6.1-6.3线段射线直线与角（重难点突破）

突破6.1~6.3线段、射线、直线与角【知识点一、直线】1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．2.表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．图1 图2（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．特别说明：直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点．4.点与直线的位置关系：（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．图3 图4【知识点二、线段】1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．图53.“作一条线段等于已知线段”的两种方法：法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．图6图65.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．图图7特别说明：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．【知识点三、射线】1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．图8图82.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．特别说明：(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA，射线OB是不同的射线．图9图9(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．图10图10【知识点四、直线、射线、线段的区别与联系】1.直线、射线、线段之间的联系（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．2．三者的区别如下表类型名称直线射线线段图形表示方法①两个大写字母；②一个小写字母①两个大写字母（表示端点的字母在前）②一个小写字母①表示两端点的两个大写字母②一个小写字母端点个数无1个2个延伸性向两方无限延伸向一方无限延伸不可延伸性质两点确定一条直线两点之间，线段最短度量不可以不可以可以作图叙述过A、B作直线AB以A为端点作射线AB连接AB特别说明：（1）联系与区别可表示如下：向两方延伸向一方延伸直线（直线的性质公理）线段线段长短的比较，线段的中点射线向两方延伸向一方延伸直线（直线的性质公理）线段线段长短的比较，线段的中点射线反向延伸反向延伸（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．【知识点五、角的概念的理解】角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图2图1图2图1（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．特别说明：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：特别说明：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．【知识点六、余角与补角】1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．特别说明：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°－α)，一个角α的补角可以表示为(180°－α)．显然一个锐角的补角比它的余角大90°．【知识点七、邻补角与对顶角】1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．特别说明：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．特别说明：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(一)直线、射线、线段的区别与联系例1．如图，下列说法不正确的是（

）

A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段C．射线与射线是同一条射线 D．射线与射线是同一条射线【答案】D【分析】根据直线、射线、线段的定义对各选项分析判断即可得解．【详解】A、直线与直线是同一条直线，此选项说法正确，不符合题意；B、线段与线段是同一条线段，此选项说法正确，不符合题意；C、射线与射线有同样的起点和方向，是同一条射线，此选项说法正确，不符合题意；D、射线与射线的起点不同，不是同一条射线，此选项说法错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．【变式训练1－1】下列几何图形与相应语言描述相符的有（

）

①直线a、b相交于点A；②射线与线段没有公共点；③延长线段；④直线经过点A.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用线段、直线和射线的语言描述逐一判断即可解题．【详解】①直线a、b相交于点A，描述正确；②射线与线段有公共点，描述错误；③延长线段，描述正确；④直线不经过点A，描述错误；故选B．【点睛】本题考查线段、射线和直线的语言描述，熟练把图形语言转化为文字语言是解题的关键．【变式训练1－2】如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有（）①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线；⑤延长线段和延长线段的含义是相同的；⑥点B在线段上．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据直线、射线、线段的定义与表示：直线是从客观事物中抽象出来的，直线没有尽头，是向两方无限延伸的，用直线上任意两点的大写字母表示，可用一个小写字母表示；直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上另一点来表示，也可用一个小写字母表示；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，可用表示端点的两个大写字母表示，也可用一个小写字母表示．观察图形，逐项判断，选择答案即可．【详解】①直线没有尽头，是向两方无限延伸的，即图中只有一条直线，故原说法正确；②能用字母表示的射线有射线、射线、射线、射线，共4条，故原说法错误；③线段有线段、线段、线段，一共有三条，故原说法正确；④直线是向两方无限延伸的，没有长度，不能再延长，故原说法错误；⑤延长线段和延长线段的延长方向不同，含义不同，故原说法错误；⑥观察图形，点B在线段上，该说法正确．综上，说法中正确的有①、③、⑥这3个．故选：B．【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，理解直线、射线、线段的定义与表示是解题的关键．【变式训练1－3】如图所示，共有多少条直线、射线、线段？请依次指出．

