14.4全等三角形的判定（分层练习）2

14.4全等三角形的判定（分层练习）【夯实基础】一、单选题1．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）不能确定两个三角形全等的条件是()A．三边对应相等 B．两边及其夹角相等C．两角和任一边对应相等 D．三个角对应相等【答案】D【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，做题时要结合各选项的已知条件逐个进行验证．【详解】A、三条边对应相等，符合SSS，能判定三角形全等，不符合题意；B、两边及其夹角对应相等，符合SAS，能判定三角形全等，不符合题意；C、两角和任一边对应相等，符合ASA或AAS，能判定三角形全等，不符合题意；D、三个角对应相等，满足AAA，不能判定三角形全等，符合题意．故选D．2．（2022春·上海·七年级专题练习）如下，给定三角形的六个元素中的三个元素，画出的三角形的形状和大小完全确定的是（）①三边；②两角及其中一角的对边；③两边及其夹角；④两边及其中一边的对角．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．【详解】解：∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，∴根据SSS定理可知能作出唯一三角形，故①符合题意，根据AAS定理可知能作出唯一三角形，故②符合题意，根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故③符合题意，根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故④不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键.3．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，，如果，，那么的长等于（）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【详解】由平行线的性质得到，，证得，得到，进而得到，即可得出，代入数据即可得到答案．解：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证得是解决问题的关键．4．（2022春·上海·七年级专题练习）下列说法中不正确的是（）A．各有一个角为130°，且底边相等的两个等腰三角形全等B．各有一个角为50°，且底边相等的两个等腰三角形全等C．各有一个角为50°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形全等D．各有一个角为50°，且有斜边相等的两个直角三角形全等【答案】B【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断即可．【详解】A．各有一个角为130°，则两个等腰三角形的底角必为25°，再加上底边相等根据ASA可证得两个等腰三角形一定全等；故本选项正确；B．各有一个角为50°，则这个角既可以是底角也可以是顶角，当一个等腰三角形以50°为顶角，另一个等腰三角形以50°为底角时，这两个三角形的三个内角分别为：65°、65°、50°和50°、50°、80°，显然此时两个三角形不全等；故本选项错误；C．各有一个角为50°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形，符合两三角形全等的判定定理“AAS”；故本选项正确；D．各有一个角为50°，且有斜边相等的两个直角三角形，符合“AAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键.5．（2022春·上海·七年级专题练习）下列不能作为判定△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠EC．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．【详解】A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，可以利用SAS判定△ABC≌△DEF，故A不符合题意；B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，可以利用ASA判定△ABC≌△DEF，故B不符合题意；C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，不能利用SSA判定△ABC≌△DEF，故C符合题意；D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E，可以利用AAS判定△ABC≌△DEF，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．（2022春·上海·七年级专题练习）若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD全等的有（）A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE【答案】C【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可．【详解】解：根据图象可知△ACD和△ADE全等，理由是：∵根据图形可知AD＝AD，AE＝AC，DE＝DC，在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SSS），故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知AB＝AC，∠DAB＝∠DAC，那么判定△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS【答案】D【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出相应的全等三角形，并写出判定依据．【详解】解：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．8．（2022春·上海·七年级专题练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有、、、的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（

