专题01勾股定理中的最短路径问题与翻折问题（五大题型）2

专题01勾股定理中的最短路径问题与翻折问题（五大题型）重难点题型归纳【题型1与长方形有关的最短路径问题】【题型2与圆柱有关的最短路径问题】【题型3与台阶有关的最短路径问题】【题型4将军饮马与最短路径问题】【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下：几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解【题型1与长方体有关的最短路径问题】【典例1】（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（）cm．A．10 B．50 C．10 D．70【答案】B【解答】解：分两种情况：（其它情况与之重复）①当蚂蚁从前面和右面爬过去时，如图1，连接AC′，在Rt△ACC′中，AB＝20+20＝40（cm），CC′＝30（m），根据勾股定理得：EC＝＝＝50（cm），②当蚂蚁从前面和上面爬过去时，如图2，连接AC′，在Rt△ABC′中，BC′＝BB′+B′C′＝30+20＝50（cm），AB＝20（cm），根据勾股定理得：AC′＝＝＝10（cm）＞50（cm）；蚂蚁爬行的最短距离为50cm．故选：B．【变式11】（2022秋•新都区期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm，10cm，20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（）A．10cm B．25cm C．5cm D．5cm【答案】B【解答】解：如图所示，将长方体的正面与右侧面展开在同一平面，那么AB＝＝25cm．故选：B．【变式12】（2023春•光泽县期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．5 B．25 C． D．35【答案】B【解答】解：将长方体展开，连接AB，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD＝10+5＝15，AD＝20，由勾股定理得：AB＝＝25．（2）如图，BC＝5，AC＝20+10＝30，由勾股定理得，AB＝．（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝；由于25＜5＜5，故选：B．【变式13】（2023春•灵丘县月考）如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C之间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（）​A． B．5cm C．4cm D．【答案】B【解答】解：如图1，AC＝＝5（cm），如图2，AC＝＝（cm），∴5＜∴需要爬行的最短距离为5cm．故选：B．【变式14】（2022秋•莲湖区期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：如图，连接BM，则线段BM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，∵正方体的棱长为2，M是EH的中点，∴∠Q＝90°，MQ＝2，BQ＝1+2＝3，由勾股定理得BM＝＝＝，故选：C．【变式15】（2022秋•汝阳县期末）如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面上面，由勾股定理得AB2＝（2+1）2+32＝18；（2）展开前面右面，由勾股定理得AB2＝（2+3）2+12＝26；（3）展开前面和左面，由勾股定理得AB2＝（3+1）2+22＝20．所以最短路径的长为AB＝（cm）．故选：B．【变式17】（2022秋•平昌县期末）如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【解答】解：如图所示：连接AB′，则AB′即为所用的最短细线长，AA′＝4+2+4+2＝12，A′B′＝AB＝9，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝122+92＝225，则AB′＝15，故选：B．【变式18】（2023•陇县三模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）厘米．A．8 B．10 C．12 D．13【答案】D【解答】解：如图所示：∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．∴PA＝4+2+4+2＝12（cm），QA＝5cm，∴PQ＝＝13cm．故选：D．【变式110】（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）A．cm B．4cm C．cm D．5cm【答案】C【解答】解：如图，它运动的最短路程AB＝＝（cm）．故选：C．【题型2与圆柱有关的最短路径问题】【典例2】（2023春•防城区期中）如图，一圆柱高BC＝12πcm，底面周长是16πcm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点P处吃食，要爬行的最短路程是（）A．12πcm B．11πcm C．10πcm D．9πcm【答案】C【解答】解：将圆柱沿点A所在母线展开，连接AP，由两点之间线段最短可知，最短路程是AP的长．∵底面圆周长为16πcm，∴底面半圆弧长为8πcm，∵BC＝12πcm，P为BC的中点，∴）．根据勾股定理得：AP＝（cm）．故选：C．【变式21】（2023春•德州期中）如图，圆柱形玻璃容器高18cm，底面圆的周长为48cm，在外侧底部点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（）A．52cm B．30cm C． D．60cm【答案】B【解答】解：如图所示，AB＝＝30（cm），答：蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为30cm．故选：B．【变式22】（2023春•夏津县期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m时，这段葛藤的长是（）m．A．3 B．2.6 C．2.8 D．2.5【答案】B【解答】解：∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，如图所示：AC＝＝1.3m，∴这段葛藤的长＝2×1.3＝2.6m．故选：B．【变式23】（2023春•东港区校级月考）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB＝5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（）A．26 B．13+ C．13 D．2【答案】B【解答】解：如图，小虫爬行的最短路程＝AP+PC＝+＝+13．故选：B．【变式24】（2023春•富顺县校级月考）如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为（）A．cm B．15cm C．14cm D．13cm【答案】D【解答】解：将圆柱体的侧面展开，连接AB，如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则BD＝24×＝12cm，又因为AD＝9﹣4＝5cm，所以AB＝＝13（cm），即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm．故选：D．【变式35】（2022秋•蒲城县期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为20cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A．20πcm B．40πcm C． D．【答案】D【解答】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点，∵AB＝20，BC＝20＝10，∴装饰带的长度＝2AC＝2＝20（cm），故选：D．【变式26】（2023春•宣化区期中）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm【答案】C【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是AD→DE→EB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的最短路线：AD+DE+EB；∵圆柱体地面半径为cm，∴AC＝2π×＝8（cm），∵圆柱体的高h＝18cm，∴CD＝h＝6cm，∴在Rt△ACD中，AD＝＝＝10（cm），∵AD＝DE＝EB，∴AD+DE+EB＝3AD＝30cm．故选：C．【变式27】（2023春•随县期末）如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要7.5m．【答案】见试题解答内容【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长∵圆柱高4.5米，底面周长2米，∴x2＝（2×3）2+4.52＝56.25所以，x＝7.5，∴花带长至少是7.5m．故答案为：7.5．【题型3与台阶有关的最短路径问题】【典例3】（2023春•连山区期末）如图是楼梯的一部分，若AD＝2，BE＝1，AE＝3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（）A． B．