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专题09圆的综合问题【中考考向导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【直击中考】 1【考向一利用圆性质求角的度数】 1【考向二利用圆性质求线段的长度】 3【考向三利用圆性质求圆的半径】 11【考向四利用圆性质求线段的最值】 12【考向四利用圆性质求阴影部分的面积】 15【考向五切线的证明综合应用】 16【直击中考】【考向一利用圆性质求角的度数】例题:(2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习)如图,四边形内接于,,A为中点,,则等于(

)A. B. C. D.【变式训练】1.(2022·湖北省直辖县级单位·校考二模)如图,一块直角三角板的角的顶点落在上,两边分别交于两点,连结,则的度数是()A. B. C. D.2.(2022·黑龙江哈尔滨·校考二模)如图,、、、四个点均在上,,,则的度数为___________.3.(2022·内蒙古通辽·模拟预测)如图所示,已知四边形是的一个内接四边形,且,则_______.【考向二利用圆性质求线段的长度】例题:(2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测)如图,点A,B,C,D在上,点A为的中点,交弦于点E.若,,则的长是(

)A.2 B.4 C. D.【变式训练】1.(2022·江苏盐城·盐城市第四中学(盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学)校考模拟预测)如图,以为直径的与相切于点,点、在上,连接、、,连接并延长交于点,与交于点.(1)求证:;(2)若点是弧的中点,的半径为,,求的长.2.(2022·内蒙古通辽·模拟预测)如图,与的边相切于点,与、边分别交于点、,,是的直径.(1)求证:是的切线;(2)若,,求的长.3.(2022·湖北省直辖县级单位·校考一模)如图,是的外接圆,是的直径,F是延长线上一点,连接,,且.(1)求证:是的切线;(2)若,,求的长.4.(2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测)如图,为的直径,为弦,过点C的切线与的延长线交于点P,E为上一点,且,连接并延长交于点H.(1)求证:.(2)若,,求的长.【考向三利用圆性质求圆的半径】例题:(2022·福建福州·校考一模)如图,四边形内接于,,,则的半径为(

)A.4 B. C. D.【变式训练】1.(2022·福建福州·校考一模)如图,为的直径,P为延长线上的一点,过P作的切线,A为切点,,则的半径等于___________.2.(2022·湖北省直辖县级单位·校考一模)如图,点A,B,C在上,,,则的半径为_____.3.(2022·云南文山·统考三模)如图,在中,,D、E分别是AB、BC上的点,过B、D、E三点作,交延长线于点F,,,.(1)求证:;(2)当与相切于点D时,求的半径;(3)若,求的值.【考向四利用圆性质求线段的最值】例题:(2022·安徽合肥·校联考三模)如图,是的直径,,点在上,是的中点,是直径上的一动点,若,则周长的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.7【变式训练】1.(2022·广东江门·校考一模)矩形中,,,点P为矩形内一个动点且满足,则线段的最小值为________.2.(2022·广东江门·校考一模)中,,,点为的对称轴上一动点,过点作与相切,与相交于点,那么的最大值为______________.【考向四利用圆性质求阴影部分的面积】例题:(2022·广东江门·校考一模)如图,正方形的边长为2,则图中阴影部分的面积为(

)A. B. C. D.【变式训练】1.(2022·湖北省直辖县级单位·校考一模)如图,在半径为2,圆心角为的扇形内,以为直径作半圆,交弦于点D,则图中阴影部分的面积是(

