专题17全等三角形等腰旋转模型-初中数学模型与解题方法专题训练

17全等三角形等腰旋转模型一、单选题1．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴△AOE的面积＝△BOF的面积，∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1；故选C．2．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF＝OA；（4）AE2+CF2＝2OP•OB．正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：（1）不正确；图形中全等的三角形有四对：，，，；理由如下：四边形是正方形，，，，在和中，，；点为对角线的中点，，在和中，，；，，，，，又，，在和中，，；同理：；（2）正确．理由如下：，四边形的面积的面积正方形的面积；（3）正确．理由如下：，，；（4）正确．AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2＝（OF）2＝2OF2，在△OPF与△OFB中，∠OBF＝∠OFP＝45°，∠POF＝∠FOB，∴△OPF∽△OFB，OP：OF＝OF：OB，OF2＝OP•OB，AE2+CF2＝2OP•OB．正确结论的个数有3个；故选：C．3．如图，正方形中，，分别为，上的点，，，交于点，交于点，为的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】解：，，，，，又∵，∴，即，故结论①正确；四边形是正方形，，，由题意正方形中，在上面所证，，（AAS），，即结论②正确；过点作垂直于，交与点，∵，∴，在与中，，故（ASA），∴,，，∴，故结论③正确；∵，，∴，，，∴，故结论④正确；综上所述，①②③④正确．故选：D．二、填空题4．如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为．【答案】，，．【详解】解：将逆时针旋转，得到，∵，是等边三角形，且旋转角相等，则,∴是等边三角形.则又∵∴故以线段三边构成的三角形为所以故答案为：.5．如图，在中，分别以、为边向外作正方形、，连接、、、，若，则四边形的面积．【答案】18【详解】解：连接FD，设CF与AD交于点M，CF与AB交于点N，如图：∵四边形ABFG、BCED是正方形，∴AB＝FB，CB＝DB，∠ABF＝∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠ABD＝∠CBF，在△ABD和△FBC中，，∴△ABD≌△FBC（SAS）；∴AD＝FC，∠BAD＝∠BFC，∴∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠CNA＝180°﹣(∠BFC+∠BNF)＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥CF，∵AD＝6，∴FC＝AD＝6，四边形ACDF的面积．故答案为：18．6．如图所示，在中，，于点D，BE平分，且于点E与CD相交于点F，于点H，交BE于点G，下列结论：①；②；③④；其中正确的是．【答案】①②③④【详解】∵于点D，于点E，∴∠BDF=∠BDA=,∠BAC+∠ABF=∠DAC+∠ACD=，∴∠ABF=∠ACD，在△ADC和△FDB中，∴△ADC≌△FDB（AAS），∴AD=DF，∠DAC=∠DFB，又∵DF+CF=CD，CD=BD，∴，故①正确；∵AD=DF，于点D，∴∠DAF=∠DFA=，∵BD=DC，于点D，于点H，∴∠HDC=∠HDB=，又∵∠DFA，∴∠DFA=∠HDC，∴，故④正确；∵BE平分，且于点E，∴∠ABE=∠CBE,∠AEB=∠CEB，在△ABE和△CBE中，∴△ABE≌△CBE，∴AE=CE，∴CE=AC，又∵△ADC≌△FDB，∴BF=AC，∴，故③正确；∵，于点D，∴∠DBC=,又∵BE平分，∴∠DBE=，∴∠DFB=，又∵∠HDB=，∴∠DGF=∠DBG+∠BDG=+=，∴∠DFB=∠DGF，∴DG＝DF，故②正确．故答案为：①②③④．三、解答题7．在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连．（1）如图1，当点在线段上时，①与的位置关系是______；②线段、、之间的数量关系是______．（2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明．【答案】（1）①垂直；②；（2）位置关系：垂直，数量关系：，证明见解析；【详解】解：（1）∵，∴∵∴又∵，∴∴，①∴，∴②∴（2）位置关系：垂直，数量关系：，证明如下：∵，∴∴∵∴又∵，∴∴，∴∴又∵∴8．如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点（E左F右），且∠ECF＝45°，求证：．【答案】见解析【详解】解：，理由如下：如图，将△BCF绕点C旋转得△ACF′，使△BCF的BC与AC边重合，即△ACF′≌△BCF，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF′＝∠B＝45°，∴∠EAF′＝90°，∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝45°，∵∠ACF′＝∠BCF，∴∠ECF′＝45°，在△ECF和△ECF′中∴△ECF≌△ECF′（SAS），∴EF＝EF′，在Rt△AEF′中，，∴．9．如图，等腰三角形中，，．作于点，将线段绕着点顺时针旋转角后得到线段，连接．（1）求证：；（2）延长线段，交线段于点．求的度数（用含有的式子表示）．【答案】（1）见解析；（2）【详解】证明：线段绕点顺时针旋转角得到线段，，．，．在与中，．（2）解：，，又，，10．