专项16巧用旋转进行计算(原卷版+解析)

专项16巧用旋转进行计算将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。【考点1利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】【典例1】（2021九上·番禺期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝20°，则∠B的大小是（）A．70° B．65° C．60° D．55°【变式1-1】（2021九上·上高月考）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转70°，得到△COD，若∠COD=40°，则∠BOC的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【变式1-2】（2021九上·南充期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，则∠AED的度数为（）A．105° B．120° C．135° D．150°【变式1-3】（2021九上·澄海期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ABC．若点B刚好落在BC边上，且AB=CBA．60° B．80° C．100° D．120°【变式1-4】（2021九上·庐江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（）A．65 B．75 C．85 D．130【典例2】（2021九上·道里期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，连接BB'，则BB'的长度是（）A．1 B．3 C．3 D．23【变式2-1】（2021九上·香坊期末）如图，将RtΔABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到RtΔADE，点B的对应点点D恰好落在边BC上，若AC=23，∠ABC=60°A．3 B．2 C．3 D．1【变式2-2】（2021秋•韶关期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝3cm，则BE等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【变式2-3】（2021秋•邓州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，连结BB'，则△A'BB'的周长为（）A． B．1+ C．2+ D．3+【典例3】（2021秋•岳池县期末）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．【变式3-1】（2021九上·中山期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．【变式3-2】（2021九上·谷城期中）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．【考点2利用旋转计算面积】【典例4】（2021九上·鄞州月考）如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为.【变式4-1】（2022•瑞金市模拟）如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（）A．3 B． C． D．【变式4-2】（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上，此时得到△EDC，斜边DE交AC边于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．1 C． D．【变式4-3】（2021秋•南丹县期末）如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转120°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（）A．不变B．先增大再减小C．先减小再增大 D．不断增大【考点3坐标系中图形旋转的规律】【典例5】（2021秋•阳东区期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（）A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．【变式5-1】（2021九上·惠来月考）如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B(2，0)，以AB为边构造菱形ABEF．将菱形ABEF与正方形A．(−2，22)B．(−2，−2【变式5-2】（2021•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）【变式5-3】（2021秋•郧阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（3，0），B（0，4），则点B2021的横坐标为（）A．12120 B．12128 C．12123 D．121251．（2021九上·海曙期末）如图，在△ABC中，∠BAC=75∘，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若CE//AB，则A．25∘ B．30∘ C．35∘2．（2021九上·虎林期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△ABC，使点C落在ABA．1cm B．2cm C．3cm D．3．（2022春•泗县期中）如图所示，△ABC为直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP＝3，那么PP'的长等于（）A． B． C．3 D．44．（2021秋•甘井子区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，若直线A'C'经过点A，则CC'的长为（）A．1 B．2 C． D．45（2022·呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（）A．90°+12α B．90°−12α6．（2021九上·富裕期末）如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝32A．40° B．45° C．105° D．55°7．（2022·益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④ D．②③④8.（2021九上·集贤期末）如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则旋转角为度．9．（2022春•通道县期末）已知，正方形ABCD的边长是4，正方形OMNE（OM＞AC）绕着正方形ABCD的对称中心O旋转，那么两正方形重叠部分的面积是．10．（2022•新城区校级一模）如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝6，CD＝4，当BD长最大时，△ABC的面积为．11.（2022春•高州市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为．12．（2021九上·龙江期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），AA1⌢是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2⌢是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，A2A3⌢是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A3A4⌢是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A2021的坐标是．13.（2021九上·黔西南期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝33x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1Q2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝33x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（3，1），则点A12的横坐标是14．（2021九上·新乡期末）如图，△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠ABC＝90°，OA＝OB＝1，BC＝22，将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点C的坐标为.15.（2021九上·互助期中）如图将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，求BD的长．16．