专项23三角形的内心与外心（原卷版）

专项23三角形的内心与外心考点1三角形的内心（1）三角形的内切圆：在三角形内部且与三角形三边都相切的圆；（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形的三个内角平分线交点；【解题技巧】（3）见到三角形的内心就想以下两点：①角平分线：内心与顶点的连线必然平分三角形的内角.如图，点O为△ABC的内心，连接AO、BO、CO，必有AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB②等距：内心到三角形三边的距离必定相等.如图，点O为△ABC的内心，过点O作三边的垂线，必有OD=OE=OF.注意：内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=。BOAD（3）S△ABC=BOAD（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。C考点2三角形的外心（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆；（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形的三条边的垂直平分线交点；【解题技巧】（3）见到三角形的外心就想以下两点：①垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然平分三条边.如图，点P为△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC，必有AD=CD，BE=CE.②等距：外心到三角形三个顶点的距离必然相等.如图，点P为△ABC的外心，连接PA、PB、PC，必有PA=PB=PC.（4）与三角形外心有关的角度问题：①外心在三角形的内部三角形为锐角三角形三个角都小于90°②外心在三角形的边上三角形为直角三角形有一个角为90°；③外心在三角形的外部三角形为钝角三角形有一个角大于90°.【考点1三角形的内心】【典例1】（2022•河池模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB＝14，BC＝13，CA＝9，则AD的长是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【变式11】（2022•五华区校级三模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．已知△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，则AF的长为（）A．4 B．5 C．9 D．13【典例2】（2019秋•江岸区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若AD＝10，BC＝5，则OB的长为（）A．4 B． C． D．【变式21】（2021秋•南丹县期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径等于．【变式22】（2021秋•南开区期末）图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是．【典例3】（2019秋•岳麓区校级月考）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线分别交AB、AC于D、E两点，若△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，则BC的长为（）A．12 B．10 C．8 D．6【变式31】（2021秋•陵城区期末）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（）A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm【变式32】（2022春•西乡塘区校级期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为．【典例4】（2022•黄石模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是步．【变式6】（2022•石家庄模拟）如图，已知△ABC的周长是20，点O为三角形内心，连接OB、OC，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（）A．20 B．25 C．30 D．35【典例7】（2022•海曙区校级开学）如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（）A．100° B．104° C．105° D．114°【变式71】（2021秋•大余县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°【变式72】（2020秋•曲靖期末）如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝65°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（）A．65° B．140° C．55° D．70°【考点2三角形的外心】【典例8】（2022•沈阳模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（）A． B．2 C．3 D．4【变式81】（2022•东营模拟）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，AB为∠OBC的角平分线，则∠BCA等于（）A． B． C． D．【变式82】（2022•瓜州县校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直径．则∠DAB的度数是（）A．35° B．55° C．65° D．70°【典例9】（2022•邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是（）A． B． C． D．【变式91】（2022•怀宁县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，，则⊙O的直径为（）A． B． C．6 D．12【变式92】（2021秋•通州区期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．【典例10】（2021秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【变式10】（2021秋•盐都区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）1．（2021秋•鄞州区期末）直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（）A．12 B．14 C．16 D．182．（2021秋•兰山区期末）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：23．（2022•新洲区模拟）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（）A． B． C．2 D．44．（2022•梧州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（）A．60° B．62° C．72° D．73°5．（2022•衢州一模）如图，BD是△ABC外接圆的直径，BE⊥AC于点E，连结CD．若∠ABE＝40°，则∠CBD的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（）A． B． C． D．7．（2022•龙岗区模拟）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（）A．40° B．55° C．70° D．110°8．（2022•朝阳区校级一模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径，若OC＝AC＝5，则BC长为（）A．10 B．9 C．8 D．59．（2022•云南模拟）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA＝3，则劣弧BD的长是（）A． B．π C． D．2π10．（2021秋•长乐区期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为步．11．（2022•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝．12．（2022•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是．13．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来．14．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为cm．15．（2022•玉林模拟）如图