专题06锐角三角函数(重难点突破)(原卷版+解析)

专题06锐角三角函数重点锐角三角函数的概念，特殊角的三角函数值，利用计算器求锐角三角函数值难点锐角三角函数之间的关系易错混淆特殊角的三角函数值锐角三角函数概念熟记锐角三角函数的概念，可以简记为“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”.【例1】如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（

）A． B． C． D．【例2】已知在中，，，则的值等于（

）A． B．2 C． D．锐角三角函数之间的关系同一锐角的三角函数之间的关系：（1）;（2）.【例1】已知为锐角，且，那么的正切值为（

）A． B． C． D．【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（）A． B． C． D．三、30°，45°，60°角的三角函数值及有关计算熟记特殊角的锐角三角函数值是进行锐角三角函数计算的关键.【例1】在中，，，则的值为（

）．A． B． C． D．【例2】如图，在一块直角三角板中，，则的值是（

）A． B． C． D．四、利用计算器求锐角三角函数值或锐角化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值．【例1】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（）A． B．C． D．【例2】用我们数学课本上采用的科学计算器求的值，按键顺序正确的是（

）．A． B．C． D．五、对概念本质理解不透锐角三角函数值的本质是一个比值，它的大小只与锐角A的大小（即度数）有关，与所在的直角三角形的边的长度无关，即只要锐角A确定，其三角函数值也随之确定.【例1】在中，如果各边长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值A．扩大为原来的3倍 B．没有变化C．缩小为原来的 D．不能确定一、单选题1．如图，在中，，点是的中点，交于点，，则的长为（

）A． B． C． D．2．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A． B． C． D．3．如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，则点的坐标为（）

A． B． C． D．4．如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A． B．π C．π D．π5．如图，地面上点A和点B之间有一堵墙MN（墙的厚度忽略不计），在墙左侧的小明想测量墙角点M到点B的距离．于是他从点A出发沿着坡度为=1：0.75的斜坡AC走10米到点C，再沿水平方向走4米到点D，最后向上爬6米到达瞭望塔DE的顶端点E，测得点B的俯角为40°．已知AM=8米，则BM大约为（

）米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．8.6 B．10.7 C．15.4 D．16.76．如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（）A． B． C． D．二、填空题7．将放置在的正方形网格中，顶点、、在格点上．则的值为______．8．如图，边长为1的小正方形网格中，点均在格点上，半径为2的与交于点，则____________．三、解答题9．计算：（1）2cos230°﹣2sin60°•cos45°；

（2）10．如图，，，是半径为2的上三个点，为直径，的平分线交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，延长交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，求的值．一、单选题1．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（

）A． B． C． D．2．如图，在边长为1的正方形网格中，连结格点，和，，与相交于点，则的值为（

）A． B． C． D．13．如图，在菱形中，，E是上一点，连接，将沿AE翻折，使点B落在点F处，连接．若，则的值为（

）A． B． C． D．4．在中，，都是锐角，，，则对的形状最确切的判断是（

）A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形5．如图，已知直线l：，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点；；按此作法继续下去，则点的坐标为（）A． B． C． D．6．如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接．则下列结论：①；②；③四边形的面积是正方形面积的；④；⑤若，则．其中正确的结论有（

）个．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题7．计算：______．8．如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，．若，，，则的值为________．三、解答题9．计算：(1)；(2)．10．如图，在矩形中，，，对角线、交于点O，点M为线段上一点，联结，在内部作射线分别与线段、线段交于点N（不与点A、点D重合）、点P且．(1)当时，求的正切值；(2)射线交射线与点Q，若，求的长；(3)设线段，，写出y关于x的函数解析式，并写出定义域．专题06锐角三角函数重点锐角三角函数的概念，特殊角的三角函数值，利用计算器求锐角三角函数值难点锐角三角函数之间的关系易错混淆特殊角的三角函数值锐角三角函数概念熟记锐角三角函数的概念，可以简记为“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”.【例1】如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，，，；故正确的是B选项；故选：B．【例2】已知在中，，，则的值等于（

