专题02绝对值压轴题(最值与化简)专项讲练-2022-2023学年七年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练(北师大版)(原卷版+解析)

专题02绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练专题1.最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。题型1.两个绝对值的和的最值【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：分类情况（的取值范围）图示取值情况当时无法确定当时的值为定值，即为当无法确定结论：式子在时，取得最小值为。例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（）A．或 B．或 C． D．变式1．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝_______．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．例2.（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用代数式表示为：4-（-3）．根据以上阅读材料探索下列问题：(1)数轴上表示3和9的两点之间的距离是；数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是；（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是4，则x的值为；②若x为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值为．变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．题型2.两个绝对值的差的最值【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：分类情况（的取值范围）图示取值情况当时的值为定值，即为—当时当的值为定值，即为结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。例1.（2022·浙江·温州七年级开学考试）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（）A．a＝3，b＝0B．a＝0，b＝﹣3C．a＝3，b＝﹣3D．a＝3，b不存在变式1．（2022·上海七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．例2.（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__．变式2．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__，数x与-1所对应的点的距离为__；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______．题型3.多个绝对值的和的最值【解题技巧】最小值规律：①当有两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；②当有三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合；③当有（奇数）个绝对值相加：，且，则取中间数，即当时，取得最小值为；④当有（偶数）个绝对值相加：，且，则取中间段，即当时，取得最小值为。例1.（2022·天津初一月考）若是有理数，则的最小值是________．变式1．（2022•武侯区校级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为，此时x的取值为．例2.（2022·北京市第四十四中学七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．A，B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离．例如：当a＝2，b＝5时，＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时，＝＝7；当a＝－2，b＝－5时，＝＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离＝（也可以表示为）．请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝；（2）如果数轴上表示数a的点位于－4和3之间，则＝（3）代数式的最小值是．（4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子的最小值为（用含有a，b，c，d的式子表示结果）变式2.（2022•龙泉驿区期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．例，若|x+5|＝2，那么x为：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．②图形语言：③答案：x为﹣7和﹣3．请你模仿上题的①②③，完成下列各题：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字语言：②图形语言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：①文字语言：②图形语言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：①文字语言：②图形语言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字语言：②图形语言：③答案：课后专项训练：1．（2021·湖北武汉·七年级阶段练习）式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___．1．（2021·安徽芜湖·七年级期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离,3与5,4与﹣2,﹣4与3,﹣1与﹣5.并回答下列各题:(1)数轴上表示4和﹣2两点间的距离是;表示﹣1和﹣5两点间的距离是.(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为﹣3.①数轴上A、B两点间的距离可以表示为(用含x的代数式表示);②如果数轴上A、B两点间的距离为|AB|=1,求x的值.(3)直接写出代数式的最小值为.3．（2022·山东·济南市七贤中学七年级阶段练习）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x|＝，现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别叫做|x+1|与|x﹣2|的零点值．）在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；（2）当﹣1≤x≤2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；（3）当x＞2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上所述，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|；（3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整数解；（4）|x+2|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由．4．（2022·四川·九年级专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．发现问题：代数式的最小值是多少？探究问题：如图，点分别表示的是，2，，．∵的几何意义是线段与的长度之和，∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，∴的最小值是3．解决问题：(1)的最小值是；(2)利用上述思想方法解不等式：(3)当为何值时，代数式的最小值是2．5．（2022·河北唐山·七年级期末）阅读下面的材料：我们知道，在数轴上，表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，表示有理数a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．请根据上面的材料解答下列问题：(1)数轴上有理数对应的点到有理数3对应的点的距离是_______；(2)表示有理数a对应的点与有理数_______对应的点的距离；如果，那么有理数a的值是_______；(3)如果，那么有理数a的值是_______．(4)代数式的最小值是_________，此时有理数a可取的整数值有______个．6．（2022·四川·石室初中七年级阶段练习）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为，当、两点中有一点在原点时，不妨设在原点，如图1，，当、两点都不在原点时，①如图2，点、都在原点的右边；②如图3，点、都在原点的左边，③如图4，点、在原点的两边，；综上，数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______．（2）若表示一个有理数，则当在什么范围内时，有最小值？请写出的范围及的最小值．（3）若表示一个有理数，则当在什么范围内时，有最小值？请写出的范围及的最小值．图1图2图3图47．（2022·吉林省第二实验学校七年级阶段练习）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作．如表示数轴表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）（1）若，则______，若，则______；（2）若，则能取到的最小值是______，最大值是______；（3）若，则能取到的最大值是______；（4）关于的式子的取值范围是______．8．（2022·四川·雅安中学七年级期中）阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1；综上讨论，原式＝通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）当x＜2时，|x﹣2|＝；（2）根据材料中的方法化简代数式|x+2|+|x﹣4|；（写出解答过程）（3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．9．（2022·重庆梁平·七年级期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为______；表示－1和2两点之间的距离为______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和－1的两点之间的距离是3，那么a＝______．(2)若数轴上表示数a的点位于－5与3之间，求的值；(3)当x＝______时，的值最小，最小值为______．10．（2022·浙江杭州·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______；（2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之同的距离为____．（3）的最小值为_______．的最小值为_____．（4）的最大值为_______．11．（2022·全国·七年级课时练习）的最小值是（

