专题01整数和整除（5个知识点13种题型1个易错点）（原卷版）

专题01整数和整除（5个知识点13种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：整数的意义和分类知识点2：整除的意义知识点3：因数和倍数的意义知识点4：能被2、5整除的数知识点5：能被3、9整除的数【方法二】实例探索法题型1：整数的分类题型2：整除与除尽的区别题型3：因数与倍数的关系题型4：求一个数的因数题型5：求一个数的倍数题型6：因数与倍数的性质题型7：能被2整除数的特征题型8：奇数、偶数的判定方法题型9：奇数和偶数的计算题型10：能被5整除数的特征题型11：能被2、5整除数的应用题型12：能被3整除的数的特征题型13：能被9整除的数的特征【方法三】差异对比法易错点：整除与除尽概念理解不清导致错误【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：整数的意义和分类（1）自然数：零和正整数统称为自然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．注意：0的含义(1)零可以表示没有物体。(2)可以表示计量过程中某种量的基准数。如：零摄氏度，归零，从零开始。最小的自然数是0，没有最大的自然数。知识点2：整除的意义整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除．1.整除的条件：（1）除数、被除数都是整数（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零2.区别“整除”与“除尽”的概念被除数和除数商整除都是整数，除数不等于0商是整数，余数为0除尽不一定是整数，除数不等于0商是整数或有限小数，没有余数注意：其实，整除是除尽的一种特殊形式。知识点3：因数和倍数的意义整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）．因数与倍数的特征：找一个数的因数的方法方法一：列除法算式找。用这个数除以一个整数，除数从1开始试除，注意得到的商必须是整数。我们在列除法算式，找一个数的因数的时候，就用此数分别除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商就是这个数的因数。方法二：列乘法算式找。根据除法各部分间的关系，“被除数=除数×商”来找，如，找18的因数，先看18是哪两个数相乘的积，那么这两个数就是18的因数。18=1×18,18=2×9,18=3×6，用乘法找一个数的因数时，一般要从自然数1开始一对一对地找，这样不易遗漏。我们在列乘法算式找一个数的因数的时候，把这个数写乘两个整数相乘的形式，算式中的每个整数都是这个数的因数。找一个数的倍数的方法（如找2的倍数的方法）方法一:列除法算式找。根据倍数的意义，可以列除法算式找出2的倍数。看哪个数除以2，商是整数且没有余数，这个数就是2的倍数，如2÷2=1,4÷2=2,6÷2=3，…那么2，4，6，…都是2的倍数。我们在列除法算式，找一个数的倍数的时候，就是看哪些非0自然数除以这个数商是整数且没有余数，这些数就是这个数的倍数。方法二：列乘法算式找。2与非零自然数的积都是2的倍数。用2分别乘1,2,3，…。也就是2×1=2,2×2=4,2×3=6，…。那么2,4,6,…。都是2的倍数。我们在列乘法算式找一个数的倍数的时候，就是用这个数依次与非0自然数相乘，所得到的积就是这个数的倍数。知识点4：能被2、5整除的数1、能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数； 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．2、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数．3、能同时被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．知识点5：能被3、9整除的数能被3整除的数能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数．能被9整除的数能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．【方法二】实例探索法题型1：整数的分类1.在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是_________，自然数是__________．2.把下列各数填在适当的内:9，0，0.23,53,,26,1正整数负整数自然数3.先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？－1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10．整数 自然数正整数 负整数4.是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的正整数，负整数，自然数？如果有，请写出是哪个数．题型2：整除与除尽的区别5.（2022秋·上海·六年级专题练习）下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（