)A. B. C. D.2.(2022春·九年级课时练习)如图,矩形中,,,是中点,以点为圆心,为半径作弧交于点,以点为圆心,为半径作弧交于点,则图中阴影部分面积的差为______.3.(2022秋·四川泸州·九年级统考期中)如图,,分别是的直径和弦,半径于点.过点作的切线与的延长线交于点,,的延长线交于点.(1)求证:是的切线;(2)若,,求图中阴影部分的面积.4.(2022·江苏扬州·校考三模)如图,Rt△ABC中,,,为上一点,,以为圆心,以为半径作圆与相交于点,点是⊙O与线段BC的公共点,连接,并且.(1)求证:是⊙O的切线;(2)求图中阴影部分的面积.5.(2022秋·全国·九年级专题练习)如图,已知,为的直径,过点A作弦垂直于直径于F,点B恰好为的中点,连接,.(1)求证:;(2)若,求的半径;(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.【考向五切线的证明综合应用】例题:(2022·湖南株洲·校考二模)如图,在菱形中,是对角线上一点,,垂足为,以为半径的分别交于点,交的延长线于点,与交于点.(1)求证:是的切线;(2)若是的中点,,.①求扇形的面积;②求的长.【变式训练】1.(2022·辽宁盘锦·校考一模)如图,中,,以为直径的交于点,点为延长线上一点,且.(1)求证:是的切线;(2)若,,求的半径.2.(2022·广东云浮·校联考三模)如图1,⊙O是的外接圆,是直径,,交⊙O于点E,且.

(1)求证:是⊙O的切线;(2)若点E为线段的中点,判断以O、A、C、E为顶点的四边形的形状并证明;(3)如图2,作于点F,连接交于点G,求的值.专题09圆的综合问题【中考考向导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【直击中考】 1【考向一利用圆性质求角的度数】 1【考向二利用圆性质求线段的长度】 3【考向三利用圆性质求圆的半径】 11【考向四利用圆性质求线段的最值】 12【考向四利用圆性质求阴影部分的面积】 15【考向五切线的证明综合应用】 16【直击中考】【考向一利用圆性质求角的度数】例题:(2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习)如图,四边形内接于,,A为中点,,则等于(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据,A为中点求出,再根据圆内接四边形的性质得到,即可求出答案.【详解】解:∵A为中点,∴,∴,∵,∴,∵四边形内接于,∴,∴,∴,故选B.【点睛】此题考查圆周角定理,解决本题的关键是掌握在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等,圆内接四边形的性质:对角互补.【变式训练】1.(2022·湖北省直辖县级单位·校考二模)如图,一块直角三角板的角的顶点落在上,两边分别交于两点,连结,则的度数是()A. B. C. D.【答案】B【分析】根据圆周角定理解决问题即可.【详解】解:,,,故选:B.【点睛】本题考查了圆周角定理,解决问题的关键是掌握圆周角定理,属于中考常考题型.2.(2022·黑龙江哈尔滨·校考二模)如图,、、、四个点均在上,,,则的度数为___________.【答案】##度【分析】首先连接,由、、、四个点均在上,,,可求得与的度数,然后由圆的内接四边新的性质,求得答案.【详解】解:连接,,,,,,,.故答案为:.【点睛】此题考查了圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质.此题比较适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.3.(2022·内蒙古通辽·模拟预测)如图所示,已知四边形是的一个内接四边形,且,则_______.【答案】##55度【分析】先根据圆周角定理求出的度数,再由圆内接四边形的性质即可得出结论.【详解】解:,.四边形是圆内接四边形,是四边形的一个外角,.故答案为:.【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理等内容,熟知圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键.【考向二利用圆性质求线段的长度】例题:(2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测)如图,点A,B,C,D在上,点A为的中点,交弦于点E.若,,则的长是(