）A．1 B．1010 C．1021110 D．202012．（2022·四川·成都七中万达学校七年级阶段练习）（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，①如图乙，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图丙，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图丁，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝．②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，令T＝|x2﹣3|﹣2，则T的最大值＝；当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为；当|x+1|+|x﹣2|＝5时，x的值为．③求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值．13．（2022·四川·渠县第三中学七年级期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离，|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离，|5|=|5-0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a-b|．（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、-2、1，那么A到B的距高与A到C的距离之和可表示为________．（用含绝对值的式子表示）（2）利用数轴探究：①找出满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是_______．②设|x-3|+|x+1|=p，当x的値取在不小-1且不大于3的范围时，P的值是不变的，而且是p的最小，这个最小值是_______，当x的值取在_______的范围时，|x|+|x-2|取得最小值，这个最小值是_______（3）求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值为______，此时x的值为_______．（4）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+．．．．．．+|x-2019|的最小值，并求此时x的取值范国（要求写解答过程）14．（2022·福建·晋江市七年级期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答一列问题：(1)若，则______．若，则_____．(2)若，则能取到的最小值是______，最大值是______．(3)当，求的最大值和最小值．15．（2022·北京平谷·七年级期末）阅读完成问题：数轴上，已知点A、B、C．其中，C为线段AB的中点：(1)如图，点A表示的数为-1，点B表示的数为3，则线段AB的长为，C点表示的数为;（2）若点A表示的数为-1，C点表示的数为2，则点B表示的数为;（3）若点A表示的数为t，点B表示的为t+2，则线段AB的长为,若C点表示的数为2，则t=;（4）点A表示的数为，点B表示的为，C点位置在-2至3之间（包括边界点），若C点表示的数为，则++的最小值为,++的最大值为.专题2.绝对值化简问题绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型。希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题。题型1.已知范围的绝对值化简【解题技巧】已知范围的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0.两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.④化简.例1.（2022·湖南长沙·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（

）．A． B． C．0 D．变式2.（2022·河南周口·七年级期末）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-3例2.（2021·长郡集团郡维学校初一月考）如果++=-1，那么+++的值为（）A． B． C．0 D．不确定变式2．（2022·内蒙古赤峰·七年级期中）、、是有理数且，则的值是（

