几何意义、公切线及函数与方程．解析 设曲线上的切点坐标为，由已知得，则公切线的方程为，即．设曲线上的切点坐标为，由已知得，则公切线的方程为，即，所以，消去，得．若存在两条不同的直线与曲线均相切，则关于的方程有两个不同的实数根．设，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由可得，当且时，，当时，且，则的大致图像如图所示，所以，解得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图 本题考查二次函数的性质、基本不等式．解析（I）由题意得，即，………………（1分）所以且，解得．所以，…………………（3分）则在上单调递增，在上单调递减，又，所以在区间上的值域为．…………（6分）（II），当时，，由（I）知，所以，即．……（9分）所以，……（12分）当且仅当时等号成立．所以的最小值为1.…………（13分）16．命题意图 本题考查利用导数研究函数的性质．解析 （I）因为，所以，所以，………………（3分）又因为的图象的对称中心为，所以…………………（5分）即解得…………（7分）（II）由（I）知，，所以，…………（9分）令，得或，……………………（10分）当变化时，的变化情况如下表：-31+0-0+↗14↘-18↗所以的极大值为，极小值为，…………（13分）又，所以有3个零点．………………（15分）17．命题意图 本题考查利用导数研究函数性质．解析 （I）若，则，所以．…………（2分）由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，……………（4分）所以有极小值，也是最小值，且，所以．……………（6分）（II）由题意得，…………………（7分）因为，所以令，得，令，得，故在上单调递减，在上单调递增．………………（9分）若，则在上的最小值为．………………（10分）要使条件成立，只需，解得．…………………（12分）若，则在上的最小值为，………（13分）令，无解．……………（14分）故的取值范围为．……………（15分）18．命题意图 本题考查导数的几何意义及利用导数求函数极值、解决不等式恒成立问题．解析 （I）当时，，故曲线在点处的切线方程为．…………（4分）（II）当时，，则，………………（6分）令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，………（8分）所以，无极大值．………（9分）（III）令，由得，…………（10分）令，则在上单调递减，又，故．……………………（11分）下面证明当时，．易知．……………（12分）设，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，则，即．……（14分）设，则，当时，，当时，，故，则，即．……………（15分）故，则．故所求的取值范围是．………………………（17分）19．命题意图 本题考查利用导数讨论函数的单调性、证明不等式．解析（I）由已知，得．………（1分）当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增；………………（2分）当时，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在和上单调递增；……………（3分）当时，在上恒成立，所以在上单调递增；…（4分）当时，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在和上单调递增．……………（5分）（II）（i）由题可知，即证当时，．令，则．………………（7分）令，则．令，则，易知在上单调递增．………（8分）所以，则在上单调递增，所以，则在上单调递增，……（9分）所以，则在上单调递增，所以，原不等式得证．…………………………（10分）（ii）当时，，由（I）知在上单调递减，在上单调递增，所以，当且时，，由（i）可知当时，，由方程有两个不同的实数根，得．………（12分）不妨设，则，要证，即证，又在上单调递增，所以只需证