)A.2 B.4 C. D.【答案】C【分析】连接,根据圆周角定理求得,在中可得,可得的长度,故长度可求得,即可求解.【详解】解:连接,∵,∴,在中,,∴,∴∵,∴,∴∵点A为的中点,∴,故选:D.【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理,解直角三角形,作出合适的辅助线是解题的关键.【变式训练】1.(2022·江苏盐城·盐城市第四中学(盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学)校考模拟预测)如图,以为直径的与相切于点,点、在上,连接、、,连接并延长交于点,与交于点.(1)求证:;(2)若点是弧的中点,的半径为,,求的长.【答案】(1)见解析(2)8【分析】(1)根据切线的性质可得,再由为的直径,可得,从而得到,再由圆周角定理,即可求证;(2)根据点是弧的中点,可得,再由,可得,从而得到,设,则,在中,根据勾股定理,即可求解.【详解】(1)证明:∵与相切,∴,即,∴,∵为的直径,∴,∴,∴,∵,∴;(2)解:∵点是弧的中点,∴,∵,,,∴,∴,设,则,∵的半径为,∴,在中,,∴,解得:,即.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理,解题的关键是利用同角的余角相等求得.2.(2022·内蒙古通辽·模拟预测)如图,与的边相切于点,与、边分别交于点、,,是的直径.(1)求证:是的切线;(2)若,,求的长.【答案】(1)见解析(2)3【分析】(1)连接,根据切线的性质得到,根据平行线和等腰三角形的性质可得,再利用“边角边”证明,根据全等三角形的性质得到,即可证明是的切线;(2)设的半径为,则,根据勾股定理解求出r,进而求出的长度,再根据相似三角形的性质得到的长度,根据全等三角形的性质即可求解.【详解】(1)证明:如图,连接.与的BC边相切于点B,是的直径,.,,.,,,在与中,,,,是的切线;(2)解:设的半径为r,.,.,,,解得:,.,,,,,,由(1)知,,.【点睛】本题考查了切线的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,平行线的性质,正确作出辅助线是解题的关键.3.(2022·湖北省直辖县级单位·校考一模)如图,是的外接圆,是的直径,F是延长线上一点,连接,,且.(1)求证:是的切线;(2)若,,求的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接,是的直径,则,得到,由得到,又由得到,即可得到结论;(2)解直角三角形得到,,得到,再证明,得到===,设,,,进一步求得,即可得到答案.【详解】(1)解:连接,∵是的直径,∴,∴,又∵,∴,又∵.∴,即,∴是的切线;(2)∵,∴,在中,∵,,∴,∴,∴,∵,,∴,∴===,设,,,又∵,即,解得(取正值),∴.【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识,熟练掌握相关定理是解题的关键.4.(2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测)如图,为的直径,为弦,过点C的切线与的延长线交于点P,E为上一点,且,连接并延长交于点H.(1)求证:.(2)若,,求的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接,由切线的性质可知,再证明,则,可得;(2)连接,根据为的直径得,根据得,得,利用勾股定理,解得或(舍去),则,证明,则,设,则,,可得,解,则,,由(1)可得,,从而可得.【详解】(1)解:如图①,连接,在和中,,,,,,,又,,,与相切,,.(2)解:如图②,连接,为的直径,,,,,,,解得或(舍去),,为切线,.为的直径,,,又,,,设,则,,,,解,,,由(1)可得,,.【点睛】此题考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法,解题的关键是正确地作出所需要的辅助线,构造出直角三角形、全等三角形、相似三角形、矩形,利用全等三角形、相似三角形、矩形的性质以及勾股定理求得结果.【考向三利用圆性质求圆的半径】例题:(2022·福建福州·校考一模)如图,四边形内接于,,,则的半径为(

