辽宁省大连市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线标准方程习题课教案 新人教B版选修2-1

辽宁省大连市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线标准方程习题课教案新人教B版选修2-1主备人备课成员教材分析辽宁省大连市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线标准方程习题课教案新人教B版选修2-1

本节课是高中数学选修2-1中关于双曲线标准方程的习题课。教材通过对双曲线标准方程的讲解和练习，帮助学生巩固双曲线的概念和性质，提高他们解决实际问题的能力。本节课的内容与前后章节紧密相连，为学生进一步学习圆锥曲线和其他数学知识奠定基础。

本节课的主要内容包括：

1.双曲线标准方程的定义和性质

2.双曲线标准方程的求解方法

3.利用双曲线标准方程解决实际问题

教学目标：

1.掌握双曲线标准方程的定义和性质

2.学会求解双曲线标准方程的方法

3.能够运用双曲线标准方程解决实际问题

教学重点与难点：

重点：双曲线标准方程的定义和性质，求解方法

难点：利用双曲线标准方程解决实际问题

教学方法：

1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和解决问题

2.利用多媒体课件和实物模型，直观展示双曲线的性质和应用

3.组织小组讨论和互动，提高学生的合作能力和沟通能力

教学过程：

1.导入：回顾双曲线的基本概念和性质，激发学生对双曲线的兴趣

2.新课导入：讲解双曲线标准方程的定义和性质，引导学生理解并掌握相关概念

3.例题讲解：分析双曲线标准方程的求解方法，让学生通过具体例题体会解题思路

4.练习与讨论：学生自主完成练习题，小组内讨论解题过程和方法，互相交流心得

5.拓展与应用：利用双曲线标准方程解决实际问题，提高学生的应用能力

6.总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考双曲线在实际生活中的应用

教学评价：

1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和互动情况，评价他们的积极性和合作能力

2.练习题完成情况：检查学生完成的练习题，评价他们的理解和掌握程度

3.实际问题解决能力：评估学生在拓展与应用环节的表现，评价他们运用双曲线标准方程解决实际问题的能力核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过学习双曲线标准方程，学生能够提高数学抽象能力，将实际问题转化为数学模型；通过例题讲解和练习，学生能够培养逻辑推理能力，掌握双曲线标准方程的求解方法；在解决实际问题的过程中，学生能够运用数学建模思想，将数学知识应用于现实情境；同时，通过小组讨论和互动，学生能够提高数学运算能力，熟练运用双曲线标准方程进行计算和解决问题。总之，本节课将帮助学生在掌握双曲线标准方程知识的同时，提升数学核心素养。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经掌握了初中数学中的平面几何、代数基础以及高中数学中的函数知识。他们对圆锥曲线的基本概念和性质有一定的了解，能够熟练运用相关知识解决一些简单问题。此外，学生还应该具备一定程度的数学抽象和逻辑推理能力，能够理解和应用数学公式和方法。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：对于高中学生来说，数学学科具有一定的挑战性，他们对数学问题的解决方法和逻辑推理过程感兴趣。在学习能力方面，学生通过之前的数学学习，已经具备了一定的逻辑思维和分析问题的能力。在学习风格上，有的学生喜欢通过自主学习来掌握知识，而有的学生则更倾向于通过与他人合作和讨论来提高理解。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习双曲线标准方程的过程中，学生可能会遇到以下困难和挑战：

（1）对双曲线标准方程的概念和性质理解不深，难以运用到实际问题中；

（2）对于双曲线标准方程的求解方法感到困惑，不清楚如何运用相关公式和技巧；

（3）在解决实际问题时，难以将数学知识与现实情境相结合，缺乏数学建模的思想和方法；

（4）在小组讨论和互动中，可能存在沟通不畅、合作不积极的情况，影响学习效果。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.引导探究法：教师通过提出问题，引导学生主动探究双曲线标准方程的定义和性质，激发学生的思考和探索兴趣。

2.案例分析法：教师通过分析具体的双曲线标准方程案例，让学生理解和掌握求解方法，培养学生解决实际问题的能力。

3.小组合作法：教师组织学生进行小组讨论和合作，促进学生之间的交流和合作，提高学生的沟通能力和团队协作能力。

教学手段：

1.多媒体教学：教师利用多媒体课件和实物模型，直观展示双曲线的性质和应用，增强学生的直观感受和理解。

2.在线教学平台：教师利用在线教学平台，发布学习资源和解题指导，方便学生随时随地学习，提高学习效果和效率。

3.互动教学软件：教师使用互动教学软件，进行课堂提问和解答，及时了解学生的学习情况，引导学生积极参与课堂讨论。

4.数学软件工具：教师引导学生利用数学软件工具，进行双曲线标准方程的求解和绘图，提高学生的实践操作能力和创新能力。

5.学习评价系统：教师利用学习评价系统，对学生的学习情况进行全面评估，及时给予反馈和指导，帮助学生提高学习效果。教学流程本节课的教学流程分为三个部分：课前准备、课中学习和课后作业，总用时不超过45分钟。

1.课前准备（5分钟）

在课前，学生需要预习教材中关于双曲线标准方程的相关内容，了解双曲线的定义、性质以及标准方程的求解方法。教师可以通过在线教学平台或学习评价系统检查学生的预习情况，及时给予反馈和指导。

2.课中学习（35分钟）

（1）导入新课（5分钟）

教师以问题驱动的方式引导学生回顾双曲线的基本概念和性质，激发学生对双曲线的兴趣。例如：“同学们，你们知道什么是双曲线吗？它有哪些性质呢？”

