高中数学 第三章 导数应用 3.1 函数的单调性与极值 函数的最大值与最小值教案2 北师大版选修2-2

高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值函数的最大值与最小值教案2北师大版选修2-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析本节课的主要教学内容是北师大版选修2-2高中数学第三章导数应用3.1节中的“函数的单调性与极值，函数的最大值与最小值”。内容包括：利用导数研究函数的单调性，探讨函数的极值和最值问题，以及解决实际生活中的优化问题。

教学内容与学生已有知识的联系在于，学生已经掌握了导数的定义、计算规则及其与函数图像的关系。在此基础上，本节课将引导学生运用导数知识分析函数的单调性，理解极值与最值的含义，并学会寻找函数的最大值与最小值。这将有助于学生将导数的概念与实际问题相结合，如物理运动中的速度与加速度问题，经济学中的最优化问题等，使学生在理解数学概念的同时，增强解决实际问题的能力。核心素养目标本节课的核心素养目标在于培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。通过学习函数的单调性与极值，以及最大值与最小值的概念，学生能够抽象出数学问题的本质，运用逻辑推理分析函数性质，建立数学模型解决实际问题。同时，培养学生对导数概念深度理解，提高其在实际问题中运用导数工具进行科学分析和决策的能力，强化数学思维和数学应用意识，为未来进一步学习和工作中遇到的问题解决奠定坚实基础。教学难点与重点1.教学重点