【答案】见解析【分析】根据直线、射线和线段的定义进行判断即可得到答案．【详解】题图中共有2条直线，即直线，；13条射线，即射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线，还有6条不可以表示的；6条线段，即线段，线段，线段，线段，线段，线段．【点睛】本题考查直线、线段和射线的定义，直线：能够向两端无限延伸的线；射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点；线段：直线上两点和中间的部分叫做线段，这两个点叫线段的端点．(二)直线、射线、线段的数量和交点问题例2．如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（

）种．A．4 B．6 C．10 D．12【答案】B【分析】单程两个站点有一种票，相当于两两组合，根据计算即可．【详解】解：（种），∴要为这次列车制作的单程火车票6种．故选：B．【点评】本题主要考查了直线、射线、线段，掌握同两个站之间的车票有起点站和终点站的区分是解答本题的关键．【变式训练2－1】两条直线相交，产生一个交点，已知9条直线相交最多产生36个交点，那么10条直线相交最多产生交点个数为（

）A．45 B．46 C．50 D．60【答案】A【分析】根据三条直线交点最多为个，四条直线交点最多为个，五条直线交点最多为个，六条直线交点最多为个，然后得出规律，列式计算即可得解．【详解】解：两条直线相交，只有1个交点，三条直线交点最多为个，四条直线交点最多为个，五条直线交点最多为个，六条直线交点最多为个；10条直线交点最多为．故选A【点睛】本题考查了直线、射线、线段，观察得出最多交点的个数变化规律是解题的关键．【变式训练2－2】如图，观察图形，有下列说法：①直线和直线是同一条直线；②；③射线与射线是同一条射线；④三条直线两两相交时，一定有三个交点．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据线段，直线，两点之间线段最短，直线的交点问题，逐项分析判断即可求解．【详解】①直线和直线是同一条直线，正确；②，正确；③射线与射线是同一条射线，正确；④三条直线两两相交时，不一定有三个交点，故④错误．其中正确的个数是个，故选：C．【点睛】本题考查了线段，直线，两点之间线段最短，直线的交点问题，掌握以上知识是解题的关键．【变式训练2－3】平面内有两两相交的条直线，如果最多有个交点，最少有个交点，那么．【答案】【分析】根据题意，画图分类讨论，分别解出的值，代入即可求解．【详解】解：如图所示：条直线两两相交，有种情况：①条直线经过同一点，有一个交点；②条直线经过同一点，被第条直线所截，有个交点；③条直线不经过同一点，有个交点．∴平面内两两相交的条直线，最多有个交点，最少有个交点；∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查直线的位置关系与有理数的运算的综合，掌握同一平面内多条直线的位置关系，画图分析，分类讨论，有理数的运算法则是解题的关键．(三)线段有关计算问题【例3】如图，点C，D是线段上的两点，若，点P是线段的中点，则．【答案】6【分析】先求出，再利用中点的定义求解即可．【详解】解：∵，∴，又∵点P是线段的中点，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查线段的和差，中点的定义，掌握这些基础知识是解题的关键．【变式训练3－1】已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则．【答案】1或【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答．【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：

，，，，，，；当点N在线段的延长线上，如图：

，，，，综上所述：的值为1或，故答案为：1或．【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键．【变式训练3－2】如图，B、C网点把线段分为三部分，．

(1)求的长(2)若点M是的中点，求的长．(3)在（2）的条件下，若点N为线段中点，求线段的长度．【答案】(1)18(2)1(3)2【分析】（1）设为，为，为，根据求出x的值，得出答案即可；（2）根据M为的中点，得出，求出的值即可；（3）根据，根据中点得出，求出即可．【详解】（1）解：设为，为，为，，，，，（2）解：，M为的中点，，；

（3）解：，为的中点，，，．

【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，解题的关键是数形结合，求出相关的线段长度．【变式训练3－3】七（1）班的数学兴趣小组在活动中，对“线段中点”问题进行以下探究．已知线段，点E，F分别是，的中点．

