专题11.6期末专项复习之大题压轴重难点题型（举一反三）（沪科版）（原卷版）

专题11.6期末专项复习之大题压轴重难点题型【沪科版】【题型1二元一次方程组与不等式的综合应用题】【例1】（2021秋•镇海区校级期末）截至12月25日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次．为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂，每个大车间生产1万剂疫苗的平均成本为90万元，每个小车间生产1方剂疫苗的平均成本为80万元．（1）该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？（2）若投入的10个车间每周生产的疫苗不少于135万剂，请问一共有几种投入方案，并求出每周生产疫苗的总成本最小值？【变式11】（2021•奉化市期末）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A种品牌的足球售价比第一次购买时提高4元，B种品牌的足球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌的足球的总费用不超过第一次花费的70%，则这次学校最多可以购买多少个B种品牌的足球？【变式12】（2022•长垣市期末）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．（1）求毛笔和宣纸的单价；（2）某超市给出以下两种优惠方案：方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（超过200张）．选择哪种方案更划算？请说明理由．【变式13】（2021春•荔湾区期末）“地摊经济”已成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：甲商品每件售价为90元，乙商品每件售价为10元，销售1件甲商品和4件乙商品可获得利润45元，销售2件甲商品和3件乙商品可获得利润65元．（1）求甲、乙商品的进货价格；（2）小明计划用不超过3500元的资金购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品a件，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大，最大利润是多少？【题型2二元一次方程组与不等式组的综合应用题】【例2】（2021春•黄石港区期末）某商店购进甲、乙两种商品，每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，已知15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元．（1）求甲、乙每件商品的进货价；（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于8080元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元，问共有几种进货方案？（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？【变式21】（2021春•随县期末）实施乡村振兴战略，打造乡村美丽家园．为解决某镇乡村灌溉问题，县政府部门招标一工程队，负责完成在某村山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知4台A型和2台B型挖掘机同时施工一小时挖土150立方米；3台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土195立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？【变式22】（2021春•黄冈期末）为落实“菜篮子”工程，我市某绿色无公害蔬菜基地的甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如表：种植户种植A类蔬菜面积（单位：亩）种植B类蔬菜面积（单位：亩）总收入（单位：元）甲3112500乙2316500说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．（1）求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？（2）某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有种植方案．（3）在（2）中，该种植户选择哪种方案，能使总收入最大？最大总收入是多少？【变式23】（2021春•硚口区期末）某商场若购进2部甲型号和3部乙型号，共需7400元；若购进3部甲型号和5部乙型号，共需11700元．（1）求甲、乙型号每部的进价；（2）商场计划用不少于44400元且不多于50000元的资金购进这两种型号共30部．①求有多少种进货方案；②若每部甲，乙型号的售价分别为2500元，1950元，为了促销．商场决定每售出一部乙型号，返还顾客现金a元（a≥150，且a为50的整数倍），要使每一种进货方案（全都售完）获利均不低于15300元，求a的值．【题型3乘法公式的几何背景】【例3】（2021春•苏州期末）阅读：若x满足（60﹣x）（x﹣40）＝30，求（60﹣x）2+（x﹣40）2的值．解：设（60﹣x）＝a，（x﹣40）＝b，则（60﹣x）（x﹣40）＝ab＝，a+b＝（60﹣x）+（x﹣40）＝，所以（60﹣x）2+（x﹣40）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝．请仿照上例解决下面的问题：（1）补全题目中横线处；（2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值；（3）若x满足（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝2021，求（2023﹣x）（x﹣2022）的值；（4）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝25，长方形EFGD的面积是400，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．【变式31】（2021秋•揭西县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【变式32】（2021秋•石狮市期末）乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2给出了a+b、a2+b2与ab的数量关系，灵活的应用这个关系，可以解决一些数学问题．（1）若a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；（2）若m满足（11﹣m）2+（m+9）2＝10，求（11﹣m）（m+9）的值；（3）如图，点E、G分别在正方形ABCD的边AD、AB上，且BG＝DE+1，以AG为一边作正方形AGJK，以AE的长为边长过点E作正方形GFIH，若长方形AEFG的面积是2116【变式33】（2021秋•温岭市期末）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子．①化简：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；②计算：（993+1）÷（992﹣99+1）＝；（2）【公式运用】已知：1x+x＝5，求（3）【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为a+b2的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a【题型4因式分解的应用】【例4】（2021春•东阳市期末）阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+5的值，探究一：当x＝1时，x2+2x+5的值为；当x＝2时，x2+2x+5的值为，可见，代数式的值因x的取值不同而变化．探究二：把代数式x2+2x+5进行变形，如：x2+2x+5＝x2+2x+1+4＝（x+1）2+4，可以看出代数式x2+2x+5的最小值为，这时相应的x＝．根据上述探究，请解答：（1）求代数式﹣x2﹣8x+17的最大值，并写出相应x的值．（2）把（1）中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时x•y的值，若不能，请说明理由．