）A． B．3或 C．1 D．或1题型2.未知范围的绝对值化简【解题技巧】绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即；②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。例1.（2022•新都区校级月考）已知x为有理数，且|x﹣3|＝2x+3，则x的值为．变式1．（2022·河北·七年级期中）若a、b、c是有理数，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，且a，b异号，b，c同号，求a﹣b﹣（﹣c）的值．变式2．（2021·江苏·九年级）已知，求．例2.（2022·福建福州·七年级期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．变式3．（2022·湖北咸宁·七年级期末）阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子（表示，例如：5和的距离可用或表示．(1)【知识应用】我们解方程时，可用把看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点P（P表示的数为x）与5的距离为2，所以该方程的解为或所以，方程的解为___（直接写答案，不离过程）．(2)【知识拓展】我们在解方，可以设A表示数5，B表示数，P表示数x，该方程可以看作在数轴上找一点P使得，因为，所以由可知，P在线段AB上都可，所以该方程有无数解，x的取值范围是．类似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范围）；(3)【拓展应用】解方程课后专项训练：1．（2021·成都市泡桐树中学七年级期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离，若x是一个有理数，且，则__________．2．（2022·四川广元·七年级期末）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，化简|b﹣a|﹣|a+2b|+|﹣a﹣b|＝（）A．a B．﹣a﹣4b C．3a+2b D．a﹣2b3．（2021·湖北黄冈·七年级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则|c﹣a|+|a+b|+|b﹣c|＝（）A．2a B．﹣2b C．2c D．2b4．（2022·广东河源·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，若m＝|a＋b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|，则m＝____．5．（2021·河南安阳·七年级期中）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答问题：(1)请直接写出、、的值：__________，__________，__________；(2)点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）．6．（2021·广东·深圳市高级中学七年级期末）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互为相反数，求＝．（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．7．（2021·广东·广州市真光中学七年级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，若c是绝对值最小的数，d是最大的负整数．（1）在数轴上表示c＝，d＝．（2）若|x+3|＝2，则x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．8．（2022·四川成都·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a+c|-|a-b|+|b+c|=__________．9．（2021·河北省衡水中学初一期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．（2022·上海杨浦·期中）若a，b各表示一个有理数，且，则算式的可能值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（2022·山东日照·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，其中，则下列各式：①；②；③；④，正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12．（2022·全国·七年级）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB＝OC，则下列结论中，①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c＝b；④．其中正确的是___.（填序号）13．（2021·四川成都·七年级期中）a，b，c在数轴上的位置如图所示：(1)求_______(2)、、c在数轴上的位置如图所示，则：化简：；(3)求的最大值，并求出此时x的范围．14．（2022·全国·七年级）请利用绝对值的性质，解决下面问题：(1)已知a，b是有理数，当a＞0时，则＝_______；当b＜0时，则＝_______．(2)已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．(3)已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值．15.（2021·安徽安庆市·七年级期末）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题．例：三个有理数，，满足，求的值．解：由题意得，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当，，都是正数，即，，时，则：，②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，，则：．综上，的值为3或-1．请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知，，且，求的值；（2）已知，是有理数，当时，求的值．（3）已知，，是有理数，，，求．16．（2021·长郡集团郡维学校初一月考）如果++=-1，那么+++的值为（）A． B． C．0 D．不确定17．（2021·山西晋中·七年级期中）阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的思想解决一些问题例如：数轴上表示5的点与表示2的点之间的距离为|5﹣2|＝3，数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7[理解]（1）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是，A，B两点之间的距离．（2）|﹣8﹣（﹣6）|＝2，它在数轴上的意义为表示的点与表示的点之间的距离为2[归纳]（3）在数轴上，点A表示有理数a，点B表示有理数b，则A，B两点之间的距离可表示为．[应用]（4）若|x﹣2|＋|x＋4|＝10，则满足条件的x的值为．18．（2021·河南·开封市祥符区集慧初级中学七年级期中）当|a|＝5，|b|＝7，且|a＋b|＝﹣（a＋b），则a＋b的值为（