(1)如图1，若点C在线段上，且（写出解题过程），的长度；(2)如图2，若点C是线段上任意一点，则的长度为；(3)若点C在线段的延长线上，其余条件不变，借助图3探究的长度（不写探究过程）．【答案】(1)的长度为(2)5(3)【分析】（1）根据，得，根据点E，F分别是，的中点得，，即可得；（2）根据点E，F分别是，的中点得，，根据，即可得；（3）根据点E，F分别是，的中点得，，根据，即可得．【详解】（1）解：∵，，∴，∵点E，F分别是，的中点，∴，，∴，∴EF的长度为；（2）解：∵点E，F分别是，的中点，∴，，∵，∴，故答案为：5；（3）解：∵点E，F分别是，的中点，∴，，∵，，故答案为：．【点睛】本题考查两点间线段的长度，解题的关键是对线段中点知识的熟练掌握．(四)线段的动点最值问题【例4】已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒．

（1）当点到达终点时，点在边；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为；（3）点、相遇时，秒．【答案】7.2【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置；（2）由题意知，；（3）由题意知，，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，∵，∴当点到达终点时，点运动路程为，∵，∴点在边上，故答案为：；（2）解：由题意知，，故答案为：；（3）解：由题意知，，解得，，故答案为：7.2．【点睛】本题考查了动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练4－1】已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．

(1)若，，线段在线段上移动．①如图1，当为中点时，求的长；②若点在线段上，且，，求的长；(2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值．【答案】(1)①；②或(2)或【分析】（1）根据已知条件得到，，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②点在点的左侧，点是的中点，所以，可以根据进行求解，当点在点的右侧，，，求出的长度，再根据进行求解即可；（2）当在点的右侧时，设，，则，，，求得，当在点的左侧时，设，，则，，，求得，分别代入关系式即可得出答案．【详解】（1）解：①，，，，，如图，

为中点，，，；②如图，

，点在点的左侧，点是的中点，，，；当点在点的右侧，如图

，，，，，综上所述，的长为或；（2），，满足关系式，如图，当在点的右侧时：

设，，则，，，，，，，，，解得，，

；如图，当在点的左侧时：

设，，则，，，，，，，，，解得，，

．故答案为是或．【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题的关键．【变式训练4－2】在数轴上，表示数的点到原点的距离．如果数轴上两个点、分别对应数、，那么、两点间的距离为：，这是绝对值的几何意义．已知如图，点在数轴上对应的数为－3，点对应的数为2．（1）求线段的长．（2）若点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使？若存在，求出点对应的数；若不存在说明理由．（3）若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点，当点在点左侧的数轴上运动时，请直接判断的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．【答案】（1）5；（2）或6；（3）随着点的移动，的值不变．【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式计算便可．（2）根据已知线段的关系式，列出绝对值方程进行解答即可．（3）用点表示的数，列出关于的代数式进行讨论解答即可．【详解】解：（1）点在数轴上对应的数为，点对应的数为2，．（2）存在．设点对应的数为，解方程，得，点对应的数为，，，即，，①当时，有，解得；②当时，有，此方程无解；③当时，有，解得；综上，点的对应数为或6．（3）设点对应的数为，则，，若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点，，则点对应的数为；，则点对应的数为；，则．随着点的移动，的值不变．【点睛】本题是数轴的一个综合题，涉及一元一次方程的应用，两点距离公式，利用绝对值的性质化简绝对值代数式是解题的关键．【变式训练4－3】（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；

（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）由中点的定义可得，然后根据求解即可；（2）由，可得，然后根据求解即可；（3）仿照（2）的过程求解即可．【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点∴∵∴（2）①∵∴∵∴；②．【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．【变式训练4－4】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．

