28.2解直角三角形及其应用（原卷版）

28.2解直角三角形及其应用解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：

①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).

②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.

③边角之间的关系：

，，，，，.

④，h为斜边上的高.注意：

(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.

(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).

(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.题型1：解直角三角形1.（2022•庆元县校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝60°，AC＝4．（1）求∠B的度数；（2）求AB的长．【变式11】在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（可以使用计算器）（1）c＝8，∠A＝30°；（2）b＝7，∠A＝15°；（3）a＝5，b＝12．【变式12】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6，解这个直角三角形．解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC

两

边两直角边(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

边

一

角一直角边

和一锐角锐角、邻边

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，锐角、对边

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，注意：

1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.

2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.题型2：解非直角三角形2.（2022秋•嘉峪关校级期末）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是（）A． B． C． D．【变式21】（2022秋•临清市期中）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝12，sinB＝，求BC长．【变式22】（2021秋•淮阴区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求sinB，cosB．题型3：解直角三角形与面积问题3.设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．【变式31】如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，cosC＝，AD是BC边上的高线．（1）求AD的长；（2）求△ABC的面积．【变式32】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，BC＝，AB＝4，tanC＝，求四边形ABCD的面积．题型4：解直角三角形与方案问题（选做）4.如图，有一块梯形空地ABCD可供停车，AD∥BC，∠C＝90°，∠B＝53°，AD＝1.6m，CD＝5.2m，现有一辆长4.9m，宽1.9m的汽车需要完全停入梯形区域，请你设计一种停车方案，并通过计算说明理由．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【变式41】为了解决停车难问题，交通部门准备沿12米宽60米长的道路边规划停车位，按每辆车长5米、宽2.4米设计停车后道路仍有不少于7米的路宽保证两车可以双向通过，如下图设计方案1：车位长边与路边夹角为45°方案2：车位长边与路边夹角为30°（1）请计算说明，两种方案是否都能保证通行要求？（2）计算符合通行要求的方案中最多可以停多少辆车？（3）请你画示意图设计一个满足通行要求且停车更多的新方案，并计算出最多停放车辆数．【变式42】如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC长为30m．（1）求河的宽度；（即求△ABC中BC边上的高）（2）请再设计一种测量河的宽度的方案．（≈1.414，≈1.732）题型5：解直角三角形与综合5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半径．【变式51】（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．（1）求证：CD是圆的切线；（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC长度及阴影部分面积．【变式52】（2022·岚山模拟）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，且AC=BC，∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，过E作（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接EC，交AB于点G，若已知AB=5，sin∠EAC=45题型6：解直角三角形与新定义6.通过锐角三角比的学习，我们已经知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长比与角的大小之间可以相互转化.类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如下图在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边/腰=BC/AC.我们容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：

（1）sad60º=_____________；sad90º=________________。

（2）对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是_____________。【变式61】定义：在△ABC中，∠C=30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即thiA=∠A的对边∠C的对边=BC已知：在△ABC中，∠C=30°．（1）若∠A=45°，求thiA的值；（2）若thiA=3，则∠A=°；（3）若∠A是锐角，探究thiA与sinA的数量关系．【变式62】对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为x°、y°和z°，若x、y、z满足x2+y2＝z2，我们定义这个三角形为美好三角形．（1）△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝80°，则△ABC（填“是”或“不是”）美好三角形；（2）如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝60°，AC＝2，⊙O的直径是22，求证：△ABC是美好三角形；（3）已知△ABC是美好三角形，∠A＝30°，求∠C的度数．解直角三角形的应用在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：

(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.

(3)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.题型7：解直角三角形的应用坡度与坡角7.（2022•徐州二模）如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为18m，它的坡角为45°．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡AD，在CB方向距点B处9m处有一座房屋．（参考数据；）（1）求∠DAB的度数；（2）在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？【变式71】如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.732【变式72】济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角α；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）题型8：解直角三角形的应用仰角和俯角8.如图，在城市改造时，要拆除建筑物AB，在离它21米远的建筑物CD顶端C测得A的仰角45°，B的俯角30°，在点B的35米处有一文物，问：此文物是否在危险区内？请说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）【变式81】计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE＝30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE＝60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（保留根号）【变式82】（2022•罗城县模拟）如图，某测量队采用无人机技术测量无法直达的A，B两处的直线距离，已知在无人机的镜头O处测得A、B的俯角分别为45°和50°，无人机的飞行高度OC为238米，点A、B、C在同一直线上，求AB的长度（结果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）．题型9：解直角三角形的应用方向角9.游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在O处看到灯塔A在游艇北偏东60°方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西30°方向上，求此时游艇与灯塔的距离AB．【变式91】（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【变式92】已知海岛A的周围6km的范围内有暗礁，一艘海轮在B处测得海岛A在北偏东30°的方向；向正北方向航行6km到达C处，又测得该岛在北偏东60°的方向，如果海轮不改变航向，继续向正北航行，有没有触礁的危险？一、单选题1．（2022九下·定海开学考）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为a，则两梯脚之间的距离BC为（）A．4cosa B．4sina C．4tana D．42．如图，从点D观测建筑物AC的视角是（）A．∠ADC B．∠DAB C．∠DCA D．∠DCE3．如图，在△ABC中，BC＝6，∠A＝60°.若⊙O是△ABC的外接圆，则⊙O的半径长为（）A．3 B．23 C．33 4．数学实践活动课中小明同学测量某建筑物CD的高度，如图，已知斜坡AE的坡度为i＝1：2.4，小明在坡底点E处测得建筑物顶端C处的仰角为45°，他沿着斜坡行走13米到达点F处，在F测得建筑物顶端C处的仰角为35°，小明的身高忽略不计.则建筑物的CD高度约为（）（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）A．28.0米 B．28.7米 C．39.7米 D．44.7米5．如图，某学校操场旗杆上高高飘扬着五星红旗，数学小组想测量旗杆的高度，在离旗杆底部4米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶点C的仰角为α，则旗杆的高度BC为（）米A．4sinα+1.5 B．4cosα+1二、填空题6．某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B处，已知点B到山脚的垂直距离为100m，则山的坡度为.7．如图是拦水坝的横断面，堤高BC为5米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为米.8.某斜坡坡角a的正弦值sina=129．如果一个直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为2cm和8cm，那么这个直角三角形较短的一条直角边的长是cm．三、解答题10．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度（3≈1.73211．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝60°，解这个直角三角形.12．（2021九上·莘县期中）如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A，B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．四、综合题13．（2021九上·莱芜期末）如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，连接AC，BC．延长OC至点D，使∠CAD=∠B，过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AD=6，tan∠CAD=1214．如图，已