专题21特殊平行四边形的性质与判定综合(原卷版+解析)

专题21特殊平行四边形的性质与判定综合解题思路解题思路类型一：从平行四边形到特殊平行四边形类型二：特殊平行四边形间的交叉运用典例分析典例分析【类型一：从平行四边形到特殊平行四边形】【典例1】（2020春•濮阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，①则当∠ADE＝°时，四边形BECD是矩形；②则当∠ADE＝°时，四边形BECD是菱形．【变式1-1】（2020•金昌）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【变式1-2】（2021春•黄山期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形ADFE是矩形；（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．【类型二特殊平行四边形间的交叉运用】【典例2】（2021•丰台区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．【变式2-1】（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．【变式2-2】（春•江汉区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）判断四边形OCED的形状，并进行证明；（2）若AB＝4，∠ACB＝30°，求四边形OCED的面积．【典例3】（2021秋•凤翔县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．【变式3】（2021春•固始县期末）在Rt△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）证明：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【典例4】（2021秋•南海区月考）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D．（1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．（2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明．【变式4-1】（2021春•昆明期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE＝EF；（2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论．【变式4-2】（2021•平凉模拟）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：BM＝CM．（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．夯实基础夯实基础1．（2021•黄冈模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．2．（2021秋•兰山区月考）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，连接DF，GF，DG，CG，如图2，求证：△EGF≌△AGD．3．（2019春•鱼台县期末）如图，在△ABC中，O是AC上的一个动点（不与点A、C重合），过O点作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）试说明：OE＝OF；（2）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．能力提升能力提升 4．（高阳县一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF＝DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．（3）在（2）的条件下，要是四边形ADCF为正方形，在△ABC中应添加什么条件，请直接把补充条件写在横线上（不需说明理由）．5．（2020•青岛）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．专题21特殊平行四边形的性质与判定综合解题思路解题思路类型一：从平行四边形到特殊平行四边形类型二：特殊平行四边形间的交叉运用典例分析典例分析【类型一：从平行四边形到特殊平行四边形】【典例1】（2020春•濮阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，①则当∠ADE＝°时，四边形BECD是矩形；②则当∠ADE＝°时，四边形BECD是菱形．【答案】（1）略（2）80°，90°【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：①当∠ADE＝80°时，四边形BECD是矩形；理由：∵∠A＝50°，∠ADE＝80°，∴∠AED＝50°，∴∠A＝∠AED，∴AD＝DE，∵AB＝CD＝BE，∴BD⊥AE，∴∠DBE＝90°，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；②当∠ADE＝90°时，四边形BECD是菱形，∵∠A＝50°，∠ADE＝90°，∴∠AED＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBE＝∠A＝50°，∴∠BOE＝90°，∴BC⊥DE，∴四边形BECD是菱形，故答案为：80，90．【变式1-1】（2020•金昌）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【答案】（1）略（2）【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，∴x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，∵BD＝＝2，∴OB＝BD＝，∵BD⊥EF，∴EO＝＝，∴EF＝2EO＝．【变式1-2】（2021春•黄山期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形ADFE是矩形；（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．【答案】（1）略（2）【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥DC且AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF，∴四边形ADFE是矩形；（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝6，∵EC＝4，∴BE＝CF＝2，∴BF＝8，Rt△ABE中，∠ABE＝60°，∴AB＝2BE＝4，∴DF＝AE＝，∴BD＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴OF＝BD＝．【类型二特殊平行四边形间的交叉运用】【典例2】（2021•丰台区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．【答案】（1）略（2）．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10﹣4＝6，在Rt△ABE中，AE＝，在Rt△AEC中，AC＝，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴OE＝AC＝．【变式2-1】（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．【答案】（1）略（2）OE=5,BG=2【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．【变式2-2】（春•江汉区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）判断四边形OCED的形状，并进行证明；（2）若AB＝4，∠ACB＝30°，求四边形OCED的面积．