(1)若点C，D的速度分别是，．①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；(2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长【答案】(1)①12；②(2)【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得；②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得；（2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得．【详解】（1）解：①依题意得：，，点仍在线段上，∴，故答案为：；②设运动时间为，则，∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点，∴，∴，故答案为：．（2）解：设运动时间为，则，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键．【变式训练4－5】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础。我们知道，它在数轴上的意义是表示数的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，两点间的距离就可记作．回答下列问题：（1）在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离的式子是____．（2）反过来，式子在数轴上的意义是．（3）试用数轴探究：当时的值为．（4）进一步探究：的最小值为，此时的取值范围为．（5）最后发现，当的值最小时，的值为【答案】（1）|2－(－3)|；（2）表示数a的点与表示数－5的点之间的距离；（3）－1或5；（4）10，－1≤m≤9；（5）9．【分析】（1）根据距离公式表示即可；（2）根据定义去描述即可；（3）分点在2表示的数的点的左边和右边两种情形求解；（4）利用数形结合思想，画数轴求解即可；（5）利用数形结合思想，画数轴求解即可．【详解】（1）在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离的式子是|2－(－3)|，故答案为：|2－(－3)|；（2）∵=|a－(－5)|，∴在数轴上的意义是表示数a的点与表示数－5的点之间的距离，故答案为：表示数a的点与表示数－5的点之间的距离；（3）∵表示数m到2的距离，画数轴如下：当数在2的右边时，右数3个单个单位长，得到对应数是5，符合题意；当数在2的左边时，左数3个单个单位长，得到对应数是－1，符合题意；故答案为：－1或5；（4）∵表示数m与－1，9的距离之和，画数轴如下：根据两点之间线段最短，－1表示点与9表示点的最短距离为9－（－1）=10，此时动点m在－1表示点与9表示点构成的线段上，∴－1≤m≤9；故答案为：10，－1≤m≤9；（5）根据题意，画图如下，根据两点之间线段最短，－1表示点与16表示点的最短距离为16－（－1）=17，此时动点m在－1表示点与16表示点构成的线段上，且到9表示的点的距离为0，∴m=9；故答案为：9．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段最短原理，数轴的意义，数形结合思想，分类思想，结合数轴，运用数学思想解题是解题的关键．(五)角的概念【例5】下列说法中，正确的是（

）A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为【答案】D【分析】根据平角，周角的概念，角的大小及表示分别判断即可．【详解】解：A、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，故错误，不合题意；B、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故错误，不合题意；C、角的大小和两边的长度没有关系，故错误，不合题意；D、也可以表示为，故正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，属于几何基础知识，要熟练掌握，比较简单．【变式训练5－1】如图，下列说法正确的是（

）

A． B．图中只有两个角，即和C．与表示同一个角 D．与表示同一个角【答案】D【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时这个角可以用顶点字母来表示，由此可得结论．【详解】解∶A．与不一定相等，该选项原说法错误，故符合题意；B．图中有三个角，分别为、和，该选项原说法错误，故不符合题意；C．与表示同一个角，该选项原说法错误，故不符合题意；D．与表示同一个角，该选项正确，符合题意．故选∶D．【点睛】此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键．【变式训练5－2】计算：；°；当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为度．【答案】【分析】①利用角度的四则运算即可得到答案；②根据、进行换算，即可得到答案；③根据时针一小时转，一分钟转，分针一分钟转，分别计算时针、分针与0点的夹角，计算角度差即可得到答案．【详解】解：①，故答案为：；②，，，，故答案为：；③当时钟指向时间为时，时针走过小时，分钟走过分钟，时针与0点的夹角为，分针与0点的夹角为，钟表上的时针与分针的夹角为，故答案为：．【点睛】本题考查了角度的四则运算，角的单位换算，钟面角，解题关键是掌握角度的加法法则：进行角度的加法运算时，同单位相加，即度与度相加、分与分相加、秒与秒相加，秒够60进1分，分够60进1度；同时也要掌握时针一小时转，一分钟转，分针一分钟转．【变式训练5－3】如图：

(1)以点B为顶点的角有几个？分别表示出来．(2)请分别指出以射线为边的角．(3)以D为顶点，为一边的角有几个？分别写出来．【答案】(1)，，，共3个(2)，(3)，，共2个【分析】（1）根据角的表示方法写出答案；（2）根据角的定义和角的表示方法写出答案；（3）角的表示方法写出答案．【详解】（1）解：以点为顶点的角：，，，共3个；（2）以射线为边的角：，；（3）以为顶点，为一边的角有：，，共2个．【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．【变式训练5－4】如图，在钟面上，点为钟面的圆心，以点为顶点按要求画出符合下列要求的角（角的两边不经过钟面上的数字）：

