专题01二次函数的图象与性质重难点题型专训（原卷版）

专题01二次函数的图象与性质重难点题型专训【题型目录】题型一二次函数的图象与各系数之间的关系题型二二次函数图象的平移与对称问题题型三利用二次函数的性质求自变量的范围题型四待定系数法求二次函数的关系式题型五根据二次函数的对称性求函数值题型六二次函数与x、y轴的交点坐标问题题型七利用二次函数的性质求最值题型八二次函数的图象与性质的新定义问题题型九二次函数的图象与性质综合问题【知识梳理】知识点二：二次函数的图像与性质二次函数y=ax2的图象的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．的性质：上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的性质：左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的性质：左加右减，上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．一般式：（，，为常数，）；函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，知识点三：二次函数的图象与a，b，c的关系学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．1．基础四看“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．2．组合二看(1)三全看点在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．(2)有缺看轴当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．3．取值计算当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系.(1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下.(2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴.(3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴.(4)的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点.(5)的符号由时，的值确定:若，则;若，则.(6)的符号由时，的值确定:若，则;若，则.知识点四：二次函数图象的平移由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即.因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，注意：(1)a的绝对值越大，抛物线的开口越小.(2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．【经典例题一二次函数的图象与各系数之间的关系】【例1】（2023·安徽黄山·校考一模）如图，抛物线（a，b，c是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是直线，过第一、二、四象限的直线（k是常数）与抛物线交于x轴上一点．现有下列结论：①；②；③；④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，；⑤若m为任意实数，则．其中正确的有（

）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【变式训练】1．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）已知抛物线（是常数），开口向下，过点，且，下列四个结论：①；②若，则；③若，，当时，直线与该二次函数只有一个公共点，则或；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．以上结论，正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（

）

A．4 B．3 C．2 D．13．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④已知、在该二次函数图像上，当且时，都有．其中正确的结论有___________．（填序号）

【经典例题二二次函数图象的平移与对称问题】【例2】（2023·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）已知抛物线的解析式为．若抛物线经过，，三个点中的其中两个点，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，若，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的（

）A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为【变式训练】1．（2023·浙江杭州·校联考二模）已知a＜0，，是方程的两个根，且，，是抛物线与x轴的两个交点横坐标，且，则，，，的大小关系为（）A． B．C． D．2．（2022春·九年级课时练习）如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是_____．3．（2023·四川宜宾·统考三模）如图（1），二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为,直线经过两点．

(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；(2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标；(3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长．【经典例题三利用二次函数的性质求自变量的范围】【例3】（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，抛物线（，为常数）经过点，点，点在该抛物线上，其横坐标为，若该抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．则的值为（

）A． B． C． D．或【变式训练】1．（2021秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（

）A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤122．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．(1)求该二次函数的解析式；(2)点在该二次函数上．①当时，求的值；②当时，的最小值为，求的取值范围．【经典例题四待定系数法求二次函数的关系式】【例4】（2023·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）小张用描点法画二次函数（，，是常数，）图象时，部分列表如下：…01……034…依据以上信息，判断以下结论中错误的是（

）A．图象顶点在第一象限 B．点在该图象上，若，则C．和4是关于的方程的两根 D．若恒成立，则【变式训练】1．（2022春·浙江湖州·九年级专题练习）如图，将一个含45°的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上．过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点．要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移（

）A．5个单位 B．6个单位 C．7个单位 D．8个单位2．（2023春·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点，连接，若点关于直线的对称点恰好落在线段上，则________．3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数（m，n，k为常数且）．(1)若的图象经过点，求该函数的表达式．(2)若函数的图象始终经过同一定点M．①求点M的坐标和k的值．②若，当时，总有，求的取值范围．【经典例题五根据二次函数的对称性求函数值】【例5】（2023·广东深圳·统考二模）已知点，在的图象上，下列说法错误的是（

）A．当时，二次函数与轴总有两个交点B．若，且，则C．若，则D．当时，的取值范围为【变式训练】1．（2023·浙江宁波·校考二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（