）A．第块 B．第块 C．第块 D．第块【答案】B【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【详解】解：、、块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．二、填空题9．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知，要使≌成立，还需填加一个条件，那么这个条件可以是__________．（只需写出一个即可）【答案】【分析】添加条件，根据“边边边”判定三角形全等即可解题．【详解】解：理由：在和中，，．故答案为（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．10．（2021春·上海徐汇·七年级上海市民办华育中学校考期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块．【答案】2【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故答案为：2．【点睛】本题考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．11．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，∠B＝∠E，AD＝CF，使△ABC≌△DEF，请添一个条件可以是___．【答案】∠A＝∠EDF或∠ACB＝∠F【分析】根据已知提供的一边一角条件，再添加一个角相等即可．【详解】解：∵AD＝CF，∴AC＝DF，∵∠B＝∠E，再添加∠A＝∠EDF或∠ACB＝∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故答案为：∠A＝∠EDF或∠ACB＝∠F（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是明确已知提供的条件，熟记全等三角形的判定定理．12．（2021春·上海青浦·七年级校考期末）如图，点D、E是线段AB、AC上的两点，且AB＝AC．再添加一个条件可以使得△ACE≌△ACD，你添加的条件是______．（只需填一种情况）【答案】AB＝AD（答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解．【详解】解：添加AE＝AD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），故答案为AE＝AD（答案不唯一）【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．13．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_____＝_____，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．【答案】

BC

AD【分析】因为夹∠ABC的两边分别为AB的BC，所以再加上BC＝AD，得△ABC≌△BAD（SAS）．【详解】解：∵AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，∴再加上BC＝AD，∴△ABC≌△BAD（SAS）．故答案为：①BC；②AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法是：①SSS②SAS③ASA④AAS．14．（2022春·七年级单元测试）如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，EF=6，BG=3，DH=4，计算图中实线所围成的图形的面积S是______．【答案】50【分析】易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题．【详解】解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，∴∠BAG=∠AEF，∵在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG（AAS），同理△BCG≌△CDH，∴AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，∵梯形DEFH的面积=（EF+DH）•FH=80，S△AEF=S△ABG=AF•AE=9，S△BCG=S△CDH=CH•DH=6，∴图中实线所围成的图形的面积S=802×92×6=50，故答案为：50．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解题的关键．15．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，小明把一块三角形的玻璃片打碎成三块，现要到玻璃店去配一块完全相同的玻璃片，那么最省事的办法是带_________去．【答案】③【分析】根据全等三角形的判定可即可求解．【详解】解：第①块和第②块都没有保留完整的边，而全等三角形的判定定理中，至少存在一条边，第③块保留了一边边和两个角，则利用ASA判定定理可得到一个全等三角形，进而可带③去，故答案为：③．【点睛】本题考查了全等三角形的条件，解题的关键是需要注意的是只靠一个角或两条边不能等得到全等．16．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需要添加一个条件是_______．（写出一个即可）【答案】BE=CE（答案不唯一）【分析】根据∠1=∠2可知∠AEB=∠AEC，判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠AEB=∠AEC，，AE=AE，根据全等三角形的判定定理即可确定．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC，判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠AEB=∠AEC，AE=AE，因而根据SAS可以添加条件：BE=CE；根据AAS可以添加条件：∠B=∠C；根据ASA可以添加条件∶∠BAE=∠CAE．故答案为：BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解判定方法是关键．三、解答题17．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，点C、E、B、F在同一直线上，，，，求证：≌．【答案】见解析.【分析】先由CE=BF，可得BC=EF，继而利用SAS可证明结论．【详解】解：，，即，又，，在和中，，≌．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS，ASA，HL，注意SSA、AAA不能判定三角形的全等．18．（2020秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期末）如图，BD、CE分别是△ABC的高，在BD上取BN=AC，在射线CE上截取点M使得CM=BA，（1）补全下来说明△AMC和△NAB全等的过程及理由.