甘肃省武威市高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象教案 新人教A版必修4

甘肃省武威市高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象教案新人教A版必修4科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）甘肃省武威市高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象教案新人教A版必修4课程基本信息1.课程名称：高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象

2.教学年级和班级：甘肃省武威市高中一年级

3.授课时间：第9周，星期二上午第三节

4.教学时数：45分钟

教学内容：

1.理解正切函数的定义及表达式

2.掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性等性质

3.学会绘制正切函数的图象，并分析图象特点

4.应用正切函数解决实际问题

教学步骤：

1.导入：复习正弦函数与余弦函数的性质，引导学生发现正切函数的特点。

2.基本概念：讲解正切函数的定义及表达式，引导学生理解正切函数的几何意义。

3.性质分析：

a.周期性：推导正切函数的周期公式，分析周期性特点。

b.奇偶性：证明正切函数为奇函数。

c.单调性：分析正切函数在每个周期内的单调性。

4.图象绘制：指导学生绘制正切函数的图象，分析图象的对称性、渐近线等特征。

5.应用举例：结合实际例子，让学生应用正切函数解决简单问题。

6.总结与拓展：总结本节课所学内容，布置课后作业，拓展学生思维。

教学资源：

1.教材：新人教A版必修4

2.辅助教具：黑板、粉笔、直尺、圆规等

3.多媒体教学资源：PPT展示正切函数的图象，动态演示性质变化。

教学评价：

1.课堂提问：检查学生对正切函数性质的理解及图象绘制能力。

2.课后作业：布置相关习题，巩固所学知识。

3.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度，鼓励积极发言。教学目标分析本节课以核心素养为目标，旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等能力。通过正切函数的性质与图象的学习，使学生能够：

1.理解并掌握正切函数的定义及表达式，提高数学抽象能力；

2.分析正切函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，培养逻辑推理和数学建模能力；

3.学会绘制正切函数的图象，并能分析图象特点，锻炼数学运算和直观想象能力；

4.将正切函数应用于解决实际问题，提高数学在实际生活中的运用能力。

在教学过程中，注重引导学生主动探究、发现和解决问题，培养学生独立思考和合作交流的能力，使他们在掌握知识的同时，提升数学学科核心素养。同时，通过设置不同难度的习题，让每个学生都能在原有基础上得到提高，激发他们的学习兴趣和自信心。学情分析本节课的教学对象为甘肃省武威市高中一年级学生，经过前期的数学学习，他们在知识、能力、素质方面具备以下特点：

1.知识层面：

学生已掌握了正弦函数和余弦函数的基本性质及图象特点，对于三角函数有一定的了解。在此基础上，学习正切函数的性质与图象，能够更好地理解三角函数的内在联系。但学生对正切函数的定义及表达式可能还不够熟悉，需要在教学过程中加以引导。

2.能力层面：

学生在逻辑推理、数学建模、数学运算等方面具备一定的基础，能够通过观察、分析、归纳等手段发现正切函数的性质。然而，在图象绘制和分析图象特点方面，部分学生的直观想象能力和数学运算能力可能较弱，需要教师在课堂上给予更多关注和指导。

此外，学生在解决实际问题时，可能对正切函数的应用不够熟练，需要教师在教学中结合实际例子，培养学生的数学应用意识。

3.素质层面：

学生在学科素养方面，具备一定的自主学习、合作交流和反思能力。但部分学生的主动探究意识较弱，课堂参与度不高，对课程学习产生了一定的影响。因此，教师在教学过程中应注重激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极参与课堂讨论和探究。

4.行为习惯：

学生在学习过程中，部分学生存在依赖心理，习惯于被动接受知识，缺乏独立思考和问题解决的能力。这种行为习惯对课程学习产生了负面影响，使他们在面对新知识时，缺乏主动探索的勇气和信心。

针对以上学情分析，本节课的教学策略如下：

1.注重知识衔接，引导学生发现正切函数与正弦、余弦函数的联系，提高学生的数学抽象能力。

2.加强直观教学，通过图象演示和实际例子，帮助学生理解正切函数的性质，培养他们的数学建模和直观想象能力。

3.创设问题情境，激发学生的探究欲望，鼓励他们独立思考和合作交流，提高课堂参与度。

4.分层次教学，针对不同能力水平的学生，设置不同难度的习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。

5.强化数学应用意识，结合实际例子，让学生感受正切函数在实际生活中的应用，提高数学素养。

6.关注学生行为习惯的培养，鼓励学生独立思考和问题解决，减少依赖心理，提高自主学习能力。教学方法与手段1.教学方法：

（1）讲授法：在教学正切函数的基本概念、性质分析等内容时，采用讲授法向学生系统地传授知识，引导学生理解正切函数的定义、性质及表达式。通过生动的语言和形象的比喻，激发学生的学习兴趣。