）A． B． C． D．2．（2021春·浙江·九年级期末）如图，抛物线与轴交于点，（点在的左侧），与轴交于点．点在线段上，点与点关于抛物线对称轴对称，连结并延长交轴于点．若，则点的横坐标为_______．3．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式．其中．(1)若此函数图象过点，求这个二次函数的解析式：(2)函数，若，为此二次函数图象上的两个不同点．①若，则，试求的值；②当，对任意的都有，试求的取值范围．【经典例题六二次函数与x、y轴交点坐标问题】【例6】（2023·陕西西安·校考模拟预测）若抛物线向上平移个单位后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【变式训练】1．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）抛物线与坐标轴的交点个数有（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个2．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若长为4，则图中的长为______．3．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数的图象与y轴的交点为．(1)求a的值．(2)求二次函数在x轴上截得的线段长的值．(3)对于任意实数k，规定：当时，关于x的函数的最小值记作：，求的解析式．【经典例题七利用二次函数的性质求最值】【例7】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数，已知，当时，有下列说法：①若y的最大值为，则；②若y的最小值为，则；③若，则y的最大值为．则上达说法（）A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确【变式训练】1．（2023·安徽合肥·合肥市西苑中学校考三模）已知二次函数，截取该函数图象在间的部分记为图象G，设经过点且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2021春·广东广州·九年级广州市育才中学校考阶段练习）关于二次函数在的取值范围内，函数y的最小值（用含a的式子表示），下列结论：①当时，函数y的最小值；②当时，函数y的最小值是；③时，函数y的最小值是；④当，函数y的最小值．其中正确的有___（填序号即可）．3．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段长度的最大值．【经典例题八二次函数的图象与性质的新定义问题】【例8】（2023·广西·统考一模）定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点在函数上，点在函数上，点P与点Q关于原点对称，此时函数和互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”．已知函数和互为“守望函数”，则n的最大值为（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校联考阶段练习）对于实数，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有（）①方程的解为或；②关于的方程有三个解，则；③当时，随增大而增大；④当时，函数有最大值0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2021·湖北武汉·统考二模）定义为二次函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：①当时，函数图象的顶点坐标是；②当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；③当时，函数在时，随的增大而减小；④当时，函数图象经过同一个点，正确的结论是_____．3．（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点的“简朴”点．他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”．例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成：(1)点的“简朴”点是________；(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”；(3)已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围．【经典例题九二次函数的图象与性质综合问题】【例9】（2023·山东济南·统考一模）已知二次函数与一次函数交于、两点，当时，至少存在一个x使得成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2023·新疆·模拟预测）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论：①无论取何值，总是负数；②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当时，随着的增大，的值先增大后减小；④四边形为正方形．其中正确的是__________．（填写正确的序号）3．（2023·浙江宁波·校考二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交点C的坐标为，且经过．

(1)求b和c的值；(2)点P是坐标平面内的一动点，将线段绕点P顺时针旋转得，其中A、B的对应点分别是、．①当与D点重合时，请在图中画出线段，并直接写出点P的坐标；②当点P在线段上，若线段与抛物线有公共点，请直接写出P点的横坐标m的取值范围．【重难点训练】1．（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数（m为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为（

）A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或73．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数，，（a，b为常数，且），则下列判断正确的是（

）A．若，当时，则 B．若，当时，则C．若，当时，则 D．若，当时，则5．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）已知二次函数（为常数）经过点，一元二次方程的两个解为，，当时，则的取值范围为（

）A． B．C． D．6．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知y关于x的函数（m为实数），当时，恒成立，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．7．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数和一次函数（，为常数）．若．当函数的图象经过点时，与之间的数量关系为（）A．或 B．或 C． D．8．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2023·浙江温州·校考三模）抛物线的顶点落在一次函数的图象上，则b的最小值为__________．10．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，二次函数图象经过点，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是__________．11．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”，若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则___________．12．（2023春·浙江金华·九年级浙江省义乌市后宅中学校考开学考试）已知抛物线，当时，则y的取值范围是___________．13．（2023·浙江杭州·统考二模）对于二次函数．有下列说法：①若，则当时，y随x的增大而增大．②无论k为何值，该函数图象与x轴必有两个交点．③无论k为何值，该函数图象一定经过点和两点．④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则．其中正确的是______．（只需填写序号）14．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数．当时，的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则的值是____．15．（2022秋·广东肇庆·九年级校考期中）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于、点和点，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点．

(1)根据图象直接回答下列问题：①当自变量x取值范围为__________时，两函数的函数值都随x增大而增大．②当自变量x取值范围为__________时，一次函数值大于二次函数值．③当自变量x取值范围为__________时，两函数的函数值的积小于0．(2)求一次函数与二次函数的解析式；(3)点M是线段上的一点，过点M作y轴的平行线交抛物线于点D，求线段的最大值．16．（2023·河南南阳·统考三模）如图，抛物线与直线交于点和点B．

(1)求抛物线和直线的