）A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2或﹣12 D．﹣2专题02绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练专题1.最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。题型1.两个绝对值的和的最值【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：分类情况（的取值范围）图示取值情况当时无法确定当时的值为定值，即为当无法确定结论：式子在时，取得最小值为。例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】根据题意将可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）当x<-2时，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；当时，=（x+2）+（5-x）=7；当x>5时，=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴有最小值，最小值为7，此时，故选：D.方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当时，有最小值，最小值为7。【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到表示的意义，再利用分类思想解答问题.变式1．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝_______．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．【答案】（1）7；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）最小值是3【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；（2）分别讨论当x＞2时，当﹣5≤x≤2时，当x＜﹣5时去绝对值进行求解即可；（3）同（2）利用分类讨论的思想进行求解即可．【详解】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案为：7；（2）当x＞2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在；当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在．故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下：当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3．故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答．例2.（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用代数式表示为：4-（-3）．根据以上阅读材料探索下列问题：(1)数轴上表示3和9的两点之间的距离是；数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是；（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是4，则x的值为；②若x为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值为．【答案】(1)6，7；(2)①－6或2；②4【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可；（2）①根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可；②由于所给式子表示x到－1和3的距离之和，当x在－1和3之间时和最小，故只需求出－1和3的距离即可．(1)解：数轴上表示3和9的两点之间的距离是｜9－3｜=6，数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是｜2－（－5）｜=7，故答案为：6，7；(2)解：①根据题意，得：｜x－(－2)｜=4，∴｜x+2｜=4，∴x+2=－4或x+2=4，解得：x=－6或x=2，故答案为：－6或2；②∵表示x到－1和3的距离之和，∴当x在－1和3之间时距离和最小，最小值为｜－1－3｜=4，故答案为：4．【点睛】本题考查数轴上两点之间距离，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键．变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+5＝0或x﹣2＝0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案为：7；（2）令x+5＝0或x﹣2＝0时，则x＝﹣5或x＝2当x＜﹣5时，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范围内不成立）当﹣5＜x＜2时，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1当x＞2时，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范围内不成立）∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3．【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．题型2.两个绝对值的差的最值【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：分类情况（的取值范围）图示取值情况当时的值为定值，即为—当时当的值为定值，即为结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。例1.（2022·浙江·温州七年级开学考试）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（）A．a＝3，b＝0B．a＝0，b＝﹣3C．a＝3，b＝﹣3D．a＝3，b不存在【答案】C【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．【详解】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a＝3，b＝﹣3．故选：C．【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．变式1．（2022·上海七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．【答案】