）A．14和7 B．2.5和5 C．9和18 D．0.4和86．（2022秋·上海·六年级专题练习），___________填“能”或“不能”）说3能整除4.87．（2022秋·上海宝山·六年级统考期中）如果n表示一个正整数，那么被4除的余数是______．8.下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是________．eq\o\ac(○,1)3和0.3；eq\o\ac(○,2)12和4；eq\o\ac(○,3)5和15；eq\o\ac(○,4)0.2和0.4；eq\o\ac(○,5)1.4和14；eq\o\ac(○,6)5和0.1．9.下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．eq\o\ac(○,1)7和11；eq\o\ac(○,2)9和2538；eq\o\ac(○,3)2和5；eq\o\ac(○,4)15和5；eq\o\ac(○,5)13和91；eq\o\ac(○,6)2和0.4；eq\o\ac(○,7)0.3和6；eq\o\ac(○,8)1.5和2.5．10.把表示下列算式的序号填入适当的空格内．（1）30÷10； （2）7÷25；（3）35÷0．1； （4）18÷3；（5）0．4÷2； （6）3．9÷0．3；（7）27÷9； （8）16÷4．除数能整除被除数的：________________________________________； 能够除尽的：________________________________________________．题型3：因数与倍数的关系11．（2023秋·上海徐汇·六年级上海市徐汇中学校考期末）能整除19，那么是（）A．19 B．38 C．19的倍数 D．19的因数12．（2022秋·上海·六年级专题练习）a÷b＝5（a，b都是非0自然数），a是b的（

），b是a的（

）．①倍数

②因数

③积A．①② B．②① C．③①13．（2022秋·六年级单元测试）是一个正整数，它的最小的因数是______，最大的因数是______，最小的倍数是______．14．（2022秋·上海·六年级专题练习）一个整数_____________最大的倍数（填“有”或“无”），而最小的倍数是___________．题型4：求一个数的因数15．（2022秋·上海杨浦·六年级统考期中）8的因数有_______．16．（2022秋·上海闵行·六年级校考阶段练习），则的因数有_________个．17．（2022秋·上海闵行·六年级上海市闵行区莘松中学校考期中）16的所有因数的和是_________．18．（2022秋·上海·六年级专题练习）规定一个新运算：对于不小于3的正整数n，表示不是n的因数的最小正整数，如5的因数是1和5，所以；再如8的因数是1、2、4和8，所以等等，请你在理解这种新运算的基础上，求_______________．19.两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？20.用16块面积是1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长和宽分别是多少厘米？21.我们知道，每个正整数都有因数，对于一个正整数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个正整数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如10的“完美指标”是．一个正整数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10完美．根据上述材料，回答下面问题：（1）5的“完美指标”是____________；（2）6的“完美指标”是____________；（3）9的“完美指标”是____________．（4）试找出比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．题型5：求一个数的倍数22．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）一个整数的最小倍数是201，则这个数是________．23.李明去儿童乐园玩，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车一次，13路车每6分钟发车一次．现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？24.一筐苹果，2个一拿或3个一拿或4个一拿或5个一拿都正好拿完没有余数，问这筐苹果最少有多少个？题型6：因数与倍数的性质25．（2022秋·上海·六年级专题练习）下列说法中正确的是（

）A．任何正整数的因数至少有两个 B．1是所有正整数的因数C．一个数的倍数总比它的因数大 D．3的因数只有它本身26．（2022秋·上海徐汇·六年级校考阶段练习）一个整数最小的因数是______，最小的倍数是______．27．（2022秋·上海浦东新·六年级校考期中）如果用表示a的全部因数的和，如，那么______．28．（2022秋·上海长宁·六年级上海市复旦初级中学校考期中）既是的倍数又是的因数的数是_________．29．（2022秋·上海宝山·六年级统考期中）正整数16的最小倍数减去它的最大因数，所得的差是______．题型7：能被2整除数的特征30．（2022秋·上海·六年级专题练习）个位上是______的整数，一定能被2整除．题型8：奇数、偶数的判定方法31．（2022秋·上海浦东新·六年级校考期末）有一个三位数，百位数字是最小的奇数，十位上是0，个位上是一位数中最大的偶数．这个数是（

）A．102 B．201 C．801 D．10832．（2022秋·上海·六年级专题练习）两个连续的自然数的和是（

）A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．既不是奇数也不是偶数．33．（2022秋·上海·六年级专题练习）要把一个奇数变成偶数，下列说法中错误的是（

）A．加上1 B．减去1 C．乘以2 D．除以234．（2022秋·上海·六年级专题练习）自然数中最小的奇数是_______，最小的偶数是___．35．（2022秋·上海·六年级专题练习）如果a是一个奇数，那么与a相邻的两个偶数是多少？题型9：奇数和偶数的计算36．（2022秋·上海·六年级专题练习）两个奇数的积一定是________，两个偶数的积一定是_____，一个奇数与一个偶数的积一定是____．（填“奇数”或“偶数”）．题型10：能被5整除数的特征37．（2022秋·上海·六年级专题练习）个位上是_______的整数，一定能被5整除．题型11：能被2、5整除数的应用38．（2022秋·上海·六年级阶段练习）下列各组数中能同时被2和5整除的是（