解：∵BD、CE分别是△ABC的高（已知）∴∠AEC=∠ADB=90°（三角形高的意义）∵∠AEC+∠EAC+∠ACE=180°，∠ADB+∠DAB+∠ABD=180°（）∴（等式性质）在△AMC和△NAB中AC=NB（已知）∠MCA=∠ABN（已证）CM=BA（已知）∴△AMC≌△NAB（）（2）猜想AM和AN有什么关系？（请直接回答，不需要写出证明过程）【答案】（1）三角形内角和定理；SAS（2）AM=AN【分析】（1）按照题目中给出的过程补充理由即可；（2）由△AMC≌△NAB可证明AM=AN【详解】（1）三角形内角和定理；SAS（2）∵△AMC≌△NAB∴AM=AN【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.19．（2022春·上海·七年级期末）如图，AC与BD相交于E，且AC＝BD(1)请添加一个条件能说明BC＝AD，这个条件可以是：或；(2)请你选择（1）中你所添加的一个条件，说明BC＝AD的理由．【答案】(1)∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB或∠BCA＝∠ADB或CE＝DE或BE＝AE(2)见解析【分析】（1）根据全等三角形判定条件添加一个满足题意的条件即可；（2）选CE＝DE或者∠A＝∠B均可，利用SAS或AAS证明三角形全等，即可得出结论．(1)解：∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB或∠BCA＝∠ADB或CE＝DE或BE＝AE，(2)方法一：选∠A＝∠B在△FCA和△FDB中，，∴△FCA≌△FDB，∴FC＝FD，FA＝FB，∴FB﹣FC＝FA﹣FD，

即BC＝AD，方法二：选CE＝DE，∵AC＝BD，又∵CE＝DE，∴AC﹣CE＝BD﹣DE，即AE＝BE，在△BCE和△ADE中，，∴△BCE≌△ADE，∴BC＝AD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，是开放型题目，答案不唯一，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？【答案】全等，证明见解析【分析】由∠ABC＝∠ACB，根据角平分线的定义得到，∠DBC＝∠ECB，再利用ASA判定△BDC≌△CEB．【详解】解：△BDC与△CEB全等，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，在△BDC与△CEB中，，∴△BDC≌△CEB（ASA）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．21．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？解：因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），所以∠DBC＝（

），∠ECB＝（

）．由∠ABC＝∠ACB（已知），所以∠DBC＝∠ECB（

）．在△BDC与△CEB中，，（

），（

）．所以△BDC≌△CEB（ASA）．【答案】∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知【分析】根据角平分线的定义可证得∠DBC＝∠ECB，再证明△BDC≌△CEB．【详解】解：△BDC与△CEB全等，因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），所以∠DBC＝（∠ABC），∠ECB＝（∠ACB），由∠ABC＝∠ACB（已知），所以∠DBC＝∠ECB（等量代换），在△BDC与△CEB中，，所以△BDC≌△CEB（ASA），故答案为：∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．22．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知AF与BE相交于点O，C、D分别是AF与BE上的两点，EF∥AB，并且∠A+∠ACD＝180°．(1)请说明CD∥EF的理由；(2)分别连结CE、DF，若OE＝OF，请说明△ECD≌△FDC的理由．【答案】(1)理由见解析；(2)理由见解析【分析】（1）根据平行线的判定和性质就即可；（2）根据等式的性质和平行线的性质得出CF＝DE，进而利用SAS证明全等即可．(1)∵∠A+∠ACD＝180°，∴，∵，∴．(2)∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵，∴∠OEF＝∠ODC，∠OFE＝∠OCD，∴∠ODC＝∠OCD，∴OC＝OD，∴OC+OF＝OD+OE，即CF＝DE，在△ECD和△FDC中，，∴△ECD≌△FDC（SAS）．【点睛】此题考查全等三角形的判定，关键是根据平行线的性质和全等三角形的判定方法解答．23．（2022春·上海·七年级上外附中校考期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且满足BE＝CD，∠1＝∠2，试说明△ABC是等腰三角形的理由．【答案】理由见解析【分析】易证∠ACD=∠ABE，即可证明△ABE≌△ACD，可得AB=AC，从而得结论．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠ACD+∠A=∠ABE+∠A，即∠ACD=∠ABE，在△ABE和△ACD中，

，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定，本题中利用三角形的外角性质证明∠ACD=∠ABE是解题的关键．24．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．(1)求证：AE＝CD；(2)若AC＝12cm，求BD的长【答案】(1)见解析(2)BD=6cm．【分析】（1）利用角角边证明△DBC≌△ECA即可；（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的长．【详解】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，在△DBC和△ECA中，∵，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE=CD；（2）解：∵△CDB≌△AEC，∴BD=CE，∵AE是BC边上的中线，∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．∴BD=6cm．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【能力提升】一、单选题1．