（1）在图1中画一个锐角，使锐角的内部含有2个数字，且数字之差的绝对值最大；（2）在图2中画一个直角，使直角的内部含有3个数字，且数字之积等于数字之和；（3）在图3中画一个钝角，使钝角的内部含有4个数字，且数字之和最小；（4）在图4中画一个平角，使平角的内部与外部的数字之和相等；（5）在图5中画两个直角，使这两个直角的内部含有的3个数字之和相等.【答案】见解析【分析】（1）根据锐角的内部含有2个数字，且数字之差的绝对值最大，可知这2个数字分别是1和12，据此画出图形；（2）根据直角的内部含有3个数字，且数字之积等于数字之和可知，这3个数字分别是1，2，3，据此画出图形；（3）根据钝角的内部含有4个数字，且数字之和最小可知，这4个数字分别是1，2，3，4，据此画出图形；（4）根据平角的内部与外部的数字之和相等，又10+11+12+1+2+3=4+5+6+7+8+9，据此可画出平角；（5）根据这两个直角的内部含有的3个数字之和相等，又12+1+2=4+5+6，据此可画出图形．【详解】解：根据题意，（1）~（5）中符合要求的角如图所示：

【点睛】此题考查了钟面角以及有理数的运算，解题的关键是根据题意找出相对应的钟面数字．(六)方位角及其计算【例6】如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（

）A．南偏东40° B．北偏东50° C．南偏西40° D．北偏西50°【答案】C【分析】根据B在A的北偏东方向，即可得出直线AB与B点正南方向的夹角为，再根据A的位置即可得到答案．【详解】解：B在A的北偏东40°方向，∴小岛A相对于小岛B的方向是南偏西，故选：C．【点睛】本题考查位置和方向，解题的关键是熟练掌握位置和方向的判断方法．【变式训练6－1】如图，甲从处出发沿北偏西方向行走至处，又沿南偏西方向行走至处，此时再沿与出发时一致的方向行走至处，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用方向角的定义得出，进而利用平行线的性质得出答案．【详解】解：如图所示：

，根据题意可得：，沿南偏西方向行走至处，此时再沿与出发时一致的方向行走至处，，故选：B．【点睛】本题主要考查了方向角的定义，根据题意得出是解题的关键．【变式训练6－2】如图，我国山东号航空母舰行驶在B处同时测得黄岩岛A、中国海军南昌号驱逐舰C的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是．

【答案】/105度【分析】根据方向角的定义即可作出判断．【详解】解：如图，

由题意，得，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了方向角的定义，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边．【变式训练6－3】小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．

(1)在图中画出小华家的位置；(2)求的度数；(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．【答案】(1)见解析图；(2)；(3)小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．【分析】（）根据要求画出图形即可；（）得与正东方向的夹角，从而求得的度数；（）求出与正北方向的夹角，根据方向角的定义判断即可．【详解】（1）如图，点即为所求；

（2）∵，∴与正东方向的夹角为，；（3）由（）得与正东方向的夹角为，∵，∴与正东方向的夹角为：，∵正东和正北的夹角为，∴与正北方向的夹角为：，∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．【点睛】此题考查了作图－应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．(七)角的单位及简单计算【例7】已知，下面结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将转化为，即可得出答案．【详解】由，又因为，所以．故选：C．【点睛】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度、分、秒之间的转化是解题的关键．【变式训练7－1】如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．