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE.（1）求证：△BDE≌△BCE；（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．17.（2016九上·涪陵期中）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．18．（2022春•渭滨区期末）如图，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．（1）求线段OD的长；（2）求∠BDC的度数．19.（2022春•永丰县期中）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转110°，得到△DBE，连接AD，CE．（1）求证：△ABD≌△CBE．（2）求∠ACE的度数．专项16巧用旋转进行计算将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。【考点1利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】【典例1】（2021九上·番禺期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝20°，则∠B的大小是（）A．70° B．65° C．60° D．55°【答案】B【解答】解：∵将ΔABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB∴AC=AC，∠CAC=90°，∠B=∠ABC，∴∠ACC=45°，∴∠ABC=∠ACC+∠CCB=45°+20°=65°，∴∠B=∠ABC=65°，故答案为：B．【变式1-1】（2021九上·上高月考）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转70°，得到△COD，若∠COD=40°，则∠BOC的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】C【解答】解：∵将△AOB绕着点O顺时针旋转70°，得到△COD，∴∠BOD=70°，∵∠COD=40°，∴∠BOC=∠BOD－∠COD=70°－40°=30°．故答案为：C【变式1-2】（2021九上·南充期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，则∠AED的度数为（）A．105° B．120° C．135° D．150°【答案】B【解答】解：由旋转的性质可得：∠A=∠D=30°，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠AED=∠D+∠DCE=120°；故答案为：B.【变式1-3】（2021九上·澄海期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ABC．若点B刚好落在BC边上，且AB=CBA．60° B．80° C．100° D．120°【答案】C【解答】解：∵AB=CB∴∠B'AC=∠C，由旋转前后对应线段相等可知：AB’=AB，∴∠B=∠AB’B，由三角形外角定理可知：∠AB’B=∠B’AC+∠C=2∠C=40°，∴∠B=∠AB’B=40°，∴△ABC旋转的角度为∠BAB’=180°-∠B-∠AB’B=180°-40°-40°=100°，故答案为：C．【变式1-4】（2021九上·庐江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（）A．65 B．75 C．85 D．130【答案】C【解答】∵DE∥AB，∴∠DAB＝180°－∠D，∵∠D=∠B=180°－20°－65°=95°，∴∠DAB=180°－95°=85°，∴n=85°，故答案为：C．【典例2】（2021九上·道里期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，连接BB'，则BB'的长度是（）A．1 B．3 C．3 D．23【答案】D【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC＝3，∴∠BAC=90°－∠ABC=60°，AB=2AC=23，∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，∴∠BAB'=∠BAC=60°，AB=AB'，∴△ABB'是等边三角形，∴BB'=AB=23，故答案为：D．【变式2-1】（2021九上·香坊期末）如图，将RtΔABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到RtΔADE，点B的对应点点D恰好落在边BC上，若AC=23，∠ABC=60°A．3 B．2 C．3 D．1【答案】B【解答】解：∵AC=23，∠ABC=6∴∠C=90°-∠ABC=3∴BC＝2AB∵BC2=AC2+AB2∴AB＝2，BC＝2AB＝4，∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，∴AD＝AB，且∠B＝60°∴△ADB是等边三角形∴BD＝AB＝2，∴CD＝BC−BD＝4−2＝2故答案为：B．【变式2-2】（2021秋•韶关期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝3cm，则BE等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE＝3cm，∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝BE＝3cm，故选：B【变式2-3】（2021秋•邓州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，连结BB'，则△A'BB'的周长为（）A． B．1+ C．2+ D．3+【答案】D【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，∴BC＝AC＝，AB＝2AC＝2，∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，∵CA＝CA′，∠A＝60°，∴△CAA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，AA′＝AC＝1，∴A′B＝1，∴∠BCB′＝60°，∴△CBB′为等边三角形，∴BB′＝CB＝，∴△A'BB'的周长为A′B+AB′+BB′＝2+1+＝3+，故选：D．【典例3】（2021秋•岳池县期末）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．【答案】（1）∠ODC＝60°（2）AD⊥OD（3）【解答】解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∴∠ACD+∠ACO＝∠BCO+∠ACO，即∠DCO＝∠ACB，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCO＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC＝60°；（2）AD与OD的位置关系是：AD⊥OD，理由如下：由（1）知∠ODC＝60°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∴AD⊥OD；（3）由旋转的性质得，AD＝OB＝2，∵△OCD为等边三角形，∴OD＝OC＝3，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝＝．【变式3-1】（2021九上·中山期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，∴∠ABC=50°，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，∴∠BAF=∠BFA=12（2）解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴BE=BC=6，EF=AC=8，∴AE=AB-BE=10-6=4，∴AF=AE【变式3-2】（2021九上·谷城期中）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．【答案】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴AP′=AP，∠P′AP=∠BAC=60°，BP′=CP=10，∴△AP′P为等边三角形，∴P′P=AP=6，∠APP′=60°，在△PBP′中，PP′=6，BP′=10，PB=8，∵62+82=102，∴P′P2+PB2=P′B2，∴∠BPP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．故答案为6，150．【考点2利用旋转计算面积】【典例4】（2021九上·鄞州月考）如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为.【答案】4【解答】解：∵在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，

