专题1.3正方形中的综合（压轴题专项讲练）（北师大版）（原卷版）

专题1.3正方形中的综合【典例1】四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是正方形，AD＞AE，点E在线段AD的左侧，连接DE，BG．（1）如图1，若点F在边AD上时，AD＝3，AE=2，求DE（2）如图2，连接BF，若∠ADE＝∠ABG，BF＝BC，求证：三点B，G，E在同一直线上．【思路点拨】（1）作EH⊥AD于点H，由四边形AEFG是正方形得AE＝FE=2，根据勾股定理求出AF的长为2，则AH＝EH=12AF＝1，而AD＝3，所以DH＝2（2）先证明△DAE≌△BAG，得AD＝AB，可证明四边形AEFG是正方形，则BF＝BA＝BC，可知点B在线段AF的垂直平分线上，而GA＝GF，EA＝EF，则点G、点E都在线段AF的垂直平分线上，由此可得三点B，G，E在同一直线上．【解题过程】（1）解：如图1，作EH⊥AD于点H，∵四边形AEFG是正方形，点F在边AD上，∴AE＝FE=2，∠AEF＝90°∴AF=AE∴AH＝FH=12AF＝∴EH=12AF＝∵AD＝3，∴DH＝AD﹣AH＝2，∵∠DHE＝90°，∴DE=D∴DE的长是5.（2）证明：如图2，连接AF，∵四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，∠EAG＝∠DAB＝90°，∴∠DAE＝∠BAG＝90°﹣∠DAG，在△DAE和△BAG中，∠ADE=∠ABG∠DAE=∠BAG∴△DAE≌△BAG（AAS），∴AD＝AB，∴四边形AEFG是正方形，∴BA＝BC，∵BF＝BC，∴BA＝BF，∴点B在线段AF的垂直平分线上，∵GA＝GF，EA＝EF，∴点G、点E都在线段AF的垂直平分线上，∴三点B，G，E在同一直线上．1．（2022•凯里市校级一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（）A．2 B．322 C．3 D2．（2021秋•井研县期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．43 B．23 C．45 3．（2022•鸡冠区校级一模）如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上，DE＝2；作EF∥BC．分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG，BE的中点，则MN的长是（）A．4 B．5 C．6 D．74．（2021春•丹江口市期中）如图，以Rt△ABC的斜边AB为边，在AB的右侧作正方形ABDE，对角线AD，BE交于点O，已知，AC＝10，BC＝6，则OC的长为（）A．73 B．82 C．12 D．5．（2021秋•呼和浩特期中）如图所示，O为正方形ABCD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交B的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH=14BC；④三角形A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2021春•仙桃校级月考）如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠FAE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．则下列结论中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2021春•鄞州区期末）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．（2021春•青川县期末）如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：①AF⊥DE；②AD＝BP；③PE+PF=2PC；④PE+PF＝其中正确的是（）A．①④ B．①②④ C．①③ D．①②③9．（2021秋•南海区月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，DE＝10，则AD的长为．10．（2021秋•南岗区校级月考）如图，AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若BD＝10，DC＝3，则高AD的长度为．11．（2021春•宜兴市期中）在正方形ABCD中，边长为2，BE＝2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点G、F，连接GF交DE于H点，且∠GHD＝45°，则线段FG＝．12．（2022春•渝中区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别为BC、CD上的两点，BE＝CF，AE、BF分别交BD、AC于M、N两点，连OE、OF．下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③CE+CF=32BD；④S四边形OECF=14S正方形ABCD．其中正确的序数是13．（2021春•泗水县期中）如图，在正方形ABCD中，E为AB上一点，过点E作EF∥AD．与AC，DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④PH2＝PA2+CH2；其中以上结论中正确的个数是．14．（2022•萧山区模拟）已知：如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，BE＝1，且DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长．15．（2021春•怀化期末）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G．（1）求证：四边形OGCF是正方形．（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．16．（2021春•上城区校级期末）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE是菱形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由．17．（2021春•天心区期中）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝22，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．18．（2021秋•周宁县期中）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．（探究建模）（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线，求证：AE＝CF；（类比应用）（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；19．（2021秋•南海区期中）如图，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，F为AB上一点，且FG⊥BE交CD于点G．（1）求证：FG＝BE；（2）若E为AD中点，FG垂直平分BE，求DGCD20．（2021春•黄州区期末）如图，Rt△