(1)①探究与的关系：因为，所以，即______．②探究与的关系：因为，，所以______．(2)若将这副三角尺绕点O旋转到如图乙的位置：①直接写出与的关系：______；②探究与的关系，并仿照（1）①中的探究写出推过程．【答案】(1)①＝；②(2)①；②见解析【分析】（1）①证明，从而可得答案；②利用周角的含义及角的和差运算可得答案；（2）①由，可得．②证明，可得．【详解】（1）解：①∵，∴，即．②∵，，∴．（2）①∵，∴，即．②；理由如下：∵，∴，∴．【点睛】本题考查的是角的和差运算，熟练的理解几何图形中角的和差关系是解本题的关键．【变式训练7－2】如图1，将两块直角三角板与的直角顶点O重合在一起，其中直角边在内部．(1)如图2，若，求和的度数．(2)若①和有什么关系？请说明理由．②当时，求的度数．【答案】(1)；(2)①与互补，见解析；②【分析】（1）根据，结合，求出和的度数即可；（2）①用表示出和，即可得出答案；②根据与互补列出关于的方程，解方程即可．【详解】（1）解：，．（2）解：①与互补；理由如下：∵，，∴．∴与互补；②由①可得，解得：．【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是数形结合，用一元一次方程解决问题．【变式训练7－3】把两个三角尺按如图所示那样拼在一起，试确定图中的度数及其大小关系．【答案】．【分析】首先要知道一副三角板的各角度数，然后求出∠AEB，最后比较大小．【详解】解：∠B=30°，∠E=60°，∠BAD==90°+45°=135°，∠DCE=90°∴∠B＜∠E＜∠DCE＜∠BAD．【点睛】本题考查了角的比较与运算，要知道一副三角板各角的度数，比较简单．(八)角的平分线及旋转问题【例8】已知：．(1)如图1，若．①写出图中一组相等的角（除直角外）__________，理由是________________．

②那么_________．(2)如图2，与重合，若，将绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时间为t（）秒．①当t=______秒时，平分；②试说明：当t为何值时，？【答案】(1)①，同角的余角相等；②180(2)①6；②或20【分析】（1）①根据同角的余角相等解答；②利用角的和差关系即可求解；（2）①由平分知，旋转角等于的一半，即可列方程求解；②分在的内部和外部讨论即可．【详解】（1）解：①∵，∴，，∴（同角的余角相等）．故答案为：，同角的余角相等；②∵，∴．故答案为：180；（2）解：①根据题意，得，即，解得．故答案为：6；②当在的内部时，∵，∴，解得；当在的内部时，∵，∴，解得，综上，t为或20时，【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，余角的性质，角的计算等知识的综合运用，列方程求解角的度数是解题的关键．【变式训练8－1】已知，平分，平分．

(1)如图1，若，，求的度数；(2)如图2，若，求度数；(3)如图3，在（2）的条件下，为内部的一条射线，，若为平面内一条射线，，求的度数．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）根据角平分线的定义进行计算即可；（2）根据角平分线的定义得出，，根据，求出，最后求出结果即可；（3）根据，结合解析（2）中的相关条件求出；再分两种情况进行讨论，分别画出图形求出结果即可．【详解】（1）解：∵平分，平分，，，∴，，∴；（2）解：∵平分，平分，，，∴，，∵，∴，∴．（3）解：∵又∵，∴，∴；当在上方时，如图所示：

∴；当在下方时，如图所示：

∴；综上分析可知，或．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角度计算问题，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，数形结合，注意进行分类讨论．【变式训练8－2】已知，，平分，平分．

(1)如图1，当，重合时，求的值；(2)如图2，当从图1所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转．在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由；(3)在（2）的条件下，求当旋转多少秒时，．【答案】(1)(2)不变，(3)【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得和的度数，然后根据求解；（2）首先由题意得，再根据角平分线的定义得，，然后由角平分线的定义解答即可；（3）根据题意得，故，解方程即可求出的值．【详解】（1）解：因为平分，平分，所以，．所以；（2）解：的值是定值．根据题意，得：，则，．因为平分，平分，所以，，所以；（3）解：根据题意，得，所以，解得，所以当旋转时，．【点睛】本题考查的是角的和与差、角平分线定义，对角的和与差及角平分线定义的理解是解题关键．【变式训练8－3】阅读理解，回答问题：定义回顾：从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线也可以通过折纸完成，如图（1），将含有的纸片经过顶点P对折叠，折痕所在的射线就是的平分线．利用角的平分线的定义，可以进行角的度数的计算．