）A．35 B．42 C．15 D．2039．（2022秋·上海·六年级专题练习）既能被2整除又能被5整除的最小的三位数是（

）A．102 B．105 C．110 D．10040．（2022秋·上海·六年级专题练习）整数2009至少加上________才能同时被2、5整除．41．（2022秋·上海嘉定·六年级统考期中）在75，50，42，40，66中，既是2的倍数又能被5整除的数有___________________．42．（2021秋·上海浦东新·六年级上海市民办新竹园中学校考期中）一个两位数加2是2的倍数，加5是5的倍数，加7是7的倍数，此数是______．43．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）从0、4、5、9这四个数字中，任选三个数字组成一个能同时被2和5整除的三位数,这样的三位数共有几个？分别是什么？题型12：能被3整除的数的特征44．（2022秋·上海徐汇·六年级校考阶段练习）用0，1，4，7组成的所有四位数都能被（

）A．3整除 B．2整除 C．5整除 D．7整除45．（2022秋·上海浦东新·六年级校考期末）一个两位数，既是3的倍数，又有因数5，则这个数最小是_____．47．（2022秋·上海徐汇·六年级上海市第四中学校考阶段练习）在8□3□的□内填上同一个正整数，使这个数能同时被3和5整除，则□内填______．48．（2022秋·上海·六年级专题练习）三位数75□能同时被2、3整除，那么□可以是_____________．49.一个五位数能被3整除，且能被2整除，这样的五位数有______个．50.在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？题型13：能被9整除的数的特征51.已知一个三位数，试证明：若能被9整除，则能被9整除．【方法三】差异对比法52.把表示下列算式的序号填入适当的空格内．（1）30÷10； （2）7÷25；（3）35÷0．1； （4）18÷3；（5）0．4÷2； （6）3．9÷0．3；（7）27÷9； （8）16÷4．除数能整除被除数的：________________________________________； 能够除尽的：________________________________________________．【方法四】成功评定法一．选择题（共6小题）1．（2022秋•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）A．25和50 B．42和3 C．10和4 D．9和1.52．（2022秋•青浦区期中）下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是（）A．9 B．15 C．20 D．453．（2022秋•徐汇区校级期中）下列说法中，正确的个数有（）①32能被4整除；②1.5能被0.5整除；③13能整除13；④0能整除5；⑤25不能被5整除；⑥0.3不能整除24．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2021秋•宝山区校级月考）要使五位数5017□能被3整除，□中可以有（）个数可填．A．4 B．3 C．2 D．15．（2020秋•普陀区期中）下面四个数中，能同时被3、5整除的是（）A．220 B．225 C．230 D．2356．（2020秋•浦东新区月考）下列各组数中能同时被2和5整除的是（）A．35 B．42 C．15 D．20二．填空题（共12小题）7．（2022秋•闵行区校级期中）16的所有因数的和是．8．（2022秋•青浦区期中）24的因数有．9．（2022秋•宝山区期中）在正整数18、4、3中，是的倍数．10．（2022秋•宝山区校级月考）最小的自然数是．11．（2022秋•嘉定区期中）18的因数有．12．（2022秋•嘉定区期中）在75，50，42，40，66中，既是2的倍数又能被5整除的数有．13．（2022秋•徐汇区期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是．14．（2022秋•宝山区期中）在能够同时被2和5整除的所有两位数中，最大的是．15．（2022秋•宝山区校级月考）能整除16的数有．16．（2022秋•黄浦区期中）身边的数学：110是报警，120是急救，114是查询，96315是投诉，119是火警，在这些号码中，能同时被2和5整除的是（填号码）17．（2022秋•徐汇区校级期中）规定一种新运算：对于不小于3的正整数n，（n）表示不是n的因数的最小正整数，如5的因数是1和5，所以（5）＝2；再如（8）的因数是1、2、4和8，所以（8）＝3等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（9）+（12）＝．18．（2022秋•青浦区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．所以，16的“完美指标”是