（2）讨论法：针对正切函数的性质和图象特点，组织学生进行小组讨论，鼓励他们发表自己的看法，培养学生的逻辑思维和合作交流能力。在讨论过程中，教师适时给予指导，帮助学生解决问题。

（3）实验法：指导学生利用计算器、绘图软件等工具绘制正切函数的图象，让学生通过亲自动手实验，发现并验证正切函数的性质，提高学生的实践操作能力和探究精神。

2.教学手段：

（1）多媒体设备：利用PPT、教学视频等多媒体资源，展示正切函数的图象、性质和实际应用案例，使抽象的知识形象化、具体化，提高学生的学习兴趣和直观理解能力。

（2）教学软件：运用几何画板、Mathematica等教学软件，动态演示正切函数的图象和性质变化，帮助学生更好地理解正切函数的周期性、单调性等特点，提高教学效果。

（3）网络资源：引导学生利用网络资源，查找与正切函数相关的资料和案例，拓展学生的知识视野，培养他们的自主学习能力。

结合教学内容和学生特点，本节课采用以下教学策略：

1.创设情境：通过生活实例引入正切函数的概念，让学生感受到数学与现实生活的联系，激发学习兴趣。

2.分步引导：将正切函数的性质和图象特点分解为若干个小问题，引导学生逐步探究，降低学习难度。

3.互动交流：鼓励学生在课堂上积极发言，与同伴分享自己的思考和发现，提高课堂氛围和学生参与度。

4.及时反馈：在教学过程中，教师关注学生的学习反馈，及时解答学生疑问，巩固所学知识。

5.拓展延伸：课后布置相关习题和拓展任务，让学生在巩固基础的同时，提高自己的数学素养和解决问题的能力。教学实施过程1.课前自主探索

-教师活动：教师提前发布导学案，包括正切函数的基本概念、性质预习内容和相关思考题。

-学生活动：学生根据导学案，自主预习正切函数的定义和性质，尝试回答思考题。

-教学方法：自主学习法、问题驱动法。

-教学手段：导学案、预习资料。

-教学资源：课本、预习视频、网络资源。

-作用和目的：培养学生自主学习能力，让学生对正切函数有初步的了解，为课堂学习打下基础。

举例：思考题可以是“正切函数的图像是什么样的？它有哪些独特的性质？”