）A． B．2 C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴可设，则，∴，故选：D．锐角三角函数之间的关系同一锐角的三角函数之间的关系：（1）;（2）.【例1】已知为锐角，且，那么的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵，为锐角，∴，∴．故选：A．【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1，∴，∴，故选C．三、30°，45°，60°角的三角函数值及有关计算熟记特殊角的锐角三角函数值是进行锐角三角函数计算的关键.【例1】在中，，，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】解：中，，，∴,故选：A【例2】如图，在一块直角三角板中，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴．故选：B．四、利用计算器求锐角三角函数值或锐角化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值．【例1】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：科学计算器计算，按键顺序是故选：D．【例2】用我们数学课本上采用的科学计算器求的值，按键顺序正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】B【详解】解：采用科学计算器计算，按键顺序正确的是B选项中的顺序．故选：B．五、对概念本质理解不透锐角三角函数值的本质是一个比值，它的大小只与锐角A的大小（即度数）有关，与所在的直角三角形的边的长度无关，即只要锐角A确定，其三角函数值也随之确定.【例1】在中，如果各边长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值A．扩大为原来的3倍 B．没有变化C．缩小为原来的 D．不能确定【错解】A【错因分析】误认为直角三角形各边的长度都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值也扩大为原来的3倍.【解析】设原来三角形的各边分别为a，b，c，则cosA=，若把各边扩大为原来的3倍，则各边为3a，3b，3c，那么cosA==，所以余弦值不变．故选B．【正解】B一、单选题1．如图，在中，，点是的中点，交于点，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：连接BE，∵D是AB的中点，∴BD=AD=AB∵∠C=∠BDE=90°，在Rt△BCE和Rt△BDE中，∵，∴△BCD≌△BDE，∴BC=BD=AB．∴∠A=30°．∴tanA=即，∴AD=3，∴AB=2AD=6．故选C．2．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选D．3．如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，则点的坐标为（）

A． B． C． D．【答案】B【详解】过点P作PA⊥x轴于A，∵，∴，∴=4，∵点在第二象限，∴点P的坐标是（-3,4）故选：B.4．如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A． B．π C．π D．π【答案】D【详解】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴，即，∵tan∠ABC＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°，∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．5．如图，地面上点A和点B之间有一堵墙MN（墙的厚度忽略不计），在墙左侧的小明想测量墙角点M到点B的距离．于是他从点A出发沿着坡度为=1：0.75的斜坡AC走10米到点C，再沿水平方向走4米到点D，最后向上爬6米到达瞭望塔DE的顶端点E，测得点B的俯角为40°．已知AM=8米，则BM大约为（

）米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．8.6 B．10.7 C．15.4 D．16.7【答案】B【详解】如图，过E点作DF⊥AB于F点，过C点作CG⊥AB于G点，∵AC=10，坡比为=1：0.75，∴CG=8，AG=6，∴EF=ED+DF=6+8=14，又∠B=40°，∴BF===16.7，又GM=AM-AG=2，∴AF=AM-FG-GM=2，∴BM=AB-AM=16.7+2-8=10.7，故选B.6．如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：连接AC，过点D作DF⊥BE于点E，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∵DE⊥BD，∴OC∥ED，∵DE＝6，∴OC＝，∴AC=6，∵ABCD的面积为24，∴，∴BD＝8，∴＝＝5，设CF＝x，则BF＝5+x，由BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2可得：82﹣（5+x）2＝52﹣x2，解得x＝，∴DF＝，∴sin∠DCE＝．故选：A．二、填空题7．将放置在的正方形网格中，顶点、、在格点上．则的值为______．【答案】【详解】解：如图所示：连接，，，，，，．故答案为：．．8．如图，边长为1的小正方形网格中，点均在格点上，半径为2的与交于点，则____________．【答案】【详解】解：∵，∴，∴在中，∴．故答案为：三、解答题9．计算：（1）2cos230°﹣2sin60°•cos45°；

（2）【答案】（1）；（2）1-2．【详解】解：（1）原式＝2×（）2﹣2××＝；（2）原式＝﹣＝﹣＝﹣（+1）＝1﹣2．10．如图，，，是半径为2的上三个点，为直径，的平分线交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，延长交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】解：（1）证明：连接，∵，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半径，∴是的切线．（2）解：∵中，，，∴根据勾股定理得，∵，∴，∴，即，∴，，∴，∴在中，．一、单选题1．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意可得：，解得，可得，故选：B2．如图，在边长为1的正方形网格中，连结格点，和，，与相交于点，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【详解】解：连接格点，如图所示：则四边形是平行四边形，和都是等腰直角三角形，∴，，，，∴，∴，故选：A．3．如图，在菱形中，，E是上一点，连接，将沿AE翻折，使点B落在点F处，连接．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设与的交点为，设，则由菱形的性质可得，，由折叠的性质可得，，则，∴为等腰直角三角形，，∴，即，在中，，，∴，，，故选：D4．在中，，都是锐角，，，则对的形状最确切的判断是（

）A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】B【详解】解：由，，得，．．则对形状的判断最确切的是等腰直角三角形．故选：B．5．如图，已知直线l：，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点；；按此作法继续下去，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵直线l的解析式为，设直线l与x轴的夹角为，∴，即，∴直线l与x轴的夹角为，∵轴，∴，∵，轴，∴∴，∵，且∴，∴，∴，∵∴轴，∴，∴∵，且，∴∴∴，∴∴点的坐标为．故选：C．6．如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接．则下列结论：①；②；③四边形的面积是正方形面积的；④；⑤若，则．其中正确的结论有（

）个．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【详解】解：在正方形中，，，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，即，故①正确；∵，∴点四点共圆，∴，∴，又∵，∴，故②正确；在正方