（2022春·上海杨浦·七年级校考期末）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使≌的条件有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．【详解】解：①，，，和不一定全等，故①不符合题意；②，，，≌，故②符合题意；③，，，，，≌，故③符合题意；④，，，≌，故④符合题意；所以，增加上列条件，其中能使≌的条件有个，故选：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．2．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在中，，垂足为点D．下列条件中，不一定能推得与全等的条件是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用全等三角形的判定定理分析即可．【详解】A．，可以推出≌，故不符合题意；B．，可以推出≌，故不符合题意；C．，不可以推出≌，故符合题意；D．，可以推出≌，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．3．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知MANC，MBND，且MB＝ND，则△MAB≌△NCD的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】C【分析】根据三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据已知与判定方法，用排除法进行分析．【详解】解：由，可得，∠A＝∠DCN，∠ABM＝∠D，又∵MB＝ND，∴此时的条件是两角一边，且角为一边的对角，符合AAS判定．故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，根据题意选择合适的方法是解答本题的关键.4．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点F，AB＝AC，∠C＝∠B，有3个结论：（1）∠AEB＝∠ADC；（2）∠A+∠EFD＝180°；（3）CE＝BD，其中一定正确的（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】（1）通过证得△AEB≌△ADC，即可证得结论；（2）根据题意，只有在CD⊥AB，BE⊥AC时，∠A+∠EFD＝180°才成立；（3）根据全等三角形的性质即可证得AD＝AE，进而即可证得结论．【详解】解：（1）在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（ASA），∴∠AEB＝∠ADC，故（1）正确；（2）∵∠EFD＝∠CEF+∠C，∴∠A+∠EFD＝∠CEF+∠A+∠C＝∠CEF+∠BDF，∵∠AEB＝∠ADC，∴∠CEF＝∠BDF，若∠A+∠EFD＝180°，则∠CEF＝∠BDF＝90°，故只有在CD⊥AB，BE⊥AC时，∠A+∠EFD＝180°才成立，故（2）错误；（3）∵△AEB≌△ADC，∴AD＝AE，∵AB＝AC，∴CE＝BD，故（3）正确；综上，3个结论中一定正确的是（1）（3）两个，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．5．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，点B、D、C、F在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF．补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC与△DEF全等的是（）A．∠A＝∠E B．BD＝CF C．AC∥DE D．AC＝DE【答案】D【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．【详解】解：∵AB∥EF，∴∠B＝∠F，A、添加∠A＝∠E，利用ASA能判定△ABC与△DEF全等，不符合题意；B、添加BD＝CF，得出BC＝FD，利用SAS能判定△ABC与△DEF全等，不符合题意；C、添加AC∥DE，得出∠ACB＝∠EDF，利用AAS能判定△ABC与△DEF全等，不符合题意；D、添加AC＝DE，不能判定△ABC与△DEF全等，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．6．（2022春·上海·七年级专题练习）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（）A．三个内角分别对应相等的两个三角形B．两条边和第三边上的中线对应相等的两个三角形C．两条边和其中一个角对应相等的两个三角形D．两条边和第三边上的高对应相等的两个三角形【答案】B【分析】选项A、C、D画出不符合的图形即可；选项B，画出图形，延长BD到E，使BD＝DE，连接CE，延长B′D′到E′，使B′D′＝D′E′，连接C′E′，根据全等三角形的判定推出△ABD≌△CED，△A′B′D′≌△C′E′D′，根据全等三角形的性质得出∠ABD＝∠E，CE＝AB，∠AB′D′′＝∠E′，C′E′＝A′B′，求出CE＝C′E′，根据全等三角形的判定推出△BCE≌△B′C′E′，根据全等三角形的性质得出∠E＝∠E′，∠EBC＝∠E′B′C′，求出∠ABC＝∠A′B′C′，根据全等三角形的判定推出△ABC≌△A′B′C′即可．【详解】解：选项A，如图所示：在△ADE和△ABC中，∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，但是△ADE和△ABC不全等，故本选项不符合题意；选项B，如图：AB＝A′B′，BC＝B′C′，BD是边AC上的中线，B'D'是A'C'上的中线，延长BD到E，使BD＝DE，连接CE，延长B′D′到E′，使B′D′＝D′E′，连接C′E′，∵BD是△ABC的中线，B′D′是△A′B′C′的中线，∵AD＝CD，A′D′＝C′D′，BE＝B′E′，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴∠ABD＝∠E，CE＝AB，同理∠AB′D′′＝∠E′，C′E′＝A′B′，∵AB＝A′B′，∴CE＝C′E′，在△BCE和△B′C′E′中，，∴△BCE≌△B′C′E′（SSS），∴∠E＝∠E′，∠EBC＝∠E′B′C′，∵∠ABD＝∠E′，∠A′B′D′＝∠E′，∴∠ABD＝∠A′B′D′，即∠ABC＝∠A′B′C′，在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），故本选项符合题意；选项C，如图所示：在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但是△ABC和△ABD不全等，故本选项不符合题意；选项D，如图所示：在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，高AD＝高A′D′，此时△ABC和△A′B′C′不全等，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．