∴A1B=AB=4，

∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，

∴SΔA1又∵S阴影=SΔA1BA+SΔA1BC1﹣S△ABC，S故答案为：4.【变式4-1】（2022•瑞金市模拟）如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（）A．3 B． C． D．【解答】解：设C'D'与AD交于M，连接BM，如图：∵边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，∴AB＝BC'，∠A＝∠C'＝90°，∠CBC'＝30°，∵BM＝BM，∴△ABM≌△C'BM（HL），∴∠ABM＝∠C'BM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝＝1，∴S△ABM＝AB•AM＝＝S△BC'M，∴S阴影＝（）2﹣S△ABM﹣S△BC'M＝3﹣，故选：C．【变式4-2】（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上，此时得到△EDC，斜边DE交AC边于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．1 C． D．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴∠B＝60°，AC＝BC＝2×＝2，AB＝2BC＝4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC＝CD＝AB＝2，∵∠B＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD＝60°，∴∠DCF＝30°，∠DFC＝90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD＝AB＝2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF＝BC＝×2＝1，CF＝AC＝×2＝，∴S阴影＝DF×CF＝×1×＝，故选：D．【变式4-3】（2021秋•南丹县期末）如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转120°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（）A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OEFG是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝∠MON＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠BOM＝∠CON，在△BOM和△CON中，，∴△BOM≌△CON（ASA），∴S△BOM＝S△CON，∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积为S△BOC＝S正方形ABCD，故选：A【考点3坐标系中图形旋转的规律】【典例5】（2021秋•阳东区期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（）A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．【答案】C【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：OB＝，由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1）故选：C．【变式5-1】（2021九上·惠来月考）如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B(2，0)，以AB为边构造菱形ABEF．将菱形ABEF与正方形A．(−2，22)B．(−2，−2【答案】D【解答】∵点B的坐标为(2，0)，∴OB=2，由正方形的性质，得OA=2，∴AB=2∵四边形ABEF为菱形，∴AF=AB=22∴F(22由题，可知旋转为每8次一个循环，2020÷8=252⋯4，∴第2020次旋转结束时，点F2020与点F∴F2020故答案为：D．【变式5-2】（2021•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）【答案】A【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．【变式5-3】（2021秋•郧阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（3，0），B（0，4），则点B2021的横坐标为（）A．12120 B．12128 C．12123 D．12125【答案】B【解答】解：∵点A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，∴OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，观察图象可知，点B2020的纵坐标为4，∵2020÷2＝1010，∴点B2020的横坐标为1010×12＝12120，12120+3+5＝12128∴点B2021的坐标为（12128，0）．故选：B．

1．（2021九上·海曙期末）如图，在△ABC中，∠BAC=75∘，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若CE//AB，则A．25∘ B．30∘ C．35∘【答案】B【解答】解：∵CE∥AB，

∴∠BAC=∠ACE=75°；

∵以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，

∴AE=AC，

∴∠AEC=∠ECA=75°；

∴∠CAE=180°-2×75°=30°.

故答案为：B.

2．（2021九上·虎林期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△ABC，使点C落在ABA．1cm B．2cm C．3cm D．【答案】B【解答】解：∵∠C=90°由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，∴AB=2AC=2cm，又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，由旋转的性质可知：∠CAB=∠BAB'=6∴ΔBAB∴BB故答案为：B．3．（2022春•泗县期中）如图所示，△ABC为直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP＝3，那么PP'的长等于（）A． B． C．3 D．4【答案】A【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC＝90°，∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP＝AP′，AB＝AC，∠PAP′＝∠BAC＝90°，∴△APP′为等腰直角三角形，∴PP′＝AP＝3，故选：A．4．（2021秋•甘井子区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，若直线A'C'经过点A，则CC'的长为（）A．1 B．2 C． D．4【答案】C【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，∴BA＝BA'，BC＝BC'，∠BAC＝∠BA'C'，∵∠BAC＝60°，∴∠A'＝60°，∴△ABA'是等边三角形，∴∠ABA'＝60°，∴∠CBC'＝∠ABA'＝60°，∴△BCC'是等边三角形，∴CC'＝BC，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝2，∴BC＝，∴CC'＝BC＝，故选：C5（2022·呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（）A．90°+12α B．90°−12α【答案】C【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，且∠BCD=α∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，∴∠B=∠BDC，∴∠B=∠BDC=180°−α∴∠A=∠E=90°−∠B=90°−90°+α∴∠A=∠E=α∴∠EFC=180°−∠ACE−∠E=180°−α−α故答案为：C．6．（2021九上·富裕期末）如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝32A．40° B．45° C．105° D．55°【答案】C【解答】解：连接DE，如图：∵ΔABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°∴∠BAD+∠CAD=60°由旋转可得，ΔBAD≅ΔCAE∴∠CAE=∠BAD∴∠CAE+∠CAD=60°，即∠DAE=60°∴ΔDAE是等边三角形，∴DE=AD=3，∠ADE=60°∵DE＝3，CE＝3，CD＝32∴D∴D∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=45°∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=60°+45°=105°故答案为：C7．（2022·益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【解答】解：∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，