2.课中强化技能

-环节一：导入新课

-教师活动：通过复习正弦、余弦函数的性质，引导学生发现正切函数的特点。

-学生活动：参与复习，积极思考正切函数与正弦、余弦函数的关系。

-教学方法：讲授法、讨论法。

-教学手段：PPT、黑板。

-作用和目的：建立新旧知识联系，激发学生兴趣。

-环节二：性质探究

-教师活动：讲解正切函数的定义，引导学生通过小组合作探究正切函数的性质。

-学生活动：小组讨论，共同推导正切函数的周期性、奇偶性、单调性。

-教学方法：合作探究法、实验法。

-教学手段：几何画板、计算器。

-作用和目的：培养学生合作精神和探究能力，掌握正切函数性质。

-环节三：图像绘制

-教师活动：示范如何绘制正切函数图像，分析图像特点。

-学生活动：跟随教师示范，自行绘制图像，分析正切函数的对称性、渐近线等。

-教学方法：实验法、讲授法。

-教学手段：绘图软件、黑板。

-作用和目的：锻炼学生动手操作能力，加深对正切函数图像的理解。

3.课后拓展应用

-教师活动：布置与正切函数相关的实际问题，指导学生进行课后探究。

-学生活动：运用所学知识解决实际问题，完成课后作业。

-教学方法：问题驱动法、自主学习法。

-教学手段：课后作业、网络资源。

-作用和目的：巩固所学知识，提高学生将数学知识应用于实际问题的能力。

举例：课后作业可以是“利用正切函数解决一个实际生活中的问题，如建筑设计中的角度问题。”知识点梳理1.正切函数的定义及表达式

-正切函数的定义：在直角三角形中，正切函数定义为锐角的对边与邻边的比值。

-正切函数的表达式：在单位圆中，正切函数的解析式为y=tan(x)，其中x为角度。

2.正切函数的性质

-周期性：正切函数的周期为π，即tan(x+π)=tan(x)。

-奇偶性：正切函数为奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

-单调性：在每一个周期内，正切函数在(kπ-π/2,kπ+π/2)（k为整数）上单调递增。

3.正切函数的图像特点

-对称性：正切函数图像在每个周期内关于原点对称。

-渐近线：正切函数图像在x=kπ/2（k为整数）处存在垂直渐近线。

-极值：正切函数在每个周期内无极值，仅在x=kπ+π/2（k为整数）处取得极大值。

4.正切函数的应用

-解决直角三角形问题：根据正切函数的定义，可以求解直角三角形中的角度问题。

-解答实际问题：利用正切函数的单调性和周期性，解决实际生活中的问题，如物体运动、建筑设计等。

5.正切函数与其他三角函数的关系

-正切函数与正弦、余弦函数的关系：tan(x)=sin(x)/cos(x)。

-正切函数与余切函数的关系：tan(x)=1/cot(x)。

6.正切函数的导数和积分

-导数：正切函数的导数为sec^2(x)。

-积分：正切函数的不定积分为-ln|cos(x)|。

7.正切函数的级数展开

-正切函数的泰勒级数展开：tan(x)=x+x^3/3+2x^5/15+...教学反思在本次正切函数的性质与图象的教学中，我发现学生们对于正切函数的定义和性质有了较好的掌握，但在图像绘制和分析方面还存在一些困难。首先，我意识到在导入阶段，通过复习正弦、余弦函数的性质，为学生搭建了新旧知识的桥梁，这一点做得很好，有助于学生理解和接受新知识。

在性质探究环节，我采用了小组合作的方式，让学生们共同推导正切函数的周期性、奇偶性等，这样的教学方法提高了学生的参与度，也增强了他们的合作能力。但同时，我也注意到，部分学生在推导过程中还是显得有些吃力，我需要在这个环节增加一些提示和引导，帮助学生更好地理解。

在图像绘制环节，我使用了几何画板进行示范，希望学生能够通过直观的演示更好地理解正切函数的图像特点。但从学生的反馈来看，他们自己在绘制图像时，还是遇到了一些问题，比如对渐近线的理解不够深入。这里我可能需要提供更多的实际操作机会，让学生在动手绘制中加深对图像特点的理解。

我还发现，在解决实际问题时，学生们对于如何将正切函数应用到问题中还不够熟练。这告诉我，在今后的教学中，应该多设计一些与实际生活相关的例子，让学生在实践中学会运用数学知识。

另外，课后作业的布置也是一个值得思考的问题。我需要确保作业既有巩固基础知识的作用，又能激发学生的思考，引导他们进行更深层次的探索。板书设计①重点知识点

-正切函数定义：锐角对边/邻边

-正切函数表达式：y=tan(x)

-周期性：周期为π，tan(x+π)=tan(x)

-奇偶性：奇函数，tan(-x)=-tan(x)

-单调性：在每个周期内单调递增

-图像特点：对称性、渐近线、无极值

②关键词

-周期、奇偶、单调

-对称、渐近线、极值

-应用、直角三角形、实际问题

③重点句

-正切函数图像在每个周期内关于原点对称。

-正切函数在x=kπ/2（k为整数）处存在垂直渐近线。

-正切函数的单调递增区间为(kπ-π/2,kπ+π/2)。

板书设计采用以下策略：

1.条理清晰：按照定义、性质、图像、应用的顺序进行板书，使学生能够循序渐进地理解和记忆。

2.重点突出：使用不同颜色的粉笔，突出显示重点知识点、关键词和重点句，增强视觉效果。

3.简洁明了：用简洁的语言和符号表达复杂的数学概念，避免冗余，便于学生快速把握核心内容。

4.艺术性与趣味性：在板书设计中加入几何图形、符号图案等元素，使板书更具吸引力，激发学生学习兴趣。

5.动态演示：结合多媒体设备，动态展示正切函数图像的变化，增强学生对图像特点的理解。课后拓展-阅读材料：《三角函数在工程中的应用》

-视频资源：《正切函数与建筑设计》

-网络资源：与正切函数相关的数学竞赛题目

2.拓展要求：

-鼓励学生利用课后时间阅读《三角函数在工程中的应用》，了解正切函数在工程领域的应用，拓宽知识视野。

-观看《正切函数与建筑设计》视频，了解正切函数在建筑设计中的应用，增强学生对数学与实际生活的联系。

-利用网络资源查找与正切函数相关的数学竞赛题目，提高学生的数学思维和解题能力。

-教师提供必要的指导和帮助，解答学生在拓展过程中遇到的疑问，确保学生能够顺利进行自主学习。课堂-提问：在课堂上，我会通过提问的方式了解学生对正切函数定义、性质和图像特点的掌握程度。例如，我会问学生正切函数的周期是多少？它是奇函数还是偶函数？它的图像有什么特点？通过这些问题，我可以检查学生对正切函