3.8圆内接正多边形（分层练习）

第三章圆3.8圆内接正多边形精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2022·北京市十一学校九年级阶段练习）已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为(

)A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【详解】解：连接，作，则，，∴，根据勾股定理可得，∴正六边形的边心距是．故选：C．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正六边形的性质是解题关键．2．（2023·云南·昆明市第一中学西山学校九年级期中）正六边形的边长为4，则它的边心距为（）A．3 B． C．4 D．【答案】D【分析】已知正六边形的边长，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可．【详解】解：如图所示，此正六边形中，则．∵，∴是等边三角形，∵，∴，∴．故选：D．【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．解答时要注意以下问题：①熟悉正六边形和正三角形的性质；②作出半径和边心距，构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解答．3．（2022·江苏·常州实验初中九年级期中）正方形的外接圆与内切圆的周长比为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆的内接多边形的性质与切线的性质，得到是等腰直角三角形，推出，根据周长比等于半径比可得答案．【详解】解：如图，根据题意得：，，，，是等腰直角三角形，，正方形的外接圆半径与内切圆的周长之比为：，故选：A．【点睛】本题考查正多边形的内切圆与外接圆，勾股定理，解题的关键是通过推导得出内切圆与外接圆的半径之比．4．（2022·重庆南开中学七年级开学考试）下列说法正确的个数是（）①钟面上：时，时针和分针的夹角是：②把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；③若，则点是的中点；④各边相等的多边形是正多边形；⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线扡这个边形分成了个三角形．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据角的大小、角平分线、线段的中点、多边形的性质逐项判断即可；【详解】解：钟面上：时，时针和分针的夹角是；①错误；把一个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的角平分线；②错误；当点在线段的延长线上时，也可以满足，因此不能说明点是的中点；③错误；各边相等各个内角也相等的多边形是正多边形；④错误；从边形的其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线扡这个边形分成了个三角形；⑤错误；正确的个数为故选：A．【点睛】本题考查了角的大小、角平分线的定义、线段的中点定义、多边形的性质等知识点；熟练掌握上述基础知识是解题的关键．5．（2022·福建省福州屏东中学九年级阶段练习）如图，正六边形内接于，的半径为2，则边心距的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】证明是等边三角形，得出，由垂径定理求出，再由勾股定理求出即可．【详解】解：∵六边形为正六边形，，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键．6．（2022·辽宁·大连市第九中学九年级期中）如图，正六边形内接于，半径为6，则这个正六边形的边心距为（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】连接，证明是等边三角形，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：连接，如图所示：则，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴∴∴．故选：B．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理是解题的关键．二、填空题7．（2022·湖北·公安县教学研究中心九年级阶段练习）已知正六边形的边心距为3，那么它的边长为_________．【答案】【分析】连接，作于C，由正六边形的性质得出，，得出，由勾股定理求出，得出即可．【详解】解：如图所示：连接、，作于C，则，，，∴，∴设，则，由勾股定理可得，，解得：，∴，即它的边长为，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正六边形的性质，运用勾股定理求出AC是解决问题的关键．8．（2022·陕西渭南·九年级期末）已知的半径为1，则它的内接正三角形边心距为____________．【答案】##【分析】根据题意画出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图，是等边三角形，是的外接圆，过点作，连接，，，，，∴，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校九年级阶段练习）如图，正五边形内接于，则_______________．【答案】##36度【分析】先求出正五边形的每个内角的度数，利用圆内接正多边形的性质得到，再根据等边对等角求出度数即可．【详解】解：∵正五边形内接于，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正多边形的内角和，等边对等角求角度，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键．10．（2022·北京市三帆中学九年级阶段练习）如图，是正六边形的外接圆，若正六边形的边长为3，则的半径为__________．【答案】3【分析】根据正六边形的性质和圆的有关性质解题．【详解】解：如图，连接由题意可知：则∵，为等边三角形，，故答案为：．【点睛】本题考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的综合性质是解题关键．三、解答题11．（2022·全国·九年级）如图，正五边形内接于，点F在上，求的度数．【答案】【分析】如图所示，连接OC、OD，由正五边形的性质可得的度数，由圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出答案．