【答案】（1）略（2）8【解答】证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形DOCE是平行四边形，∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OC＝AC＝BD＝OD，∴四边形OCED为菱形（2）∵AB＝4，∠ACB＝30°，∴AC＝8，∴BC＝＝＝4∴S△ABC＝×AB×BC＝8∴S△ABO＝4∵四边形ABCD是矩形∴S△ABO＝S△CDO＝4，∵四边形OCED为菱形∴四边形OCED的面积＝2S△CDO＝8【典例3】（2021秋•凤翔县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．【答案】（1）略（2）AE=【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形．又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．∴四边形ODEC是矩形．（2）解：【变式3】（2021春•固始县期末）在Rt△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）证明：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【答案】（1）略（2）10【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS）；∴AF＝DB，又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCF是菱形；（2）解：∵D是BC的中点，∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，∵四边形ADCF是菱形，∴菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×4×5＝10．【典例4】（2021秋•南海区月考）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D．（1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．（2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明．【答案】（1）四边形ACBD是矩形（2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形【解答】解：（1）四边形ACBD是矩形，证明：∵CD平行MN，∴∠OCB＝∠CBM，∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM，∴∠OCB＝∠OBC，∴OC＝OB，同理可证：OB＝OD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB，∴AB＝CD，∴四边形ACBD是矩形；（2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形，证明：由（1）得四边形ACBD是矩形，∵CB＝BD，∴四边形ACBD是正方形．【变式4-1】（2021春•昆明期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE＝EF；（2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论．【答案】（1）略（2）【解答】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF＝BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE＝BC，∴EF＝DF﹣DE＝BC﹣CB＝CB，∴DE＝EF；（2）解：当△ABC满足∠BAC＝45°，四边形ADCF是正方形，证明：∵四边形DBCF为平行四边形，∴BD＝CF，∵∠ACB＝90°，D为边AB的中点，∴AD＝BD＝CD，∴AD＝CF，∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠DCA＝45°，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是正方形．【变式4-2】（2021•平凉模拟）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：BM＝CM．（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．【答案】（1）略（2）当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M为AD中点，∴AM＝DM，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SAS），∴BM＝CM；（2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE＝CM，∵MF＝CM，∴NE＝FM，∵NE∥FM，∴四边形MENF是平行四边形，由（1）知△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME＝MF，∴平行四边形MENF是菱形；∵M为AD中点，∴AD＝2AM，∵AB：AD＝1：2，∴AD＝2AB，∴AM＝AB，∵∠A＝90°，∴∠ABM＝∠AMB＝45°，同理∠DMC＝45°，∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．夯实基础夯实基础1．（2021•黄冈模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．【答案】（1）略（2）AE＝12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝OA＝2，AC＝2OE＝4，∴OB＝＝＝3，∴BD＝2OB＝6，∵菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，即×6×4＝13×AE，解得：AE＝12．2．（2021秋•兰山区月考）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，连接DF，GF，DG，CG，如图2，求证：△EGF≌△AGD．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝90°，∴CB⊥AE，又∵AC＝EC，∴AB＝BE，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形；（2）∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠GAD＝∠GAE＝45°，∵EG⊥AC，∴∠E＝∠GAE＝45°，∴GE＝GA，又∵AF＝BE，∴AF+BF＝BE+BF，即AB＝EF，∴EF＝AD，在△EGF和△AGD中，，∴△EGF≌△AGD（SAS）．3．（2019春•鱼台县期末）如图，在△ABC中，O是AC上的一个动点（不与点A、C重合），过O点作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）试说明：OE＝OF；（2）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【答案】（1）略（2）O运动到AC中点【解答】（1）证明：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠FCD，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE，∠OCF＝∠FCD，∴∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF．（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明如下：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECA+∠ACF＝（∠ACB+∠ACD）＝∠BCD，∴∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形能力提升能力提升 4．（高阳县一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点