（1）函数单调性的判断：熟练掌握利用导数判断函数单调性的方法，理解导数符号与函数单调性的关系，并能准确描述函数的单调区间。

举例：对于函数f(x)，当f'(x)>0时，函数在该区间单调递增；当f'(x)<0时，函数在该区间单调递减。

（2）极值和最值的求解：掌握求解函数极值和最值的方法，理解极值点与最值点之间的关系，并能应用于实际问题。

举例：求解函数f(x)在给定区间的最大值和最小值，首先找到函数的临界点（导数为0或不存在的点），然后比较临界点及其端点的函数值。

（3）应用导数解决实际问题：学会将实际问题抽象为数学模型，运用导数知识解决最优化问题。

举例：在实际问题中，如成本最小化、收益最大化等，建立目标函数并运用导数求解最优解。

2.教学难点

（1）导数与函数单调性的关系：学生容易混淆导数符号与单调性的对应关系，需要通过实例和图像加深理解。

突破方法：借助图像和具体函数示例，让学生观察导数符号变化与函数图像单调性的关系。

（2）极值点与最值点的判断：在求解极值和最值时，学生容易忽略端点处的函数值，以及导数为0但不是极值点的特殊情况。

突破方法：通过具体例题，强调求解过程中对端点值的比较，以及利用二阶导数判断极值点的稳定性。

（3）实际问题的数学建模：将实际问题抽象为数学模型是学生的一大难点，需要引导学生分析问题的本质，建立目标函数和约束条件。

突破方法：结合生活实例，指导学生如何从实际问题中提取关键信息，建立数学模型，并运用导数求解。教学方法与手段1.教学方法

（1）讲授法：对于函数单调性、极值和最值的基本概念与理论，采用讲授法进行系统讲解，确保学生掌握核心知识。

-通过生动的语言和形象的表达，将抽象的数学概念具体化，便于学生理解。

-结合具体函数示例，讲解导数与函数单调性的关系，使学生能够直观感受到数学理论的实际意义。

（2）讨论法：针对特定问题，组织学生进行小组讨论，促进学生的思考和交流，提高解决问题的能力。

-在讨论过程中，引导学生运用导数知识分析问题，培养学生逻辑推理和数学建模能力。

-教师巡回指导，及时解答学生疑问，帮助学生突破难点。

（3）实验法：利用数学软件或图形计算器等工具，进行函数图像的绘制和导数的计算，让学生在实践中掌握知识。

-通过观察函数图像的变化，引导学生发现导数与函数单调性的关系，加深对理论知识的理解。

-通过实际操作，让学生体会数学在解决实际问题中的应用价值。

2.教学手段

（1）多媒体设备：利用PPT、教学视频等多媒体资源，展示函数图像、导数计算过程等，提高教学形象性和直观性。

-使用动画效果展示函数单调性的变化，使学生更容易理解导数与单调性的关系。

-通过视频讲解，展示实际问题的数学建模过程，帮助学生掌握建模方法。

（2）教学软件：运用数学软件（如GeoGebra、MATLAB等）辅助教学，让学生在课堂上实时观察函数图像和导数变化。

-教师现场演示软件操作，指导学生如何利用数学工具进行问题求解。

-学生在软件环境中自主探索，提高数学建模和问题解决能力。

（3）网络资源：利用网络平台，提供丰富的学习资源，便于学生预习、复习和拓展知识。

-推荐优秀的教学博客、在线课程等，让学生在课后自主学习和巩固知识。

-建立班级群组，鼓励学生在网络上讨论问题，分享学习心得，提高学习兴趣和主动性。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：激发学生兴趣，引出本节课主题。

过程：通过生活中的实例，如气温变化图、股票走势图等，让学生观察并思考这些图形中的单调变化和极值点。引导学生发现这些现象与数学中的函数单调性和极值有关，从而引出本节课的学习内容。

2.理论讲解（10分钟）

目标：使学生理解函数单调性与导数的关系。

过程：利用PPT和板书，讲解导数与函数单调性的理论，通过具体函数示例，让学生直观感受导数符号与函数单调性的对应关系。

3.实例分析（20分钟）

目标：培养学生运用导数解决实际问题的能力。

过程：以实际问题为背景，如最优化问题，引导学生建立目标函数，运用导数求解最大值或最小值。在此过程中，讲解极值和最值的求解方法，强调端点值和临界点的比较。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：促进学生的合作交流，提高解决问题的能力。

过程：将学生分为小组，针对某一具体问题，讨论如何运用导数知识求解。教师巡回指导，解答学生疑问，引导学生深入探讨。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：巩固所学知识，提高学生的表达和点评能力。

过程：邀请部分小组展示解题过程和答案，其他学生进行点评。教师对学生的解答进行总结和评价，强调重点知识和解题技巧。

6.课堂小结（5分钟）

目标：帮助学生梳理本节课的知识点，加深记忆。

过程：教师带领学生回顾本节课所学内容，总结函数单调性、极值和最值的概念、判断方法以及实际应用。提醒学生课后进行复习和巩固，为下一节课的学习做好准备。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《导数与函数的单调性》：《数学分析》相关章节，介绍导数在研究函数单调性中的应用，深化学生对导数与单调性关系的理解。

-《极值与最值的应用》：选自《应用数学》相关文章，探讨极值与最值在实际问题中的应用，如经济学、物理学等领域。

-《导数与最优化问题》：《高中数学课程标准》相关解读，阐述导数在最优化问题中的应用，拓展学生对最优化方法的认识。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-研究导数在物理学中的应用，如运动物体的速度、加速度与位移之间的关系，理解导数在描述物理现象中的意义。

-探索导数在经济学中的应用，如成本最小化、收益最大化等问题，学会运用导数建立数学模型，解决实际问题。

-分析生活中的实例，如气温变化、人口增长等，运用导数知识进行数据拟合和分析，预测未来趋势。

-学习利用数学软件（如GeoGebra、MATLAB等）绘制函数图像，观察导数与函数图像的关系，加深对导数概念的理解。

-研究导数与函数图像的几何意义，如切线斜率、曲率等，理解导数在几何图形中的应用。典型例题讲解例题1：求函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5的单调区间。