（2）新课导入（10分钟）

教师讲解双曲线标准方程的定义和性质，引导学生理解并掌握相关概念。例如，通过多媒体课件展示双曲线的图形，引导学生观察其特点，然后介绍双曲线标准方程的定义和公式。

（3）例题讲解（10分钟）

教师分析双曲线标准方程的求解方法，让学生通过具体例题体会解题思路。例如，给出一个具体的双曲线标准方程，引导学生运用所学知识求解，并解释解题过程。

（4）练习与讨论（5分钟）

学生自主完成练习题，小组内讨论解题过程和方法，互相交流心得。教师巡回指导，解答学生疑问。例如，给出几道关于双曲线标准方程的练习题，让学生在小组内讨论解答。

（5）拓展与应用（5分钟）

教师引导学生运用数学建模思想，将双曲线标准方程解决实际问题。例如，给出一个实际问题，让学生运用双曲线标准方程进行分析和解答。

3.课后作业（5分钟）

教师布置与本节课内容相关的作业，让学生巩固所学知识。例如，要求学生完成几道关于双曲线标准方程的练习题，并在下一节课前提交。拓展与延伸1.提供了与本节课内容相关的拓展阅读材料，包括一些经典的数学论文、书籍和案例研究，以加深学生对双曲线标准方程的理解和应用。例如，可以推荐学生阅读《数学分析》一书中的相关章节，或者提供一些关于双曲线在实际应用中的案例研究，如天文学、物理学等领域中的应用。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究。学生可以利用网络资源、图书馆书籍或者参加数学社团等活动，进一步深入研究双曲线标准方程的相关知识。例如，可以引导学生探究双曲线标准方程在其他领域的应用，如经济学中的市场需求模型、生物学中的遗传规律等。

3.开展数学建模活动。学生可以组成小组，选择一个实际问题进行数学建模，运用双曲线标准方程解决问题。例如，可以选择一个关于人口增长的问题，通过建立数学模型来预测人口变化趋势。

4.举办数学竞赛或讲座。学校可以组织数学竞赛或者邀请数学专家进行讲座，让学生有机会深入了解双曲线标准方程的深层次知识。例如，可以举办一场关于双曲线的数学竞赛，鼓励学生通过解题展示自己的数学能力。

5.引导学生进行数学思考和探讨。教师可以提出一些与双曲线标准方程相关的研究问题，引导学生进行深入思考和探讨。例如，可以提出关于双曲线标准方程的猜想，并鼓励学生通过研究和证明来验证猜想。重点题型整理1.题型一：求解双曲线标准方程

例题1：已知双曲线的焦点在x轴上，且经过点(2,3)，求双曲线的标准方程。

解答：设双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，由于焦点在x轴上，所以有$c=a$。将点(2,3)代入方程，得到$\frac{4}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1$。由于$c=a$，所以$b^2=c^2-a^2=a^2$。将$b^2=a^2$代入原方程，得到$\frac{4}{a^2}-\frac{9}{a^2}=1$，解得$a^2=13$，所以双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{13}-\frac{y^2}{13}=1$。

2.题型二：双曲线的性质

例题2：已知双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$，求证双曲线的焦点在x轴上。

解答：双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a^2=4$，$b^2=3$。由于$a^2>b^2$，所以双曲线的焦点在x轴上。

3.题型三：双曲线与直线的交点

例题3：已知双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$，直线$y=mx+b$与双曲线相交于A、B两点，求证AB的中点在双曲线的对称轴上。

解答：将直线方程代入双曲线方程，得到$\frac{x^2}{4}-\frac{(mx+b)^2}{3}=1$。整理得到$(3-4m^2)x^2-8mbx-4b^2-12=0$。设A、B两点的横坐标分别为$x_1$和$x_2$，则中点的横坐标为$\frac{x_1+x_2}{2}$。由于A、B是方程的根，所以$x_1+x_2=\frac{8mb}{3-4m^2}$。将$x_1+x_2$代入中点的横坐标，得到中点的横坐标为$\frac{4mb}{3-4m^2}$。由于双曲线的对称轴为y轴，所以中点的横坐标即为对称轴上的坐标，证毕。

4.题型四：双曲线的渐近线

例题4：已知双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，求双曲线的渐近线方程。

解答：双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。由于渐近线是双曲线的渐进线，所以当$x$趋向于无穷大时，双曲线与渐近线趋于重合。

5.题型五：双曲线与圆的交点

例题5：已知双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$，圆的方程为$(x-1)^2+(y-2)^2=5$，求双曲线与圆的交点。

解答：将圆的方程展开，得到$x^2-2x+1+y^2-4y+4=5$，整理得到$x^2+y^2-2x-4y+2=0$。将双曲线的方程代入，得到$\frac{4}{4}-\frac{9}{3}=1$，即$1-3=1$，显然不成立。所以双曲线与圆没有交点。内容逻辑关系①双曲线标准方程的定义与性质：

-知识点：双曲线标准方程的形式及参数含义

-关键词：焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线

-板书设计：

```

双曲线标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

焦点：(-$a$,0)和($a$,0)

实轴：x轴

虚轴：y轴

顶点：(0,0)

渐近线：$y=\pm\frac{b}{a}x$

```

②双曲线标准方程的求解方法：

-知识点：通过给定的点或参数求解双曲线标准方程

-关键词：点斜式、参数方程、平方差公式

-板书设计：

```

求解双曲线标准方程的方法：

1.点斜式：已知双曲线上的点$(x_1,y_1)$，求解双曲线方程。

2.参数方程：设$x=x_0+at$，$y=