【变式41】（2021秋•垦利区期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．②拆项法：例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1；②（拆项法）x2﹣6x+8；（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．【变式42】（2021春•宁波期末）阅读理解并解答：【方法呈现】（1）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．则这个代数式x2+2x+3的最小值是，这时相应的x的值是．【尝试应用】（2）求代数式﹣x2+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．【拓展提高】（3）将一根长300cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．【变式43】（2021春•奉化区校级期末）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2（1）写出由图2所表示的数学等式；（2）写出由图3所表示的数学等式；（3）已知实数a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1．求①ab+bc+ca的值；②a3+b3+c3﹣3abc的值．【题型5分式方程的应用】【例5】（2021春•诸暨市期末）4月份以来，印度疫情再次爆发，需要大量制氧机，我国一企业接到一批制氧机外贸订单急需大量工人生产制氧机，该企业招聘了一批工人，按照熟练程度，分为一级、二级和三级，其中每名一级工人生产30台的时间与每名三级工人生产10台的时间相同，已知一名一级工人每天比一名三级工人多生产6台．（1）求每名一级工人和每名三级工人每天分别生产多少台制氧机？（2）为了最大限度提高产量，该企业决定每月花费90000元（全部用完）招聘一、二、三级工人合计18人，其中各级工人至少1人，已知二级工人每天生产量是三级工人的2倍，一级、二级、三级工人每月的工资分别为6000，5000元，3500元，问该企业应如何安排招聘方案，使得每天生产制氧机的台数最多？最多为多少台？【变式51】（2021春•嘉兴期末）某车行经营A，B两种型号的电瓶车，已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和2500元．（1）该车行去年A型车销售总额为8万元，今年A型车每辆售价比去年降低200元，若今年A型车的销售量与去年相同，则A型车销售额将比去年减少10%，求去年每辆A型车的售价．（2）今年第三季度该车行计划用3万元再购进A，B两种型号的电瓶车若干辆，问：①一共有几种进货方案；②在（1）的条件下，已知每辆B型车的利润率为24%，①中哪种方案利润最大，最大利润是多少？（利润＝售价﹣成本，利润率=利润成本【变式52】（2021春•上虞区期末）随着5G网络技术的快速发展，市场对5G产品的需求越来越大．某5G产品生产厂家承接了27000个电子元件的生产任务，计划安排甲、乙两个车间共50名工人，合作生产20天完成．已知甲车间每人每天生产25个，乙车间每人每天生产30个．（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人将参与生产？（2）为提前完成生产任务，该厂家设计了两种生产方案：方案1：甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变；方案2：乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．若设计的这两种生产方案，厂家完成生产任务的时间相同，求乙车间需要临时招聘的工人数．【变式53】（2021春•北仑区期末）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款80000元，乙公司共捐款160000元，如图是甲、乙两公司员工的一段对话．（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．【题型6平行线的判定与性质综合】【例6】（2021秋•莲湖区期末）已知，AB∥CD，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F．（1）如图1，若∠1＝58°，求∠2的度数；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，H是MN上一点，且GH⊥EG．求证：PF∥GH．（3）如图3，在（2）的条件下．连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK．问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．【变式61】（2021秋•安溪县期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．（1）填空：∠PNB+∠PMD∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．【变式62】（2021秋•沙坪坝区期末）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH=12∠ECH，请直接写出∠MNB与∠【变式63】（2021秋•南岗区校级期末）已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求证：PQ∥FH．【题型7平行线的判定与性质综合（作平行线）】【例7】（2021秋•封丘县期末）综合与探究问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：如图1，AB∥CD，∠B＝125°，∠C＝25°，求∠BPC的度数．小康的解法如下：解：如图1，过点P作PQ∥AB．∵AB∥CD，∴PQ∥CD（根据1）．∵AB∥PQ，∴∠B+∠BPQ＝180°（根据2）．…（1）①小康的解法中的根据1是指；②根据2是指．（2）按照上面小康的解题思路，完成小康剩余的解题过程．（3）聪明的小明在图1的基础上，将图1变为图2，其中AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数．【变式71】（2021秋•肇东市校级期末）已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．（1）如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，求证：∠APB＝∠1+∠2；（2）如图2，当动点P在C点之上运动时，猜想∠APB、∠1、∠2有何数量关系，并说明理由．【变式72】（2021秋•东营期末）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝60°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，直接写出∠G的度数．【变式73】（2021秋•雁江区期末）如图1，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：；如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为；（2）如图3，EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝；②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2021F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）【题型8平行线的判定与性质综合（含旋转）】【例8】（2021秋•太康县期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．【观察猜想】（1）∠BCD与∠ACE的数量关系是；∠BCE与∠ACD的数量关系是；【类比探究】（2）若保持三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB，画出图形并简要说明理由；【拓展应用】（3）若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．【变式81】（2021秋•常宁市期末）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b