3

-9【分析】当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可．【详解】解：当时，x-1＜0，x+2＜0，∴，当时，，当x＞1时，∵当时，，∴代数式的最大值为3，最小值为-3，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9．【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式．例2.（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__．【答案】8.5．【分析】先根据-1≤x≤3，确定x-3与x+2的符号，再对x的符号进行讨论即可．【详解】∵﹣1≤x≤3，当﹣1≤x≤0时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值为5，最小值为4.5；当0≤x≤3时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值为5，最小值为3.5，∴最大值与最小值之和为8.5；故答案为：8.5．【点睛】本题考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键．变式2．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__，数x与-1所对应的点的距离为__；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______．【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20【分析】（1）根据题意即可列式解答；（2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案；（3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可．【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为，数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：，；（2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离，①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2（3）由（2）知：的最大值为2，由此可得：的最大值为4，的最大值是6，的最大值是8，∴的最大值是2+4+6+8=20【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式．题型3.多个绝对值的和的最值【解题技巧】最小值规律：①当有两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；②当有三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合；③当有（奇数）个绝对值相加：，且，则取中间数，即当时，取得最小值为；④当有（偶数）个绝对值相加：，且，则取中间段，即当时，取得最小值为。例1.（2022·天津初一月考）若是有理数，则的最小值是________．【答案】509040【分析】首先判断出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求数轴上某点到2、4、6、…、2018的距离和的最小值；然后根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2018之间时，到2和2018距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，所以当x=1010之间时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，据此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可．【解析】根据绝对值得几何意义分析，知当x=1010时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x-a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离．变式1．（2022•武侯区校级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为，此时x的取值为．解：原式可转化为在数轴上找一个点到1，2，3，…，2014对应的点的距离和最小，故当1007≤x≤1008时，距离和最小，可取x＝1007，则此时距离和为：1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007＝2×（1+2+3+…+1006）+1007＝1014049，即原式的最小值为1014049；当x＝1008时，最小值也为1014049，故1007≤x≤1008．例2.（2022·北京市第四十四中学七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．A，B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离．例如：当a＝2，b＝5时，＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时，＝＝7；当a＝－2，b＝－5时，＝＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离＝（也可以表示为）．请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝；（2）如果数轴上表示数a的点位于－4和3之间，则＝（3）代数式的最小值是．（4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子的最小值为（用含有a，b，c，d的式子表示结果）【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）【分析】（1）根据题意可得：，解出即可求解；（2）根据题意可得：，从而得到，进而得到＝a＋4，＝3－a，即可求解；（3）根据题意可得：当a＝2时，代数式存在最小值，化简即可求解；（4）根据题意可得：原式表示对应点到对应的点的距离之和，从而得到当时，有最小值，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：，∴或，解得：或-8；（2）∵表示数a的点位于－4和3之间，∴，∴，∴＝a＋4，＝3－a，∴＝a＋4＋3－a＝7；（3）当a＝2时，代数式存在最小值，∴＝1＋0＋1＝2.所以，最小值是2；（4）根据题意得：，∴原式表示对应点到对应的点的距离之和，如图所示，∴当时，有最小值，∴原式．【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键．变式2.（2022•龙泉驿区期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．例，若|x+5|＝2，那么x为：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．②图形语言：③答案：x为﹣7和﹣3．请你模仿上题的①②③，完成下列各题：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字语言：②图形语言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：①文字语言：②图形语言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：①文字语言：②图形语言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字语言：②图形语言：③答案：【分析】运用数形结合思想：图一图二图三图四【解答】解：（1）文字语言：数轴上什么数到﹣4的距离等于到2的距离．图形语言：答案：x＝﹣1．（2）文字语言：数轴上什么数到3的距离比到原点（0）的距离大2．图形语言：答案：x=12（3）文字语言：数轴上什么数到1的距离和它到3的距离大于4．图形语言：答案：x＞4，x＜0．（4）文字语言：数轴上什么数到1，2，3，4，5距离之和最小值．图形语言：答案：6．【点评】本题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求解问题．课后专项训练：1．（2021·湖北武汉·七年级阶段练习）式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___．【答案】7【分析】|x﹣3|+|x+4|表示在数轴上表示数x的点到表示数3与表示数﹣4的距离之和，因此当x在3与﹣4之间时，这个距离之和最小，最小值为3与﹣4之间的距离7．【详解】解：|x﹣3|+|x+4|表示在数轴上表示数x的点到表示数3的点与表示数﹣4的点的距离之和，因此当﹣4≤x≤3时，这两个距离之和就是表示数3的点与表示数﹣4的点之间的距离，为7，即：|x﹣3|+|x+4|＝7，当x＜﹣4或x＞3时，这两个距离之和都会大于表示数3的点与表示数﹣4的点的距离，即：|x﹣3|+|x+4|＞7，∴当﹣4≤x≤3时，|x﹣3|+|x+4|有最小值，最小值是7．故答案为：7．【点睛】本题考查了绝对值的几何意义．解题的关键是明确数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点距离的计算方法是正确计算的前提．1．（2021·安徽芜湖·七年级期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离,3与5,4与﹣2,﹣4与3,﹣1与﹣5.并回答下列各题:(1)数轴上表示4和﹣2两点间的距离是;表示﹣1和﹣5两点间的距离是.(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为﹣3.①数轴上A、B两点间的距离可以表示为(用含x的代数式表示);②如果数轴上A、B两点间的距离为|AB|=1,求x的值.(3)直接写出代数式的最小值为.【答案】（1）6