7．（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（）A．0＜AD＜10 B．1＜AD＜5 C．2＜AD＜10 D．0＜AD＜5【答案】B【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．【详解】解：延长AD至点E，使得DE＝AD，∵在△ABD和△CDE中，∵，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．8．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知AC平分∠PAQ，点B、D分别在边AP、AQ上．如果添加一个条件后可推出AB＝AD，那么该条件不可以是（）A．BD⊥AC B．BC＝DC C．∠ACB＝∠ACD D．∠ABC＝∠ADC【答案】B【分析】首先分析选项添加的条件，再根据全等三角形的判定方法判断．【详解】解：添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等，故选项错误，不符合题意；添加B选项中条件无法判定两个三角形全等，故选项正确，符合题意；添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等，故选项错误，不符合题意；添加D选项中条件可用AAS证明三角形全等，故选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是知道判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．二、填空题9．（2021春·上海徐汇·七年级上海市民办华育中学校考期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则__．【答案】##度【分析】如图，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．【详解】解：标注字母，如图所示，在和中，，∴（），∴，∵，∴，又∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．10．（2022春·上海·七年级专题练习）已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，∠A＝∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是____________________．【答案】AC=A1C1（或∠B=∠B1，∠C=∠C1，答案不唯一）.【分析】根据全等三角形的判定定理添加即可.【详解】添加AC=A1C1后可根据SAS判定ABC≌△A1B1C1，添加∠B=∠B1后可根据ASA判定ABC≌△A1B1C1，添加∠C=∠C1后可根据AAS判定ABC≌△A1B1C1，故答案为：AC=A1C1（或∠B=∠B1，∠C=∠C1，答案不唯一）.【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并运用解题是关键.11．（2019春·上海松江·七年级校考期中）如图，在与中，有以下四个等式①；②；③；④，请以其中三个等式作条件，余下一个作结论，写出所有的正确判断___________________________（用形式表示）【答案】①②④③，①④③②．【分析】根据已知条件，根据三角形全等的判定方法，结合条件在图形上的位置进行选择能够判定三角形全等的条件，另一个作为结论，可得答案．【详解】解：(1)①②④⇒③．证明如下：∵DE=DC，DA=DB，AC=BE∴△DCA≌△DEB（SSS）∴∠C=∠E（全等三角形的对应角相等）(2)①④③⇒②证明如下：∵，，∴△DCA≌△DEB（SAS）∴DA=DB（全等三角形的对应边相等）故答案为：①②④⇒③，①④③⇒②．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种，结合图形与判定方法进行选择是解答本题的关键．12．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则DE的长是____．【答案】6【分析】证明△BQA≌△BQE，得到BA=BE，同理证明△CAP≌△CDP，得到AC=CD，根据三角形的周长公式出去BE+CD，求出DE，【详解】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，在△BQA和△BQE中，，∴△BQA≌△BQE，∴BA=BE，同理可证△CAP≌△CDP，得到AC=CD，∵BE+CD=AB+AC=26BC=2610=16，∴DE=BE+CDBC=6，故答案为：6【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角的判定和性质是解题的关键．13．（2021春·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校考期末）如图，在△ABC中，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，依据下列各个选项中所列举的条件，能说明的是______．（填写序号）①，；②，；③，；④，．【答案】①②③【分析】只要能确定AB、AC所在的两个三角形全等即可得出AB=AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】①当，时，结合，在△ABE和△ACD中，利用“AAS”可证明，则有，故①能得到；②当，，结合，在△BOD和△COE中，利用“AAS”可证明，∴，∴，∴，∴，故②能得到；③当，时，结合，可证明，可得，可得，故③能得到；④，时，根据已知条件无法求得，故④不能得到，所以能得到的有①②③．故答案为：①②③．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．14．（2021春·上海·七年级校考期末）如图，已知△ADC的面积为5，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ABC的面积为_________.【答案】10【分析】首先延长BD，交AC于点E，再根据“ASA”证明△ABD≌△AED，由S△ADE+S△CDE=S△ABD+S△BCD，可知S△ABC=2S△ACD，可得答案．