第七教时 实数与向量的积 教案

第七教时实数与向量的积教案主备人备课成员教学内容本节课的教学内容来自于人教A版高中数学必修第二册第四章第一节，主要内容包括实数与向量的积的定义和性质。具体内容如下：

1.实数与向量的积的定义：设a是实数，\(\vec{u}\)和\(\vec{v}\)是两个向量，则它们的积定义为\(a\vec{u}\)和\(\vec{v}\)，其中\(a\vec{u}\)表示向量\(\vec{u}\)的模长乘以实数a，方向与\(\vec{u}\)相同。

2.实数与向量的积的性质：实数与向量的积满足交换律、结合律和分配律。具体来说，对于任意实数a、b和向量\(\vec{u}\)、\(\vec{v}\)，有\(a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+a\vec{v}\)，\((\vec{u}+\vec{v})a=a\vec{u}+a\vec{v}\)，以及\(a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+a\vec{v}\)。

3.实数与向量的积的应用：通过实数与向量的积，我们可以求解向量的线性方程组，即将向量的线性方程组转化为实数线性方程组，从而求解向量的值。核心素养目标本节课的核心素养目标定位为逻辑推理和数学运算。首先，通过学习实数与向量的积的定义和性质，让学生能够理解并掌握向量运算的基本规则，培养学生的逻辑推理能力。其次，通过练习实数与向量的积的应用问题，提高学生的数学运算能力，使其能够熟练运用实数与向量的积解决实际问题。同时，通过小组讨论和合作交流，培养学生的几何直观和数学建模能力，使其能够将向量运算应用到几何问题中，进一步理解和掌握向量运算的本质。学情分析本节课的授课对象为人教A版高中数学必修第二册的学生，他们已经掌握了初中阶段的数学知识，包括实数运算和初步的向量知识。在学习本节课之前，学生已经学习了向量的定义、表示方法和向量加法、减法、数乘法等基本运算。他们对于向量的概念有一定的理解，但可能对于实数与向量的积的定义和性质还不够清晰。

在知识能力方面，大部分学生具备一定的数学基础，能够理解和接受新的数学概念和方法。他们具备一定的逻辑推理能力和数学运算能力，能够进行向量的基本运算。然而，对于实数与向量的积的应用问题，学生可能还比较陌生，需要通过例题和练习来进行巩固。

在素质方面，大部分学生对数学学习充满兴趣，具备良好的学习态度。他们愿意参与课堂讨论和小组合作，能够积极思考问题。然而，部分学生可能对数学学习缺乏信心，害怕面对困难和挑战。对于这些学生，需要给予更多的鼓励和支持，帮助建立起自信心。

在学习行为习惯方面，学生可能存在以下几点影响课程学习的情况。首先，部分学生可能没有养成良好的课堂听讲习惯，容易分心或者做小动作。对于这些学生，需要通过互动和提问的方式，激发他们的学习兴趣，并提醒他们保持专注。其次，部分学生在课堂外没有进行充分的预习和复习，导致上课时跟不上老师的讲解。对于这些学生，需要加强课堂外的辅导和指导，帮助他们养成良好的学习习惯。最后，部分学生在解决问题时可能存在依赖心理，不愿意独立思考和解决问题。对于这些学生，需要鼓励他们积极参与课堂讨论，培养独立解决问题的能力。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，包括人教A版高中数学必修第二册第四章第一节的相关内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以帮助学生更好地理解和掌握实数与向量的积的概念和性质。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。可以准备一些小球、绳子等物品，让学生通过实际操作来更好地理解实数与向量的积的应用。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。将教室布置成适合小组讨论和实验操作的环境，以便学生能够更好地进行合作学习和实践操作。

5.教学工具：准备黑板、粉笔、投影仪等教学工具，以便进行实数与向量的积的示例演示和讲解。

6.练习题库：准备一些与实数与向量的积相关的练习题，以便进行课堂练习和巩固所学知识。

7.教学PPT：制作教学PPT，包括实数与向量的积的定义、性质和应用等内容的展示，以便进行课堂讲解和复习。

8.学习指南：准备一份详细的学习指南，包括本节课的学习目标、重点难点、学习方法等，以便学生能够明确学习要求和方法。教学流程1.导入新课（用时5分钟）

通过一个简单的实例来导入新课，例如：在平面直角坐标系中，给定向量\(\vec{u}=(1,2)\)和实数a，我们可以定义它们的积为\(a\vec{u}=(a\cdot1,a\cdot2)=(a,2a)\)。然后引导学生思考：实数与向量积的定义是什么？它有哪些性质？