4

（2）①丨x+3丨

②-2或者-4

（3）5【分析】距离一定是个非负数．【详解】（1）数轴上表示4和﹣2两点间的距离是6；表示﹣1和﹣5两点间的距离是4.（2）距离是个非负数，故值一定要加绝对值．令丨x-(-3)丨=1，解得：x=-2或者-4（3）当时，代数式的最小值为当时，代数式的最小值为5当时，代数式的最小值综合以上，可知代数式的最小值为5.【点睛】本题考察数轴的相关知识和绝对值的运用．3．（2022·山东·济南市七贤中学七年级阶段练习）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x|＝，现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别叫做|x+1|与|x﹣2|的零点值．）在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；（2）当﹣1≤x≤2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；（3）当x＞2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上所述，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|；（3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整数解；（4）|x+2|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由．【答案】（1）﹣2，4分别为|x+2|和|x﹣4|的零点值；（2）当x＜﹣2时，﹣2x+2；当﹣2≤x＜4时，6；当x≥4时，2x﹣2；（3）整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4；（4）有，|x+2|+|x﹣4|的最小值是6．【分析】（1）根据题中所给材料，求出零点值；（2）将全体实数分成不重复且不遗漏的三种情况解答；（3）由|x+2|+|x-4|=6，得到-2≤x≤4，于是得到结果；（4）|x+2|+|x-4|有最小值，通过x的取值范围即可得到结果．【详解】（1）∵|x+2|和|x﹣4|的零点值，可令x+2＝0和x﹣4＝0，解得x＝﹣2和x＝4，∴﹣2，4分别为|x+2|和|x﹣4|的零点值．（2）当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣2x+2；当﹣2≤x＜4时，|x+2|+|x﹣4|＝6；当x≥4时，|x+2|+|x﹣4|＝2x﹣2；（3）∵|x+2|+|x﹣4|＝6，∴﹣2≤x≤4，∴整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．（4）|x+2|+|x﹣4|有最小值，∵当x＝﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝6，当x＝4时，|x+2|+|x﹣4|＝6，∴|x+2|+|x﹣4|的最小值是6．【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是能根据材料所给信息，找到合适的方法解答．4．（2022·四川·九年级专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．发现问题：代数式的最小值是多少？探究问题：如图，点分别表示的是，2，，．∵的几何意义是线段与的长度之和，∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，∴的最小值是3．解决问题：(1)的最小值是；(2)利用上述思想方法解不等式：(3)当为何值时，代数式的最小值是2．【答案】(1)6(2)或(3)或【分析】(1)根据绝对值的几何意义，可知当x所对应的点在4和-2之间时有最小值，再结合数轴可求解．(2)根据绝对值的几何意义，可知当x所对应的点在-3左边或1右边时成立，再结合数轴可求解．(3)设A表示-a，B表示3，P表示x，根据绝对值的几何意义可知当P点在AB之间时有最小值，即AB的长，可先求出a的值，再结合数轴求出x的值．(1)设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x，∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，且线段AB的长度为6，∴的最小值为6．故答案为：6．(2)设A表示-3，B表示1，P表示x，∴线段AB的长度为4，则，的几何意义表示为PA+PB，∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，即不等式的解集为或．故答案为：或．(3)设A表示-a，B表示3，P表示x，则线段AB的长度为，的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，∴∴或，即或；故答案为：或．【点睛】本题属于一个阅读型题目，主要考查了绝对值的几何意义，结合数轴利用数形结合的方法解题是解题的关键．5．（2022·河北唐山·七年级期末）阅读下面的材料：我们知道，在数轴上，表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，表示有理数a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．请根据上面的材料解答下列问题：(1)数轴上有理数对应的点到有理数3对应的点的距离是_______；(2)表示有理数a对应的点与有理数_______对应的点的距离；如果，那么有理数a的值是_______；(3)如果，那么有理数a的值是_______．(4)代数式的最小值是_________，此时有理数a可取的整数值有______个．【答案】(1)12；(2)5，3或7；(3)0或7；(4)5，6．【分析】（1）根据题意可知，数轴上有理数对应的点到有理数3对应的点的距离是，计算即可；（2）根据题意进行解题即可；（3）式子代表的a对应的点到1的距离与到6的距离的和为7，找到对应的点即可；（4）代数式的最小值在数轴上1与6之间，最小值为5，符合条件的值有6个．(1)解：由题意得，=12，故答案为：12．(2)表示有理数a对应的点与有理数5对应的点的距离；，表示到5所对应的点距离为2的点，即为：3或7．故答案为：5；3或7．(3)表示：a对应的点到1的距离与到6的距离的和为7，从数轴上观察得出a的值为：0或7，故答案为：0或7．(4)代数式表示的是a对应的点到1的距离与到6的距离的和，最小值为1到6的距离，最小值为5，符合条件的整数值在1到6之间，共6个．