问题解决：(1)如图（2），点P，Q分别是长方形纸片的对边，上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，，则的度数是______；(2)如图（3），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．①若，，求的度数；②若，求的度数（用含的式子表示）；拓广探索：(3)将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B，C分别落在点，，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图（4）．若，请直接写出的度数（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)①；②(3)【分析】（1）根据角的平分线的定义和平角定义求得即可；（2）①根据角的平分线的定义和平角定义求得即可；②根据角的平分线的定义和平角定义求得即可；（3）根据角的平分线的定义和平角定义求得即可．【详解】（1）解：由题意得：，，∴，即，∴，故答案为：；（2）解：①由题意得：，，∴，∵，∴，即；②同理，，，∴，∵，则，即；（3）解：同理，由题意得：，，则，∵，∴，即．【点睛】本题考查角的平分线的定义、平角定义，熟练掌握角的平分线的定义，利用图形找到角之间的数量关系是解答的关键．(九)求一个角的余角或补角【例9】一个锐角的余角比它的补角（

）A．相等 B．小 C．大 D．不能确定大小【答案】B【分析】设这个角是，则它的余角是，它的补角时，得出式子，求出即可．【详解】解：设这个锐角为，根据题意可得：，则它的余角比它的补角小，故选：．【点睛】此题考查了余角和补角的计算，解题的关键是熟练掌握余角和补角的定义．【变式训练9－1】下列说法中，错误的是（

）A．互余且相等的两个角各是B．一个角的余角一定小于这个角的补角C．如果，那么的余角与的余角的和等于的余角D．如果，那么的余角与的余角的和等于的补角【答案】C【分析】根据如果两个角的和为，称这两个角互为余角；如果两个角的和为，称这两个角互为补角，以此计算即可．【详解】A.互余且相等的两个角各是，正确，不符合题意；B.设这个为，则它的余角为，它的补角为，故，正确，不符合题意；C.的余角为，的余角为，的余角为，的余角与的余角的和等于，错误，符合题意；D.的余角为，的余角为，的余角为，的余角与的余角的和等于，正确，不符合题意；故选Ｃ．【点睛】本题考查了余角，补角的计算，正确理解定义是解题的关键．【变式训练9－2】如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据同角的余角相等，得到，根据平角的定义，得到，，进而得到，即可得出结果．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴图中与互补的角有，共3个；故选C．【点睛】本题考查补角的判断．正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握同角的余角相等，互补的两角之和为，是解题的关键．【变式训练9－3】如图，平面内，平分，则以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是．（填序号）【答案】①③④【分析】由根据同角的余角相等得到，即可判断①；由，即可判断②由，即可判断③由平分，得出，再结合①，即可判断④【详解】解：∵，∴，∴，所以①正确；∵不一定等于，所以②不正确；∵，所以③正确；∵平分，∴，由①知，∴，∴，所以④正确．∴平分故答案为：①③④．【点睛】本题考查了角度的计算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分线的定义，熟练掌握补余角的性质和角平分线的定义是关键．【变式训练9－4】已知为，为，若，称为的“二倍补角”．(1)求为，为的“二倍补角”，求的度数；(2)若一个角与它的“二倍补角”度数相等，求这个角的度数．(3)与互余，为的“二倍补角”，与互补，是否是的“二倍补角”？请说明理由．【答案】(1)(2)这个角的度数为(3)是的“二倍补角”，理由见解析【分析】（1）根据“二倍补角”的定义，进行求解即可；（2）设一个角为，根据“二倍补角”的定义，得到另一个角为，根据两个角相等，列出方程求解即可；（3）根据互余的两角和为，互补两角之和为，以及“二倍补角”的定义，进行角的转化，进行判断即可．【详解】（1）为的“二倍补角”；（2）设一个角为，则它的“二倍补角”度数为，由题意得，解得这个角的度数为；（3）是的“二倍补角”理由：由题意得，整理得，与互补是的“二倍补角”．【点睛】本题考查与余角和补角有关的计算．解题的关键是理解并掌握“二倍补角”的定义．【变式训练9－5】如图，将一副三角板的两个直角顶点O重合在一起，放置成如图所示的位置．

(1)如图1，若，猜想______；(2)小明推测：三角板绕重合的点O旋转（三角板保持不动），不论转动到哪个位置，“与始终互补”，你同意他的结论吗？请说明理由．【答案】(1)(2)同意，理由见解析【分析】（1）根据三角板中角的度数和已知条件求解即可；（2）根据题意分3种情况讨