2.新课讲授（用时10分钟）

首先，给出实数与向量的积的定义：设a是实数，\(\vec{u}\)和\(\vec{v}\)是两个向量，则它们的积定义为\(a\vec{u}\)和\(\vec{v}\)，其中\(a\vec{u}\)表示向量\(\vec{u}\)的模长乘以实数a，方向与\(\vec{u}\)相同。

其次，讲解实数与向量的积的性质：实数与向量的积满足交换律、结合律和分配律。具体来说，对于任意实数a、b和向量\(\vec{u}\)、\(\vec{v}\)，有\(a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+a\vec{v}\)，\((\vec{u}+\vec{v})a=a\vec{u}+a\vec{v}\)，以及\(a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+a\vec{v}\)。

最后，介绍实数与向量的积的应用：通过实数与向量的积，我们可以求解向量的线性方程组，即将向量的线性方程组转化为实数线性方程组，从而求解向量的值。

3.实践活动（用时10分钟）

首先，让学生进行一些实数与向量的积的运算练习，例如：计算\(2\vec{u}+3\vec{v}\)和\((1+2)\vec{u}\)。

其次，让学生利用实数与向量的积解决一些实际问题，例如：在平面直角坐标系中，给定向量\(\vec{u}=(1,2)\)和实数a，求解向量\(\vec{v}\)使得\(\vec{u}+a\vec{v}=\vec{0}\)。

最后，让学生尝试自己设计一些实数与向量的积的应用问题，并与同学分享和讨论。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

首先，让学生分组讨论实数与向量的积的定义和性质，并举例说明。

其次，让学生尝试解决一些实数与向量的积的应用问题，并讨论解题思路和方法。

最后，让学生分享自己设计的实数与向量的积的应用问题，并讨论其解决方案。

5.总结回顾（用时5分钟）

回顾本节课所学的内容，强调实数与向量的积的定义、性质和应用。提醒学生注意实数与向量的积的运算规则，以及如何利用实数与向量的积解决实际问题。

总用时：40分钟教学资源拓展1.拓展资源

（1）数学阅读材料：《向量的世界》、《向量及其应用》等，帮助学生深入了解向量的概念、性质和应用，提高学生的数学素养。

（2）网络资源：人教网、数学学科网等，提供丰富的教学资源，包括教学视频、练习题、教学设计等，有助于教师和学生更好地掌握教学内容。

（3）数学软件：Matlab、GeoGebra等，可以利用这些软件进行实数与向量的积的运算和绘图，让学生更直观地理解向量的概念和性质。

（4）实验器材：准备一些小球、绳子等物品，让学生通过实际操作来更好地理解实数与向量的积的应用。

2.拓展建议

（1）让学生阅读《向量的世界》、《向量及其应用》等数学阅读材料，深入了解向量的概念、性质和应用，提高学生的数学素养。

（2）鼓励学生利用人教网、数学学科网等网络资源，查找实数与向量的积的相关教学资源，进行自主学习和拓展。

（3）指导学生利用Matlab、GeoGebra等数学软件，进行实数与向量的积的运算和绘图，加深对向量概念和性质的理解。

（4）组织学生进行小实验，使用小球、绳子等物品，实际操作实数与向量的积的运算，提高学生的实践能力。

（5）鼓励学生参加数学竞赛、数学社团等活动，提高学生的数学兴趣和能力。

（6）建议学生进行课后反思，总结本节课所学的内容，查漏补缺，巩固实数与向量的积的知识。教学反思今天的课讲的是实数与向量的积，这是一个比较抽象的概念，对于学生来说可能有些难以理解。我在讲授的时候尽量用生动的例子来解释，让学生能够直观地感受到实数与向量的积的实际意义。

在导入新课时，我通过一个简单的实例来引发学生的兴趣，让他们能够快速地进入到学习状态。我觉得这个方法效果还不错，学生们听得津津有味，课堂氛围也比较活跃。

在新课讲授环节，我详细讲解了实数与向量的积的定义和性质，并通过具体的例子来帮助学生理解和掌握。我还强调了实数与向量的积的应用，让学生能够将所学知识运用到实际问题中。

在实践活动环节，我让学生进行一些实数与向量的积的运算练习，并解决一些实际问题。这个环节学生们表现得还不错，他们能够积极地参与进来，用心去计算和思考。

在学生小组讨论环节，我看到了学生们积极讨论的场景，他们互相分享自己的理解和思路，讨论得热火朝天。我觉得这个环节不仅提高了学生们的学习兴趣，也培养了他们的合作精神和团队意识。