如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M．（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，若，点N为上一点，，求证：；（3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数．【答案】（1）；（2）见解析；（3）或或【详解】解：（1）∵，，∴BC=2AB=4，，∵∴，∴BD=AB=1，∴=BCBD=41=3；（2）证明：如图2，在BD上截取DF=EN，∵把绕点A逆时针旋转90°，得到，∴AD=AE，，，∵，∴，∴，∴AN=AF，，∵，，∴，∵，，∴，∵AN=AF，∴，∴，即F是BC的中点，∴AF=FC=DF+CD=EN+CD，∵AN=AF，∴；（3）解：由题意可得AD=AE，，∴，分三种情况：①AM=MD时，∵AM=MD，∴，∴，∵，∴；②AM=AD时，∵AM=AD，∴，∵，∴；③AD=MD时，∵AD=MD，∴，∴，∴，∵，∴．∴当为等腰三角形时，的度数为或或．11．（1）如图1所示，，都是等腰三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于点F，试判断AE与BD的数量关系及位置关系，并证明你的结论．（2）若绕顶点C顺时针转任意角度后得到图2，图1中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，见解析；（2）结论还成立，见解析【详解】（1）AE=BD，AE⊥BD．证明：∵，都是等腰三角形，∴AC=BC,CE=CD，在ACE和BCD中∴ACE≌BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE＝∠DBC，∵∠ACB＝90，∴∠CAE+∠AEC＝90，∵∠CAE＝∠DBC，∠AEC＝∠BEF，∴∠DBC+∠BEF＝90，∴∠BFE＝180﹣90＝90，∴AE⊥BD；（2）解：结论还成立，理由是：∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在ACE和BCD中∴ACE≌BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE＝∠DBC，∵∠ACB＝90，∴∠CAE+∠AOC＝90，∵∠CAE＝∠DBC，∠AOC＝∠BOE，∴∠DBC+∠BOE＝90，∴∠BFO＝180﹣90＝90，∴AE⊥BD．12．如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．（1）求证：BE＝AD；（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（请你用图2证明你的猜想）【答案】（1）证明见解析；（2）BE＝AD，理由见解析．【详解】（1）证明：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA+∠ECA＝∠ECD+∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD；（2）解：图2、图3、图4中，BE＝AD，以图2为例，理由如下：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD．13．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．【答案】（1）①见解析；②80°；（2）AE＝2CF+BE，理由见解析．【详解】（1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵点A、D、E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°，∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°．（2）结论：AE＝2CF+BE．理由：∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵CF⊥DE，∴∠CFD＝90°，DF＝EF＝CF，∵AD＝BE，∴AE＝AD+DE＝BE+2CF．14．在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接.（1）如图，当在线段上时，求证：.（2）如图，若点在线段的延长线上，，.则、之间有怎样的数量关系？写出你的理由.（3）如图，当点在线段上，，，求最大值.【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）2【详解】解：（1）∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）同（1）的方法得，∴∠ACE=∠ABD，∠BCE=α，∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠ACB+α，在中，∵AB=AC，∠BAC=β，∴∠ACB=∠ABC=(180°β)=90°β，∴∠ABD=180°∠ABC=90°+β，∴∠ACE=∠ACB+α=90°β+α，∵∠ACE=∠ABD=90°+β，∴90°β+α=90°+β，∴α=β；（3）如图，过A做于点H，∵，，∴，，同（1）的方法得，，,，即，∴，当最小时，最大，当时最小，，．15．点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰，连接BD．在外侧，以BD为斜边作等腰，连接EC．（1）如图1，当∠DBA30时：①求证：ACBD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？如果不变，请你证明EC=EB．

