专题03分式和分式方程（讲义）（原卷版）中考数学一轮复习

专题03分式和分式方程1．了解分式和最简分式的概念；2．能利用分式的基本性质进行约分和通分；3．能进行简单的分式加、减、乘、除运算；4．能解可化为一元一次方程的分式方程；5．能够根据具体问题中的数量关系列出可化为一元一次方程的分式方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。考点1：分式的有关概念及性质1．分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.注：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.

3．最简分式：分子与分母没有的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有，要进行约分化简.考点2：分式的运算1．约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算QUOTE；同分母的分式相加减，分母，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的作为的分子，把分母相乘的作为的分母.（3）除法运算，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母后，与被除式.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.

4.分式的混合运算顺序先算，再算，最后，有先算里面的.考点3：分式方程1．分式方程的概念分母中含有的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根增根.注：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.考点4：分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【题型1：分式的概念和性质】【典例1】（2023·江苏镇江·统考中考真题）使分式有意义的x的取值范围是．1．（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）函数的图象位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限2．（2022·江苏镇江·校考三模）若分式有意义，则x的取值范围是．3．（2023·江苏泰州·校考三模）下列等式成立的是(

)A． B．C． D．4．（2023·江苏扬州·统考一模）先化简再求值：，其中是方程的一个根．【题型2：分式的运算】【典例2】（2023·江苏盐城·统考中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：已知，，，试比较与的大小．小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较与的大小．小华：∵，∴．老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：__________．（填“”“”或“”）1．（2023·江苏扬州·校考模拟预测）已知，其中A、B为常数，那么的值为．2.（2023·江苏连云港·统考二模）比较大小：．（用“”、“”或“”填空）3．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）计算：(1)(2)4．（2023·江苏南京·校联考三模）已知，，证明：．【题型3：解分式方程】【典例3】（2023·江苏镇江·统考中考真题）（1）解方程：；（2）解不等式组：1．（2023·江苏南通·统考一模）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（）A． B． C．且 D．且2．（2023·江苏泰州·校考三模）方程的解为．3．（2023·江苏盐城·校考二模）分式方程的解是．4．（2023·江苏苏州·校考二模）解方程：．【题型4：分式方程的应用】【典例4】（2023·江苏盐城·统考中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型笔记本的单价比乙种类型的要便宜元，且用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价．2．（2023·江苏泰州·校考二模）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造米的道路比乙队改造同样长的道路少用天，求甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？3．（2016·江苏淮安·统考一模）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．4．（2023·江苏盐城·校考三模）某公司购买了一批A，B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用312元购买A型芯片的条数与用420元购买B型芯片的条数相等．(1)求该公司购买的A，B型芯片的单价各是多少元？(2)若两种芯片共购买了150条，且购买的总费用为4350元，求购买了多少条A型芯片？1．若分式的值为0，则的值是（

）A． B．0 C．3 D．2．分式与的最简公分母是（）A． B． C． D．3．下列各式是最简分式的是（

）A． B． C． D．4．将分式约分时，分子分母同时除以（

）A． B． C． D．5．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．6．随着自主研发能力的增强，我国在制造芯片最重要也是最艰难的技术上有了新突破——光刻机，将在年交付第一台工艺的国产沉浸式光刻机，其中数据（即）用科学记数法可表示为（

）A． B． C． D．7．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（

）．A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．不能确定8．分式方程的解是（

）A． B． C． D．9．伴随2023城市自然行动——“1864大熊猫巡展”在长沙站的正式启动，湖南省地质博物馆迅速成了巡展的热门打卡地．某学校九年级学生去距学校的湖南省地质博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为（

）A． B． C． D．10．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．211．计算的结果是．12．计算：13．先化简，再求值：，其中．14．解方程(1)(2)15．2022年11月20日，卡塔尔世界杯盛大开幕，活泼灵动的吉祥物“拉伊卜”吸引了全世界的目光，一时间“拉伊卜”玩偶供不应求．某公司的两个车间负责生产“拉伊卜”玩偶，已知甲车间每天生产玩偶的数量是乙车间的1.5倍，甲车间生产600个玩偶比乙车间生产800个玩偶少用1天．求甲、乙两车间每天各生产玩偶多少个？1．下列各式从左到右变形正确的是（

）A． B．C．D．2．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且3．若分式方程有增根，则a的值是（

）A． B．0 C．0或 D．0或24．已知，则的值为（

）A． B． C．2025 D．20205．如果关于的一元二次方程两个根为，那么方程的两个根和系数有如下关系：，若是关于的一元二次方程的两根，已知，则的值是（

）A． B． C．4 D．6．若代数式有意义，则的取值范围是．7．一组学生春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少摊3元，若设原来这组学生人数为x，那么可列方程为．8．如果，那么．9．已知：，则．10．若已知（其中为常数），则．11．解方程：(1)；(2)．12．某学校决定购买A，B两种的亚运会纪念徽章作为“校园读书节”活动奖品，已知A种比B种每件多20元，预算资金为1600元．(1)其中700元购买A种徽章，其余资金购买B种徽章，且购买B种的数量是A种的3倍．求A，B两种徽章的单价．(2)购买当日，正逢“十一”大促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：在不超过预算资金的前提下，准备购买A，B两种徽章共120件；问最多购买A种徽章的多少件？13．观察下面的计算：①，，即为；②，，即为；③，，即为；④，，即为；(1)根据上面的计算，请你写出第9个的等式即为；(2)根据上面的计算，请你猜想第n个的等式即为；(3)请你证明你的猜想．14．阅读理解题．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2．(1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”．(2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值．15．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．【解决问题】（1）若，则______0（填“”“”或“”）；（2）已知，，当时，比较与的大小，并说明理由；（3）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升．①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含，的代数式表示，化简结果）；②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？1．（2023·江苏·统考中考真题）若代数式的值是0，则实数x的值是（

）A． B．0 C．1 D．22．（2023·江苏泰州·统考中考真题）若，下列计算正确的是（

）A． B． C． D．3．（2021·江苏南京·统考中考真题）计算的结果是（

）A． B． C． D．4．（2019·江苏苏州·统考中考真题）小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为(

)A． B． C． D．5．（2013·江苏宿迁·中考真题）方程的解是A．x=﹣1 B．x=0 C．x=1 D．x=26．（2023·江苏·统考中考真题）计算：．7．（2023·江苏泰州·统考中考真题）溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为．8．（2022·江苏苏州·统考中考真题）化简的结果是．9．（2023·江苏·统考中考真题）方程的解是．10．（2019·江苏宿迁·统考中考真题）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是