)A.4 B. C. D.【答案】B【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出,由圆周角定理得出,根据可得出答案.【详解】连接,,∵四边形内接于,∴∴由勾股定理得:∵,∴∴的半径为:故选:B.【点睛】本题考查圆内接四边形的性质,圆周角与圆心角的关系,解题的关键是熟练运用相关定理.1.(2022·福建福州·校考一模)如图,为的直径,P为延长线上的一点,过P作的切线,A为切点,,则的半径等于___________.【答案】3【分析】连接,因为是的切线,得,结合已知在中运用勾股定理即可求解.【详解】连接,∵是的切线,∴,,在中,,即,∴,解得,故答案为:3.【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理的运用;掌握切线的性质构造直角三角形是解题的关键.2.(2022·湖北省直辖县级单位·校考一模)如图,点A,B,C在上,,,则的半径为_____.【答案】【分析】过点A作交的延长线于点E,连接,先求出,则,利用等腰直角三角形的性质得到,则,利用勾股定理求出的长即可得到答案.【详解】解:过点A作交的延长线于点E,连接.∵,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴.故答案为:.【点睛】本题主要考查了圆周角定理,圆内接四边形对角互补,勾股定理,等腰直角三角形的性质与判定,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.3.(2022·云南文山·统考三模)如图,在中,,D、E分别是AB、BC上的点,过B、D、E三点作,交延长线于点F,,,.(1)求证:;(2)当与相切于点D时,求的半径;(3)若,求的值.【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】(1)根据圆内接四边形的性质得到,即可证明;(2)连接,过点O作,垂足为M,求出,,再证明,从而求出求的半径(3)过点D作,垂足为H,过点B作,垂足为G,利用等积法求出,设,则,利用,即可求出的值.【详解】(1)∵四边形是⊙O的内接四边形,∴,∵,∴,∵,∴;(2)连接,过点O作,垂足为M,,∴,∵,,∵,∴,,在中,,∵与相切于点D,∴,∴,∴,∵,∴,,,,∴的半径为;(3)过点D作,垂足为H,过点B作,垂足为G,∵的面积,∴,,,∵,,∴,,,∴设,则,由(1)得:,,,解得:,经检验:是原方程的根,,∴的长为.【点睛】本题考查圆内接四边形的性质,圆的切线的性质、相似三角形的性质与判定,解题的关键是能够根据题目的条件,进行推理证明.【考向四利用圆性质求线段的最值】例题:(2022·安徽合肥·校联考三模)如图,是的直径,,点在上,是的中点,是直径上的一动点,若,则周长的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【分析】根据动点最值,将军饮马模型,如图所示,作点关于的对称点,连接交于,周长为,由对称性知周长为,根据两点之间线段最短可知周长的最小为,利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可得到答案.【详解】解:作点关于的对称点,则点在上,连接交于,由对称性知,周长为,根据两点之间线段最短可知周长的最小为,∵点是的中点,,∴,∴,∴,∴,∴是正三角形,∴,∵,∴周长的最小值为,故选:C.【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型,涉及圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系以及轴对称性质,掌握圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键.【变式训练】1.(2022·广东江门·校考一模)矩形中,,,点P为矩形内一个动点且满足,则线段的最小值为________.【答案】##【分析】通过矩形的性质和等角的条件可得,所以P点应该在以为直径的圆上,根据两边之差小于第三边及三点共线即可解决问题.【详解】解:如图,∵四边形为矩形,,,,,,,∴点P在以为直径的上,在中,,,由勾股定理得,,,∴当P,D,O三点共线时,最小,的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查矩形的性质,勾股定理,线段最小值问题及圆的性质,分析出P点的运动轨迹是解题的关键.2.(2022·广东江门·校考一模)中,,,点为的对称轴上一动点,过点作与相切,与相交于点,那么的最大值为______________.【答案】##【分析】设的对称轴交于F,连接,根据圆周角定理及题意得出点E在以为直径的圆上,由勾股定理得出,结合图形即可得出最大值.【详解】解:设的对称轴交于F,连接,∵,∴的对称轴,∴切于F,∵是的直径,∴,∴,∴点E在以为直径的圆上,∵,,∴,,∴,∴,∴.故答案为:.【点睛】题目主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质,勾股定理解三角形等,理解题意,作出相应辅助线是解题关键.【考向四利用圆性质求阴影部分的面积】例题:(2022·广东江门·校考一模)如图,正方形的边长为2,则图中阴影部分的面积为(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】如图,根据,求解即可.