在总结回顾环节，我对本节课所学的内容进行了梳理和总结，希望学生们能够牢固地掌握实数与向量的积的知识。

此外，我还发现有些学生在解决问题时存在依赖心理，不愿意独立思考和解决问题。针对这个问题，我需要在今后的教学中鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们独立解决问题的能力。典型例题讲解1.题目：已知实数a、b和向量\(\vec{u}\)、\(\vec{v}\)，求实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)的模长。

答案：根据实数与向量的积的定义，有\(a\vec{u}+b\vec{v}=(a\vec{u})+(b\vec{v})\)。由于向量加法的交换律和结合律，我们可以将上式改写为\((a+b)\vec{u}\)。因此，实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)的模长为\(|a+b|\)。

2.题目：已知实数a、b和向量\(\vec{u}\)、\(\vec{v}\)，且\(\vec{u}\)与\(\vec{v}\)垂直，求实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)与向量\(\vec{u}\)的点积。

答案：由于\(\vec{u}\)与\(\vec{v}\)垂直，根据向量垂直的性质，有\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)。因此，实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)与向量\(\vec{u}\)的点积为\(a\vec{u}\cdot\vec{u}+b\vec{v}\cdot\vec{u}\)。由于向量点积的分配律，我们可以将上式改写为\(a(\vec{u}\cdot\vec{u})+b(\vec{v}\cdot\vec{u})\)。由于向量\(\vec{u}\)与自身的点积等于向量的模长的平方，即\(\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2\)，所以实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)与向量\(\vec{u}\)的点积为\(a|\vec{u}|^2+b(\vec{v}\cdot\vec{u})\)。

3.题目：已知实数a、b和向量\(\vec{u}\)、\(\vec{v}\)，求实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)的单位向量。

答案：实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)的单位向量可以通过将其模长除以其模长的平方根来得到，即\(\frac{a\vec{u}+b\vec{v}}{|\vec{u}+\vec{v}|}\)。首先，计算\(|\vec{u}+\vec{v}|\)的值。根据向量加法的模长公式，有\(|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})}\)。展开点积，得到\(|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{|\vec{u}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2}\)。由于实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)与向量\(\vec{v}\)的点积为\(b\vec{v}\cdot\vec{u}\)，所以实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)的单位向量为\(\frac{a\vec{u}+b\vec{v}}{|\vec{u}+\vec{v}|}=\frac{a\vec{u}}{|\vec{u}+\vec{v}|}+\frac{b\vec{v}}{|\vec{u}+\vec{v}|}\)。

4.题目：已知实数a、b和向量\(\vec{u}\)、\(\vec{v}\)，且\(a^2+b^2=1\)，求实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)的模长的平方。

答案：实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)的模长的平方可以通过计算\(a^2|\vec{u}|^2+2ab\vec{u}\cdot\vec{v}+b^2|\vec{v}|^2\)来得到。由于实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)与向量\(\vec{v}\)的点积为\(b\vec{v}\cdot\vec{u}\)，所以实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)的模长的平方为\(a^2|\vec{u}|^2+2ab(\vec{u}\cdot\vec{v})+b^2|\vec{v}|^2\)。由于实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)与向量\(\vec{u}\)的点积为\(a\vec{u}\cdot\vec{u}\)，所以实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)的模长的平方还可以表示为\((a\vec{u}+b\vec{v})\cdot(a\vec{u}+b\vec{v})\)。展开点积，得到\(a^2|\vec{u}|^2+2ab\vec{u}\cdot\vec{v}+b^2|\vec{v}|^2\)。由于实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)与向量\(\vec{u}\)的点积为\(a\vec{u}\cdot\vec{u}\)，所以实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)的模长的平方还可以表示为\(a^2+2ab\vec{u}\cdot\vec{v}+b^2\)。由于\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)，所以实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)的模长的平方为\(a^2+b^2=1\)。

5.题目：已知实数a、b和向量\(\vec{u}\)、\(\vec{v}\)，求实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)与向量\(\vec{u}+\vec{v}\)的点积。

答案：实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)与向量\(\vec{u}+\vec{v}\)的点积可以通过计算\((a\vec{u}+b\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})\)来得到。展开点积，得到\(a\vec{u}\cdot\vec{u}+a\vec{u}\cdot\vec{v}+b\vec{v}\cdot\vec{u}+b\vec{v}\cdot\vec{v}\)。由于向量点积的交换律和结合律，我们可以将上式改写为\(a(\vec{u}\cdot\vec{u})+b(\vec{u}\cdot\vec{v})+b(\vec{v}\cdot\vec{u})+b^2(\vec{v}\cdot\vec{v})\)。由于向量\(\vec{u}\)与自身的点积等于向量的模长的平方，即\(\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2\)，所以实数\(a\vec{u}+b\vec{v}\)与向量