【详解】延长BD，交AC于点E，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD．∵∠ADB=∠ADE，AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴BD=DE，∴S△BCD=S△CDE，∴S△ADE+S△CDE=S△ABD+S△BCD=5，∴S△ABC=2S△ACD=10．故答案为：10【点睛】这是一道关于应用全等三角形的性质解决三角形的面积问题，构造全等三角形是解题的关键．15．（2021春·上海青浦·七年级校考期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°．【答案】47【分析】根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可．【详解】解：在△ABC和△ADE中，，∴（SSS），∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2，∵，∴，∴．故答案为：47．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．16．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有_____对．【答案】4【分析】根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证．【详解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且AO平分∠BAC，∴∠ODA=∠OEA=90º，∠OAD=∠OAE，在ODA和OEA中，，∴ODAOEA，∴∠B＝∠C，AD＝AE，在ADC和AEB中，∴ADCAEB，∴AB＝AC，在OAC和OAB中，，∴OACOAB，∴BO=CO，在和OBD中，，∴OCEOBD．故答案为：4．【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法；提出猜想，验证猜想是解决几何问题的基本方法，解题的关键是做题时要注意从已知条件开始思考结合全等的判定方法逐一判断，做到不重不漏，由易到难．17．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝_____．【答案】8【分析】可先证明△BCE≌△CAD，可求得CE＝AD，结合条件可求得CD，则可求得BE．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，又∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，在△CBE和△ACD中，，∴△CBE≌△ACD（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD＝25，∵DE＝17，∴CD＝CE﹣DE＝AD﹣DE＝25﹣17＝8，∴BE＝CD＝8；故答案为：8．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．三、解答题18．（2021春·上海徐汇·七年级上海市民办华育中学校考期末）如图，已知AE∥DF，求证：．【答案】见解析【分析】先证明得到再证明从而可得结论．【详解】证明：【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，证明是关键的桥梁．19．（2021春·上海崇明·七年级统考期末）如图，已知中，，点D与点E都在射线AP上，且，．(1)说明的理由；(2)说明的理由．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明，即可解决问题；（2）设和交于点，根据，可得，然后根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和即可解决问题．(1)解：，，，在和中，，，；(2)解：如图，设和交于点，，，，，∴∠BEF=90°，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、外角的性质，解题的关键是能证明出．20．（2022春·上海·七年级校联考期末）在中，，，是延长线上的一点，于，与交于，求证：及【答案】见解析【分析】根据题意得列出≌的条件得到，再过点作于，据图形的判断可直接证明．【详解】证明：，．，，．在和中，，≌，，过点作于，在中，，，由图形可知：，，．【点睛】本题考查了全等三角形得判定及性质，解题的关键是找到判断全等三角形的条件即可．21．（2022秋·上海宝山·七年级校联考期末）如图，已知中，，，，此时，的长记为，现将绕点旋转，使点落到边上点处，得到．(1)联结，求四边形的面积；（用含的代数式表示）(2)将沿着翻折得，与交于点，请按要求画图；(3)四边形的面积与的面积比值为_____________【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据旋转的旋转可得，，，，，易证，继而可得，继而即可求解；（2）按照要求画出图形即可；（3）连接，易得、、、的面积都相等，继而即可求解．【详解】（1）联结，由旋转可得：，，，则，，在和中，∴（SAS），∴，∴四边形的面积，（2）按照要求画出图形，如图所示：（3）连接，∵将沿着翻折得到，∴，∴，又∵，，∴（HL），∴，在和中，∴（ASA），由（1）知，（SAS），∴，∵将绕点旋转，使点落到边上点处，得到，∴，∴，在和中，∴（SAS），∴，∴、、、的面积都相等，∴四边形与的面积的比值故答案为：．【点睛】本题考查几何变换综合题，涉及到全等三角形的判定和性质，旋转的旋转，折叠的旋转，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常见题型22．（2022春·上海·七年级专题练习）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．(1)如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：①AC与BD的数量关系为；②∠AMB的度数为．(2)如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；②求∠AMB的度数．【答案】(1)①AC＝BD，②40°；(2)①AC＝BD，理由见解析；②90°【分析】（1）①由∠AOB＝∠COD可得∠BOD＝∠AOC，再由△ODB≌△OCA即可得AC＝BD；②由△ODB≌△OCA可得∠OBD＝∠OAC，于是∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC，再由三角形内角和定理即可解答；（2）①由∠AOB＝∠COD可得∠BOD＝∠AOC，再由△ODB≌△OCA即可得BD＝AC；②由△ODB≌△OCA可得∠OBD＝∠OAC，于是∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC，再由三角形内角和定理即可解答.