故答案为：5，6．【点睛】本题主要考查的数材料阅读理解能力，考查知识点为绝对值的几何意义，灵活运用其几何意义是解题的关键．6．（2022·四川·石室初中七年级阶段练习）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为，当、两点中有一点在原点时，不妨设在原点，如图1，，当、两点都不在原点时，①如图2，点、都在原点的右边；②如图3，点、都在原点的左边，③如图4，点、在原点的两边，；综上，数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______．（2）若表示一个有理数，则当在什么范围内时，有最小值？请写出的范围及的最小值．（3）若表示一个有理数，则当在什么范围内时，有最小值？请写出的范围及的最小值．图1图2图3图4【答案】（1）；；或；（2）；；（3）；．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值，算出即可；（2）|x+1|+|x-3|的最小值，意思是x到-1的距离与到3的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上．（3）参考阅读材料，写出代数式表示的意义即可.【详解】（1）数轴上表示和两点之间的距离为数轴上表示和的两点和之间的距离为，，故或，或．（2）代数式表示数轴上一点到，两点的距离的和，可知有最小值为．（3）代数式表示到，两点的距离，可知取值范围，有最小值为．【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．7．（2022·吉林省第二实验学校七年级阶段练习）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作．如表示数轴表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）（1）若，则______，若，则______；（2）若，则能取到的最小值是______，最大值是______；（3）若，则能取到的最大值是______；（4）关于的式子的取值范围是______．【答案】（1）0；；（2）；2；（3）；（4）．【分析】（1）根据绝对值的几何意义和中点公式即可分别得出结论；（2）根据绝对值的几何意义可得原等式表示数轴上表示的点到2和两点距离和为3，再根据2到-1的距离恰为3即可得出结论；（3）根据绝对值的几何意义分类讨论，分别画出数轴即可得出结论；（4）根据绝对值的几何意义分类讨论，分别画出数轴即可得出结论．【详解】解：（1）表示数轴上表示的点到表示1和的距离相等，∴．表示数轴上表示的点到表示2和距离相等∴故答案为：0；；（2）表示的意义是数轴上表示的点到2和两点距离和为3．由2到-1的距离恰为3，可得，因此最大值为2，最小值为，故答案为：；2；（3）．表示意义是数轴上表示的点与表示2的点的距离比表示的点与表示的距离多3，当时，由数轴可得，此时符合题意，的最大值为；当-1＜x≤2时，由数轴可得，此时不符合题意；当x＞2时，由数轴可得，此时不符合题意；故答案为：；（4）表示的意义是数轴上表示的点到2和两点距离和当时，由数轴可得，＞2－（-1）=3；当-1≤x≤2时，由数轴可得，=2－（-1）=3；当x＞2时，由数轴可得，＞2－（-1）=3；；综上：当时，最小值为3．故答案为：．【点睛】此题考查的是绝对值与数轴，掌握绝对值的几何意义是解决此题的关键．8．（2022·四川·雅安中学七年级期中）阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1；综上讨论，原式＝通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）当x＜2时，|x﹣2|＝；（2）根据材料中的方法化简代数式|x+2|+|x﹣4|；（写出解答过程）（3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．【答案】（1）2-x；（2）；（3）2【分析】（1）根据题中材料，直接化简即可得解；（2）根据题中所给材料，求出0点值，将全体实数分成不重复且不遗漏的三种情况解答．（3）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值.【详解】（1）根据题意，得当x＜2时，|x﹣2|＝-（x﹣2）=2-x；（2）令求得当时，原式=；当时，原式=；当时，原式=；综上讨论，原式=（3）当时，原式=，当时，原式=，，当时，原式=，则|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值为2.【点睛】本题是一道材料分析题，要求同学们能根据材料所给信息，找到合适的方法解答．9．（2022·重庆梁平·七年级期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为______；表示－1和2两点之间的距离为______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和－1的两点之间的距离是3，那么a＝______．(2)若数轴上表示数a的点位于－5与3之间，求的值；(3)当x＝______时，的值最小，最小值为______．【答案】(1)4，3，2或−4；(2)8；(3)0，9【分析】（1）根据绝对值的性质列式计算即可；（2）去绝对值即可求出答案；（3）根据绝对值的几何意义分析得出x的值，进而计算即可．(1)解：数轴上表示6和2的两点之间的距离为4；表示－1和2两点之间的距离为3；∵表示数a和−1的两点之间的距离是3，∴|a−（−1）|＝3，解得a＝2或−4，故答案为：4，3，2或−4；(2)∵表示数a的点位于－5与3之间，∴；(3)由绝对值的几何意义可知：的值就是数轴上表示数x的点到0的距离与到－4的距离和到5的距离之和，∴当x＝0时，的值最小，最小值为9．【点睛】本题考查了绝对值的性质和绝对值的几何意义，正确理解数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于是解题的关键．10．（2022·浙江杭州·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______；（2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之同的距离为____．（3）的最小值为_______．的最小值为_____．（4）的最大值为_______．【答案】（1）4，3；（2）|x-1|,