∴BC＝B′C′．故①正确；

∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，

∴∠BAB′＝50°，

∴∠B′AC＝∠BAB′−∠CAB＝50°-20°=30°，

∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，

∴∠AB′C′＝∠B′AC，

∴AC∥C′B′．故②正确；

在△BAB′中，

∵AB＝AB′，∠BAB′＝50°，

∴∠AB′B＝∠ABB′＝12（180°−50°）＝65°，

∴∠BB′C′＝∠AB′B＋∠AB′C′＝65°＋30°＝95°，

∴C′B′与BB′不垂直．故③错误；

在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，

∴∠ACC′＝12（180°−50°）＝65°，

∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正确.

∴正确结论的序号为：①②④.

故答案为：B.

8.（2021九上·集贤期末）如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则旋转角为【答案】36【解答】解：根据题意，可得∠BAB为旋转角，∵AB′＝CB′∴∠C=∠CAB=36°∴∠ABB=2∠C=72°由旋转的性质可得：AB=AB∴∠B=∠ABB=72°∴∠BAB=36°故答案为：369．（2022春•通道县期末）已知，正方形ABCD的边长是4，正方形OMNE（OM＞AC）绕着正方形ABCD的对称中心O旋转，那么两正方形重叠部分的面积是．【答案】4【解答】解：如图：∵四边形ABCD和四边形OENM都是正方形，∴OD＝OC，∠ODP＝∠OCF＝45°，∠DOC＝∠EOM＝90°，∴∠DOP＝∠COF．在△PDO和△FCO中，，∴△PDO≌△FCO（ASA），∴两正方形重叠部分的面积是等于△DOC的面积，即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的，∵正方形的边长为4，∴正方形的面积为16，∴重叠部分面积不变为．故答案为：4．10．（2022•新城区校级一模）如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝6，CD＝4，当BD长最大时，△ABC的面积为．【答案】19【解答】解：如图1，以CD为边作等边△DCE，连接AE．∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE，∵AE≤AD+DE，当A、D、E三点共线时，AE＝AD+DE＝10，其值最大，∴AE的最大值为10，∴BD的最大值为10，过点A作AF⊥BD于F，如下图，∵△BCD≌△ACE，∴∠BDC＝∠E＝60°，∴∠ADF＝60°，∵AF⊥BD，∴∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝3，AF＝DF＝3，∴BF＝10﹣3＝7，∴AB2＝AF2+BF2＝76，∴△ABC的面积＝AB2＝19，故答案为：1911.（2022春•高州市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为．【答案】16【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图：在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝8，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，∵AD⊥A1B，∴AD＝AB＝4，∴S△A1BA＝×8×4＝16，又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，∴S阴影＝S△A1BA＝16，故答案为：16．12．（2021九上·龙江期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），AA1⌢是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2⌢是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，A2A3⌢是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A3A4⌢是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A2021的坐标是．【答案】（2021，0）【解答】解：∵A点坐标为（1，1），且A1为A点绕B点顺时针旋转90°所得∴A1点坐标为（2，0）又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90°所得∴A2点坐标为（0，-2）又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90°所得∴A3点坐标为（-3，1）又∵A4为A3点绕A点顺时针旋转90°所得∴A4点坐标为（1，5）由此可得出规律：An为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、、n，每次增加1．∵2021÷4=505…1故A2021为以点B为圆心，半径为2021的A2020点顺时针旋转90°所得故A2021点坐标为（2021，0）．故答案为：（2021，0）．13.（2021九上·黔西南期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝33x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1Q2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝33x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（3，1），则点A12的横坐标是【答案】9（3+1）【解答】解：根据将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置可知：∠BA1O1＝90°，∴∠OAB＝90°，当y＝1时，x＝3，即AB＝3，∴∠AOB＝60°，如图，延长A2O2交x轴于E，则∠OEO2＝90°，∴OO2＝2+3+1＝3+3，∴O2E=3+3∴OE=OO22−O∴点A2的横坐标为32（3同理可得：点A4的横坐标3（3+1），点A6的横坐标92（3点A8的横坐标6（3+1），∴点A12的横坐标是32×6（3+1），即9（3故答案为：9（3+1）.14．（2021九上·新乡期末）如图，△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠ABC＝90°，OA＝OB＝1，BC＝22，将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点C的坐标为.【答案】（3，-2）【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，∵OA＝OB＝1，∠AOB=90°，∴∠ABO=45°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD=45°，∴∠BCD=45°，∴BD=