【答案】（1）①证明见解析；②，证明见解析；（2）EC与EB的数量关系保持不变，证明见解析．【详解】（1）①如图1，过点D作于点F，是等腰三角形，是斜边AC上的中线，，又在中，，，，即；

②，证明如下：和都是等腰直角三角形，，，由①知，，，，，，是等边三角形，；（2）EC与EB的数量关系保持不变，证明如下：如图2，过点D作BD的垂线，交BE延长线于点G，连接CG，，是等腰直角三角形，，，即，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，且，（等腰三角形的三线合一），在和中，，，，，，是直角三角形，又，点E是BG的中点，即EC是斜边BG上的中线，．

16．（2017观成周考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．（1）如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．（2）当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）α＋β=180°，理由见解析；（2）当点D在线段BC上移动或点D在BC延长线上移动时，α＋β=180°；当点D在CB延长线上移动时，α=β，理由见解析．【详解】解：（1）α＋β=180°，理由如下∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC∴∠EAC=∠DAB在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠B=∠ACE∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°∴α＋∠BCE=180°∴α＋β=180°（2）①当点D在线段BC上移动时，由（1）知α＋β=180°；②当点D在BC延长线上移动时，如下图所示∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE＋∠DAC=∠BAC＋∠DAC∴∠EAC=∠DAB在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠B=∠ACE∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°∴α＋∠BCE=180°∴α＋β=180°③当点D在CB延长线上移动时，如下图所示，连接BE∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE－∠BAE=∠BAC－∠BAE∴∠DAB=∠EAC在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠ABD=∠ACE∵∠ABD=∠BAC＋∠BCA，∠ACE=∠BCA＋∠BCE∴∠BAC＋∠BCA=∠BCA＋∠BCE∴∠BAC=∠BCE∴α=β．综上：当点D在线段BC上移动或点D在BC延长线上移动时，α＋β=180°；当点D在CB延长线上移动时，α=β．17．已知如图，射线在的内部，．点分别在射线上，且．连结．（1）如图1，若，延长到点，使，连接．求证：①≌．②．（2）如图2，若，其它条件不变，问题（1）中的线段之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）不发生变化，仍然有，理由见解析．【详解】解：（1）证明：①如图1，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS）；②由①知：△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝∠CAM=60°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=120°－60°=60°，∴∠EAF=∠GAF，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵GF＝DG+DF，BE＝DG，∴BE+DF＝EF；（2）不发生变化，结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图3，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．∵，，∴∠ABE=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．18．如图1，△ABC中，AB＝AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M．（1）探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由；（2）求证：BM＝DM+DC；（3）如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】（1）∠BDC＝∠CAB，见解析；（2）见解析；（3）不成立，BM＝DM﹣DC，见解析【详解】（1）解：∠BDC＝∠CAB；理由如下：∵，，∠ABE＝∠ACF，∴＝＝∴；（2）证明：作AN⊥CF于N，连接AD，如图1所示：∵AM⊥BD，∴，在△AMB和△ANC中，，∴△AMB≌△ANC，∴BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，在Rt△AMD和Rt△AND中，，∴Rt△AMD≌Rt△AND，∴DM＝DN，∴BM＝DM+DC；（3）不成立，BM＝DM﹣DC；理由如下：作AN⊥CF于N，连接AD，如图2所示：∵AM⊥BD，∴，在△AMB和△ANC中，，∴△AMB≌△ANC，∴，AM＝AN，在Rt△AMD与Rt△AND中，，∴Rt△AMD≌Rt△AND，∴DM＝DN，∴．19．如图（a），（b），（c）所示，点E、D分别是正、正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且，DB交AE于点P．

（1）在图（a）中，求的度数．（2）在图（b）中，的度数为________，图（c）中，的度数为________．（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况．若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）见解析【详解】（1）∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC，∠ABE=∠C=，在和中，∴，∴．∵，∴．∵，∴．（2）如图（b）:∵△ABCM是正四边形，∴AB＝BC，∠ABE=∠C=，在和中，∴，∴．∵，∴．∵，∴．如图（c）:∵△ABCMN是正五边形，∴AB＝BC，∠ABE=∠C=，在和中，∴，∴．∵，∴．∵，∴．（3）问题：如图（d）所示，点E，D分别是正n边形中以C点为顶点的相邻两边上的点，且，DB交AE于P点．则等于这个正n边形的一个内角的度数，即．20．和都是等腰直角三角形，与相交于点交于点交于点.试确定线段的关系.并说明理由.【答案】且【详解】解：和是直角三角形则即在与中

在中又则中，即，，综上所述，且.21．观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．（1）求证：△AEC≌△CDB；（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积；（3）拓展提升：如图3，∠E=60°，EC=EB=4cm，点O在BC上，且OC=3cm，动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间．【答案】（1）证明见详解；（2）18；（3）2.5【详解】(1)∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠DCB=90°，∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∴∠EAC＋∠ACE=90°，∴∠EAC=∠DCB，又∵AC=BC，∴△AEC≌△CDB(AAS)；(2)如图2，作B'D⊥AC于D，

∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，∴AB’=AB，∠B’AB=90°，即∠B′AC＋∠BAC=90°，而∠B＋∠CAB=90°，∴∠B=∠B'AC，∴△B’AD≌△ABD(AAS)，∴B′D=AC=6，∴△AB′C的面积=6×6÷2=18；(3)如图3，由旋转知，OP=OF，∵△BCE是等边三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°∴∠OCP=∠FBO=120°，∠CPO＋∠COP=60°，∵∠POF=120°，∴∠COP＋∠BOF=60°，∴∠CPO=∠BOF，在△BOF和△PCO中∠OBF=∠PCO=120°,∠BOF=∠CPO，OF=OP∴△BOF≌△PCO，∴CP=OB，∵EC=BC=4cm，OC=3cm，∴OB=BCOC=1，∴CP=1，∴EP=CE＋CP=5，∴点P运动的时间t=5÷2=2.5秒．22．已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O为斜边AB的中点，现将一个三角板EGF的直角顶点G放在点O处，把三角板EGF绕点O旋转.（1）如图，EG交CA于K，FG交CB于H，求证：①OK=OH，②AK+BH=AC；（2）若EG交CA的延长线于K，FG交BC的延长线于H，（1）中的结论是否成立？请画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；（2）图见解析，（1）中的结论①成立，结论②不成立，理由见解析.【详解】(1)①连接CG，∵G为AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CG⊥AB，CG=BG，∠KCG=∠B=45°，∴∠CGB=90°，即∠CGH+∠HGB=90°，∵∠CGK+∠CGH=∠KGH=90°，∴∠CGK=∠BGH，∴△CGK≌△BGH，∴GK=GH，即OK=OH；②∵△CGK≌△BGH，∴CK=BH，∵AC=AK+CK，∴AK+BH=AC；(2)如图，(1)中的结论①成立，结论②不成立，理由如下：①连接CG，∵G为AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CG⊥AB，CG=BG，∠KCG=∠B=45°，∴∠CGB=90°，∵∠KGH=90°，∴∠CGB+∠CGH=∠KGH+∠CGH，即∠CGK=∠BGH，∴△CGK≌△BGH，∴GK=GH，即OK=OH；②∵△CGK≌△BGH，∴CK=BH，∵AC=CKAK，∴BHAK=AC，∴(1)中的结论①成立，结论②不成立.23．如图所示，等腰直角三角形、，，，，和交于点，问线段和之间有什么关系，并证明.【答案】且，理由见解析【详解】且，证明：∵∠DAE=∠CAB=90°，DA=EA，CA=BA，∴∠DAC=∠EAB，∴△DAC≌△EAB，∴DC=EB，∵∠FDE+∠FDA+∠AED=90°，∴∠FDE+∠FED=90°，即∴线段DC和EB之间的关系为：且24．如图，在四边形中，，对角线平分，求证：.【答案】详见解析【详解】如图，过点D作，交BA的延长线于E，交BC的延长线于F，则，对角线BD平分，，又，，，为等腰直角三角形，，，，，，，.25．已知：如图所示，中，是的中点，分别是上的动点，且．试问：四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出此值；若不为定值，请说明理由．【答案】四边形DECF的面积为定值2，理由详见解析.【详解】解：四边形DECF的面积为定值2．理由：连结CD，∵是的中点，∴CD=BD=2，，CD⊥BD，又∵∴，四边形DECF的面积.26．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)①证明见解析②证明见解析【详解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；（2）①∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．27．情境·观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△,如图1所示，将△的顶点与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D，A（），B在同一条直线上，如图2所示，观察图2可知：旋转角=°，与BC相等的线段是.问题·探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q，试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

关系·拓展：如图4，已知正方形ABCD，P为边BC上任意一点，连结AP，把AP绕点P顺时针方向旋转90°，点A对应点为点，连接,求的度数.【答案】（1）

90°，AD；（2）EP=FQ，证明见解析；（3）45°.【详解】试题分析：（1）根据矩形的性质、旋转的性质填空；（2）由全等三角形△APE≌△BGA的对应边相等知，EP=AG；同理由全等三角形△FQA≌△AGC的对应边相等知FQ=AG，所以易证EP=FQ；（3）由旋转的性质易求∠A1CE=45°.试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴如图1，在Rt△ADC与Rt△ABC中，，∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），即如图2，Rt△ABC≌Rt△C'DA′，∴BC=AD，∠BAC=∠DC′A′．又∵∠DC′A′+∠DA′C′=90°，∴∠DA′C′+∠CAB=90°，∴∠CAC′=90°．问题·探究：解：EP=FQ∵∠AGB=∠EPA=∠EAB=90°∴∠EAP+∠PEA=90°∠EAP+∠BAG=90°∴∠BAG=∠PEA∵∠EPA=∠AGB∠PEA=∠BAGAE=AB∴△EPA≌△AGB∴EP=AG同理：QF=AG∴EP=FQ联系·拓展：解：∠A1CE=45°过A1作A1Q⊥BE于点Q由上可知：△ABP≌△A1QP∴BP=A1Q，AB=PQ∵AB=BC∴BC=PQ∴BP=CQ∴A1Q=CQ∴∠A1CE=45°28．已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．

(1)如图1，可得___________；若