|x+3|;（3）7,

10;（4）2【分析】（1）直接代入公式即可;（2）根据数轴上两点间的距离公式计算即可；（3）可知x对应点在对应-3和4的点之间时|x+3|+|x-4|的值最小;当-2≤x≤1时，|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x+4|值最小;（4）分3种情况讨论，|x-1|-|x-3|的值最大.【详解】解：（1）6﹣2=4,

1-(-2)=3所以,数轴上表示2和6两点之间的距离是4,数轴上表示1和-2的两点之间的距离为3；答案为:4,3;（2）根据两点间距离公式可知:数轴上表示x和1两点之间的距离为|x-1|,数轴上表示x和-3两点之间的距离为|x+3|故答案为:|x-1|,|x+3|;(3)x+3=0,x-4=0,解得x=-3,x=4；当x＜-3时，|x+3|+|x-4|=-x-3-x+4=-2x+1＞7当-3≤x≤4时，|x+3|+|x-4|=x+3+4-x=7当x＞4时，|x+3|+|x-4|=x+3+x-4=2x-1＞7x对应点在点-4和3之间时的任意一点,|x-3|+|x+4|的最小值为7；同理,分5种情况说明：当x＜-4时，原式=-4x-2＞14当-4≤x＜-2时，原式=-2x+6,10≤原式≤14当-2≤x≤1时，原式=10,当1＜x≤3时，原式=2x+8,

10＜原式≤14当x＞3时，原式=4x+2＞14由此可得，当-2≤x≤1时原式值最小，最小值是10，∴当-2≤x≤1时，|x-1|+|x+2|十|x-3|+|x+4|的最小值为10,故答案为:7,10;(4)∵x-1=0,x-3=0∴x=1,或x=3∴当x≤1时，|x-1|-|x-3|=1-x-(3-x)=-2，当x≥3时，|x-1|-|x-3|=x-1-(x-3)=2当1＜x＜3时，|x-1|-|x-3|=x-1-(3-x)=2x-4,-2＜2x-4＜2∴当x≥3时，|x-1|-|x-3|最大，最大值是2故答案为:2【点睛】此题主要考查了绝对值、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，,体现了数形结合的优点.11．（2022·全国·七年级课时练习）的最小值是（

）A．1 B．1010 C．1021110 D．2020【答案】C【分析】x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|表示：点x到数轴上的2021个点（1、2、3、…2021）的距离之和，进而分析得出最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|求出即可．【详解】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；所以：当1≤x≤2021时，|x-1|+|x-2021|有最小值2020；当2≤x≤2020时，|x-2|+|x-2020|有最小值2018；…当x=1011时，|x-1011|有最小值0．综上，当x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值，最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|=1010+1009+…+0+1+2+…+1010=1011×1010=1021110．故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值是解题关键．12．（2022·四川·成都七中万达学校七年级阶段练习）（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，①如图乙，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图丙，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图丁，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝．②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，令T＝|x2﹣3|﹣2，则T的最大值＝；当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为；当|x+1|+|x﹣2|＝5时，x的值为．③求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值．【答案】①7，|x+1|，﹣3或1；②﹣1，x2，﹣2或3；③90【分析】①根据两点间的距离公式可求数轴上表示2和-5的两点之间的距离，同理也求数轴上表示x和-1的两点之间的距离，再根据两点间的距离公式列出方程可求x；②求|x+1|+|x﹣2|的取最小值时，意思是x到-1的距离与到2的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上，x取0，因此T最大为1，当|x+1|+|x﹣2|取最大值以及|x+1|+|x﹣2|＝5时，可分x<-1，-1≤x≤2，x>2三类情况列式进行讨论；③根据材料当x到1的距离等于x到19的距离时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，代入计算即可得出结果．【详解】解：①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是|2﹣（﹣5）|＝7，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x+1＝±2，x＝﹣3或1．②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，x的取值范围是﹣1≤x≤2，T＝|x2﹣3|﹣2，当T要取最大值时，|x2﹣3|取最大值，，，|x2﹣3|最大值为3，因此T的最大值是1．当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三类情况进行讨论，当x＜﹣1时，原式＝﹣x﹣1+x﹣2＝﹣3．当﹣1≤x≤2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．当x＞2时，原式＝x+1﹣x+2＝3．∴当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为x2．当|x+1|+|x﹣2|＝5时，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三类情况进行讨论，当x＜﹣1时，方程可化为﹣x﹣1﹣x+2＝5，解得x＝﹣2．当﹣1≤x≤2时，方程可化为x+1+2﹣x＝3．当x＞2时，方程可化为x+1+x﹣2＝5，解得x＝3．综上x的值为﹣2或3．③根据材料当x到1的距离等于x到19的距离时，可知x＝10时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，最小值为9+8+7+．．．+1+0+1+2+3+．．．+9，＝（1+2+3+．．．+9）×2，＝×2，＝90．故答案为：①7，|x+1|，﹣3或1；②﹣1，x2，﹣2或3；③90．【点睛】本题考查了数轴、绝对值等，比较综合，涉及的核心知识点为：数轴上两点间的距离＝两个数之差的绝对值．13．（2022·四川·渠县第三中学七年级期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数