解答：

首先求导数f'(x)=3x^2-6x-9。

令f'(x)=0，解得x=-1和x=3。

当x<-1时，f'(x)>0，函数在(-∞,-1)上单调递增；

当-1<x<3时，f'(x)<0，函数在(-1,3)上单调递减；

当x>3时，f'(x)>0，函数在(3,+∞)上单调递增。

例题2：求函数g(x)=x^2-2ax+a^2-3的单调区间。

解答：

求导数g'(x)=2x-2a。

令g'(x)=0，解得x=a。

当x<a时，g'(x)<0，函数在(-∞,a)上单调递减；

当x>a时，g'(x)>0，函数在(a,+∞)上单调递增。

例题3：求函数h(x)=x^3-6x^2+9x+1的极大值和极小值。

解答：

求导数h'(x)=3x^2-12x+9。

令h'(x)=0，解得x=1和x=3。

计算二阶导数h''(x)=6x-12。

当x=1时，h''(1)=-6<0，函数在x=1处取得极大值；

当x=3时，h''(3)=6>0，函数在x=3处取得极小值。

计算得极大值h(1)=3，极小值h(3)=-1。

例题4：求函数F(x)=x^4-4x^3+4x^2的最小值。

解答：

求导数F'(x)=4x^3-12x^2+8x。

令F'(x)=0，解得x=0和x=2。

计算二阶导数F''(x)=12x^2-24x+8。

当x=0时，F''(0)=8>0，函数在x=0处取得局部极小值；

当x=2时，F''(2)=8>0，函数在x=2处取得局部极小值。

比较两个极小值，得F(0)=0，F(2)=0，故最小值为0。

例题5：某商品的成本函数为C(x)=3x^2+2x+10，其中x为生产数量。求成本最小值。

解答：

求导数C'(x)=6x+2。

令C'(x)=0，解得x=-1/3。

由于生产数量不能为负，故取x=0和x=-1/3之间的端点值进行比较。

计算得C(0)=10，C(-1/3)=10+7/3=31/3。

因此，成本最小值为10，当生产数量为0时取得。教学评价与反馈1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、积极性和理解程度。评价学生在课堂提问、互动讨论和思考问题时的表现，鼓励学生主动提出问题，表达自己的观点。

-对积极参与课堂活动的学生给予表扬，提高学生的自信心和参与感。

-对表现欠佳的学生，及时给予指导和鼓励，帮助他们克服困难，提高学习兴趣。

2.小组讨论成果展示：评估各小组在讨论过程中的合作程度、问题解决能力和成果展示效果。

-对小组讨论中表现优秀的学生给予肯定，鼓励他们继续发挥团队协作精神。

-对展示成果不足的小组，提出改进意见，指导学生如何提高问题分析和解决能力。

3.随堂测试：通过课堂练习、小测验等形式，检测学生对本节课知识点的掌握程度。

-对测试成绩优异的学生，给予表扬，激发学生的学习积极性。

-对测试成绩不理想的学生，分析原因，给予个性化的辅导和指导。

4.课后作业：布置适量的课后作业，旨在巩固所学知识，提高学生的应用能力。

-关注学生作业完成情况，对按时完成且质量较高的学生给予表扬。

-对作业中存在的问题，及时进行反馈，帮助学生纠正错误，提高解题能力。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂、讨论、测试和作业等方面的表现，进行全面评价。

-定期与学生进行沟通，了解他们的学习需求和困难，针对性地调整教学策略。

-结合学生的反馈，不断完善教学方法和手段，以提高教学效果和学生的学习兴趣。反思改进措施-在理论讲解中，结合具体函数示例，让学生直观感受到导数与函数单调性的关系。

-引导学生运用导数知识分析实际问题，培养学生数学建模和问题解决能力。

2.存在主要问题：

-部分学生对导数与函数单调性的关系理解不够深入，需要进一步加强讲解和实例分析。

-在小组讨论中，部分学生参与度不高，需要鼓励学生更加积极地参与讨论和交流。

3.改进措施：

-针对学生对导数与函数单调性关系的理解不足，可以通过增加实例分析和练习题，让学生在实践中加深理解。

-针对学生参与度不高的问题，可以