【详解】如图所示，连接OC、OD，五边形是正五边形，，．【点睛】本题考查正多边形和圆以及圆周角定理，解题关键是构造弧CD所对的圆心角．12．（2022·江苏·泰州市明珠实验学校九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E.(1)求证：AB=AC；(2)若BD=18，DE=2，求CD的长.【答案】(1)证明如下(2)【分析】（1）根据平分，得，根据圆内接四边形的性质，得，平角的性质，等量代换，得，根据同弧所对的圆周角相等，得，再根据等角对等边，即可证明；（2）过点作于点，得，根据平分，得，再根据，是公共边，得，得到，；又根据，得，得；最后根据，，即可求出的值．【详解】（1）∵平分∴∵，∴∵∴∴．（2）过点作于点∴∵平分∴∵∴又∵是公共边∴∴，又∵∴∴又∵，∴∴∵∴．【点睛】本题考查圆的综合应用，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，圆周角的性质，全等三角形的判定与性质等．提升篇提升篇一、填空题1．（2022·湖北咸宁·九年级阶段练习）如图，边长为2的正六边形的中心与坐标原点O重合，轴，将正六边形绕原点O逆时针旋转n次，每次旋转，当时，顶点A的坐标为_____________．【答案】【分析】将正六边形绕原点O逆时针旋转次时，点A所在的位置是自身所在的位置，连接，，设交y轴于点H，先判断是等边三角形，求出和的长度，即可求出点A的坐标．【详解】解：，∴当时，顶点A旋转到了原来的位置，连接，，设交y轴于点H，在正六边形中，，，是等边三角形，，，，，，即当时，顶点A的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形的性质、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．2．（2022·江苏连云港·九年级阶段练习）如图，四边形是的内接正方形，E是的中点，交于点F，则___________度．【答案】67.5【分析】根据四边形是的内接正方形，得，根据，得，即可求出的度数．【详解】解：∵边形是的内接正方形，∴，∵E是的中点，∴∴，∴．故答案为：67.5．【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，正方形内接于，其边长为2，则的内接正三角形的边长为______．【答案】【分析】连接、、，作于M，先求出圆的半径，在中利用30度角的性质即可解决问题．【详解】解；连接、、，作于M，∵四边形是正方形，∴，，∴是直径，，∴，∵，∴，∵是等边三角形，∴，在中，∵，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角顶点在圆心上，这个角绕点任意转动，在转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为，求___________．【答案】##度【分析】根据题意可得出扇形与扇形有重叠的概率即为组成的扇形圆心角与的比值，进而得出答案．【详解】解：∵在圆中内接一个正五边形，∴每个正五边形的中心角为，∵转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为∴解得：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了几何概率以及正五边形的性质，根据已知得出概率与圆心角的关系是解题关键．5．（2022·全国·九年级专题练习）如图正六边形ABCDEF内接于⊙O，在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率是_____．【答案】【分析】连接OC、OD，如图，设⊙O的半径为r，利用圆的内接正六边形的性质得到∠BOD＝∠DOE＝120°，∠BOC＝∠COD＝60°，再判断S弓形DE＝S弓形BC，S△ODE＝S△BCD，所以阴影部分的面积＝S扇形BOD，然后利用几何概率的计算方法求解．【详解】解：连接OC、OD，如图所示：设⊙O的半径为r，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠BOD＝∠DOE＝120°，∠BOC＝∠COD＝60°，∴△OBC和△OCD都为等边三角形，∴BC＝OC＝CD，∠BCO＝∠COD＝60°，∴S弓形DE＝S弓形BC，S△ODE＝S△BCD，∴阴影部分的面积＝S扇形BOD＝＝πr2，∴在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率＝＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查几何概率：某事件的概率＝相应的面积与总面积之比，即通过计算长度比、面积比或体积比得到某事件的概率，熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．二、解答题6．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．(1)求∠CPD的度数；(2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．【详解】（1）解：连接OD，OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴．（2）解：连接PO，OB，如图所示：∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵点P为的中点，∴，∴，∴n＝360÷45＝8．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．7．（2022·江苏·九年级期中）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论；（2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；（2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EGr，∴OGr，∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，∵⊙O的面积＝πr2，∴．【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．8．（2022·福建宁德·二模）如图，边长为1的正五边形ABCDE内接于，延长AB，DC交于点F，过点C作的切线CG交AF于点G．(1)求证：；(2)求的值