【详解】解:如图,∵四边形是正方形,∴,∵,∴是等腰直角三角形,∵,∴,∴.故选:D.【点睛】本题考查扇形的面积的计算,正方形的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用分割法解决问题,属于中考常考题型.【变式训练】1.(2022·湖北省直辖县级单位·校考一模)如图,在半径为2,圆心角为的扇形内,以为直径作半圆,交弦于点D,则图中阴影部分的面积是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】已知为直径,则,在等腰直角三角形中,垂直平分,,为半圆的中点,阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差.【详解】解:在中,AB2,∵是半圆的直径,∴,在等腰中,垂直平分,,∴D为半圆的中点,∴.故选:A.【点睛】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法,掌握面积公式是解题的关键.2.(2022春·九年级课时练习)如图,矩形中,,,是中点,以点为圆心,为半径作弧交于点,以点为圆心,为半径作弧交于点,则图中阴影部分面积的差为______.【答案】【分析】根据图形可以求得的长,然后根据图形即可求得的值.【详解】解:在矩形中,,是中点,,,.故答案为:【点睛】本题考查了扇形面积的计算、矩形的性质,解本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.3.(2022秋·四川泸州·九年级统考期中)如图,,分别是的直径和弦,半径于点.过点作的切线与的延长线交于点,,的延长线交于点.(1)求证:是的切线;(2)若,,求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接,可以证得,根据全等三角形的性质以及切线的性质定理可以得到,即,即可证得是的切线;(2)根据垂径定理得到,根据切线的性质得到,求得,根据等腰三角形的性质得到,根据勾股定理得到,根据三角形和扇形的面积公式即可得出结论.【详解】(1)证明:连接,是的切线,是的直径,,于点,,,在和中,,(SAS),,,是的半径,是的切线.(2)解:于点,,,是的切线,,,,,,,,,,,在中,,.故答案为:.【点睛】本题考查了切线的判定和性质,勾股定理,三角形和扇形的面积公式,全等三角形的判定和性质,正确地作出辅助线是解题的关键.4.(2022·江苏扬州·校考三模)如图,Rt△ABC中,,,为上一点,,以为圆心,以为半径作圆与相交于点,点是⊙O与线段BC的公共点,连接,并且.(1)求证:是⊙O的切线;(2)求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接,由是直径,得出,进而得出,由圆周角定理得出,进而得出,然后得出,再证明,得出,再证明是等边三角形,进而得出,证明,即可得出,即可得出结论.(2)先求出等边三角形的面积为:,由(1)可得出,求出扇形的面积为:,再由勾股定理得出,求出的面积为:,然后可求得阴影部分的面积.【详解】(1)如图,连接,∵是直径,∴,∴,∵,∴,∴,∵,,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∵,,∴,∵,∴是等边三角形,∴,∴,∴,∴∴,∵是半径,∴是⊙O的切线.(2)∵是等边三角形,∴,∵,∴的面积为:,∵,∴扇形的面积为:,∵,,,∴,∴,∴,∴由勾股定理可得:,∴的面积为:,∴阴影部分的面积为:.【点睛】本题考查圆周角定理,切线的判定,扇形的面积,等边三角形的判定与性质,正确作辅助线是解题的关键.5.(2022秋·全国·九年级专题练习)如图,已知,为的直径,过点A作弦垂直于直径于F,点B恰好为的中点,连接,.(1)求证:;(2)若,求的半径;(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.【答案】(1)证明见详解;(2)2;(3).【分析】(1)连接,,为的直径,得到两个直角及两条线段相等,再根据弧的中点得到弧相等,从而等到角相等,证明两个三角形全等即可得到答案;(2)连接,根据弧的中点得到弧相等,从而等到圆周角圆心角的关系,结合平角,求出的度数,在中根据勾股定理即可得到答案;(3)由(2)可得圆心角度数直接求扇形面积,再算出的面积即可得到阴影部分面积.【详解】(1)证明:连接,∵,为的直径,∴,,∵点B是的中点,∴,∴,在与中,∵,,,∴≌,∴;(2)解:连接,∵点B是的中点,∴,∴,,∵垂直于直径于F,,∴,,,∵,∴,∵,∴,∴,∴,在中,,解得:;(3)由(2)可得,,在中,∴,∴,,∴,∴.【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、扇形的面积以及解直角三角形等,作出辅助线构建直角三角形和等边三角形是解题的关键.【考向五切线的证明综合应用】例题:(2022·湖南株洲·校考二模)如图,在菱形中,是对角线上一点,,垂足为,以为半径的分别交于点,交的延长线于点,与交于点.(1)求证:是的切线;(2)若是的中点,,.①求扇形的面积;②求的长.【答案】(1)见解析(2

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