【详解】（1）解：①∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，在△ODB和△OCA中：OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△ODB≌△OCA（SAS），∴AC＝BD，故答案是：AC＝BD，②∵△ODB≌△OCA，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AOB＝40°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝140°，又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD，∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，∴∠MAB+∠ABM＝140°，∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+∠ABM＝180°，∴∠AMB＝40°，故答案是：40°；（2）解：①∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，在△ODB和△OCA中：OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△ODB≌△OCA（SAS），∴AC＝BD；②∵△ODB≌△OCA，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD，∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝90°，∴∠MAB+∠ABM＝90°，∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+∠ABM＝180°，∴∠AMB＝90°．【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形内角和定理；熟练掌握全等三角形判定和性质是解题关键．23．（2022春·上海·七年级专题练习）（1）完成下列推理，并填写理由已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，求证：CF//DO证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）∴∠DEA＝∠BOA＝90°（）∵DE//BO（）∴∠EDO＝（）又∵∠CFB＝∠EDO（）∴∠DOF＝∠CFB（）∴CF//DO（）（2）如图，已知：AD//BC，AD＝CB，AE＝CF，请问∠B＝∠D吗？为什么？【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DEA＝∠BOA，根据平行线的判定得到DE∥BO，利用平行线的性质得到∠EDO＝∠DOB，等量代换得到∠DOF＝∠CFB，根据平行线的判定得到结论；（2）首先由平行线的性质得∠A＝∠C，由AE＝CF可得AF＝CE，利用全等三角形的判定定理和性质定理可得结论．【详解】（1）证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）∴∠DEA＝∠BOA＝90°（垂直的定义）∵DE∥BO（同位角相等，两直线平行）∴∠EDO＝∠DOF（两直线平行，内错角相等）又∵∠CFB＝∠EDO（已知）∴∠DOF＝∠CFB（等量代换）∴CF∥DO（同位角相等，两直线平行）；故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠DOF；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行（2）解：∠B＝∠D，理由如下：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，在△ADF与△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠D．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定以及全等三角形的性质和判定定理，熟练掌握平行线的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．24．（2022春·上海·七年级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析【分析】（1）延长BD与EC交于点F，可以证明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，进而结论得证；（2）延长BD交CE于F，证明△ABD≌△ACE，则BD=CE、∠ABF=∠ECA；根据∠ABF=∠HCF以及三角形内角和定理可证得∠BHC=90°．【详解】（1）证明：延长BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD，∴．（2）证明：延长BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，证得△ACE≌△ADB和△ABD≌△ACE是解决问题的关键．25．（2018·上海·七年级阶段练习）如图1，已知中，，，是过的一条直线，且在的异侧，垂直于，垂直于．(1)试说明：；(2)若直线绕点旋转到图2位置时（），其余条件不变，问与的关系如何？为什么？(3)若直线绕点旋转到图：位置时（），其余条件不变，问与、的关系如何？请直接写出结果，不需说明．【答案】(1)见详解；(2)，理由见详解；(3)，理由见详解．【分析】（1）根据，垂直，垂直得到，，结合，即可得到答案；（2），根据，垂直，垂直得到，，结合，即可得到答案；（3），根据，垂直，垂直得到，，结合，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵，垂直，垂直，∴，，∴，，在与中，∵，∴，∴，，∴；（2）解：，理由如下，∵，垂直，垂直，∴，，在与中，∵，∴，∴，，∴；（3）解：，理由如下，，理由如下，∵，垂直，垂直，∴，，在与中，∵，∴，∴，，∴．【点睛】本题考查三角形全等性质与判定，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据直角、垂直找到等角．26．（2022春·上海·七年级专题练习）阅读并填空：如图，是等腰三角形，，是边延长线上的一点，在边上且联接交于，如果，那么，为什么？解：