3 C． D．2【答案】D【解答】解：如图，AC＝＝2，故选：D．【变式31】（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）cm．A．10 B．50 C．120 D．130【答案】B【解答】解：如图所示，∵它的每一级的高为20cm，宽30cm，长50cm，∴AB＝＝50（cm）．答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50cm，故选：B．【变式32】（2023春•西塞山区期中）如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是8m．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为20+2×2＝24米；宽为16米．于是最短路径为：＝8米．故答案为：8．【变式33】（2022秋•叙州区期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是5米．【答案】5．【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为4，宽为（0.7+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2＝42+[（0.7+0.3）×3]2＝25，解得x＝5（米），答：蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是5米，故答案为：5．【题型4将军饮马与最短路径问题】【典例4】（2022秋•辉县市校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）cm．A．15 B． C．12 D．18【答案】A【解答】解：如图所示，将圆柱沿过A的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点F，使AF+CF最小，故先作出A关于杯口所在直线的对称点A'，连接A'C与杯口的交点即为F，此时AF+CF＝A'F+CF＝A'C，根据两点之间线段最短，即可得到此时AF+CF最小，并且最小值为A'C的长度，如图所示，延长过C的母线，过A'作A'D垂直于此母线于D，由题意可知，A'D＝18÷2＝9（cm），CD＝12﹣4+4＝12（cm），由勾股定理得：A'C＝＝15（cm），故蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm，故选：A．【变式41】（2022春•吴江区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（）A．13cm B．3cm C．cm D．2cm【答案】A【解答】解：如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝13（cm）．故选：A．【变式42】（2023春•临潼区期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是10厘米．【答案】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．【解答】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA'的长度，PA'＝＝＝10（厘米），最短路程为PA'＝10厘米．故答案为：10．【变式43】（2022秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）（π取3）m．A．30 B．28 C．25 D．22【答案】C【解答】解：其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，∴BC＝πR＝2.5π≈7.5m，AB＝CD＝20m，∴CF＝15m，在Rt△CDF中，DF＝＝＝25（m），故他滑行的最短距离约为25m．故选：C．【变式44】（2022秋•雁峰区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（）A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm【答案】B【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，∵A′B＝＝＝＝17（cm），∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm，故选：B．【变式45】（2022秋•郫都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯上沿3cm的点B处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5cm与面包渣相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为25cm（杯壁厚度不计）．【答案】25．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，∴B'D＝15cm，AD＝22﹣5+3＝20（cm），连接B′A，则B′A即为最短距离，B′A＝＝＝25（cm）．故答案为：25．【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【典例5】（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，设DE＝x，则AE＝8﹣x，∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，∴∠ABE＝∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴DE的长为5．故选：C．【变式51】（2022春•安乡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连接DE．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'．若△AEC'为直角三角形，则AE的长为或7．【答案】或7．【解答】解：如图，当∠AEC'＝90°时，则∠CEC'＝90°，∴∠CED＝∠C'ED＝45°，∴∠CDE＝45°，∴CE＝CD＝5，∴AE＝AC﹣CE＝12﹣5＝7；如图，当∠AC'E＝90°时，∵∠AC'E+∠DC'E＝90°+90°＝180°，∴点A，C'，D共线，∴AD＝＝13，∵C'E＝CE＝12﹣AE，AC'＝AD﹣C'D＝8，∴AE2＝（12﹣AE）2+82，∴AE＝；当∠C'AE＝90°时，不存在，综上所述，若△AEC为直角三角形，则AE的长为或7，故答案为：或7．【变式52】（2023春•长沙期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为10．【答案】见试题解答内容【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10．【变式53】（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．∵AD＝BC＝10cm，∴AF＝AD＝10cm．又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2＝AF2∴82+BF2＝102，∴BF＝6cm，∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．（2）设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，∴42+x2＝（8﹣x）2，即16+x2＝64﹣16x+x2，化简，得16x＝48，∴x＝3，故EC的长为3cm．【变式54】（2020秋•海宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D为BC上一点，将△ABD沿AD折叠至△AB′D，AB′交线段CD于点E．当△B′DE是直角三角形时，点D到AB的距离等于0.6或1.5．【答案】0.6或1.5．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝，由折叠的性质得，BD＝B'D，∵△B′DE是直角三角形，∴∠BDB'＝∠B'DE＝90°，∴△BDB'是等腰直角三角形，如图所示，过D作DF⊥AB于F，连接BB'，∴∠ADC＝45°，∴DC＝AC＝3，∴BD＝BC﹣DC＝4﹣3＝1，∴DF＝，点E与点C重合时，△B′DE是直角三角形，∴∠B'ED＝90°，∴此时点D到AB的距离等于1.5，故答案为：0.6或1.5．【变式55】（2020•浙江自主招生）将一直径为25cm的圆形纸片（如图①）剪成如图②所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体形状的纸盒（如图③），则这样的纸盒体积最大为125cm3．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示．设正方体的棱长是acm．在直角三角形AOB中，OB＝，AB＝a，OA＝2a，根据勾股定理，得+4a2＝，解，得a＝±5（负值舍去）．则这样的纸盒体积最大为53＝125cm3．故答案为125．【变式56】（2022秋•和平区期中