专题2.5.2圆与圆的位置关系4种常见考法归类（78题）（原卷版）

专题2.5.2圆与圆的位置关系4种常见考法归类（78题）题型一圆与圆位置关系的判断及应用（一）判断圆与圆的位置关系（二）由圆的位置关系求参数（三）由圆与圆的位置关系确定圆的方程题型二与圆相交有关的问题（一）求两圆的交点坐标（二）圆系方程的应用（三）求两圆公共弦方程（四）求两圆公共弦长题型三两圆的公切线问题（一）圆的公切线条数（1）求公切线条数（2）由公切线条数求参数（二）圆的公切线方程（三）圆的公切线长题型四圆与圆的最值问题知识点1圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.图象位置关系图象位置关系外离外切相交内切内含2、圆与圆的位置关系的判定（1）几何法设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.①当时，两圆相交；②当时，两圆外切；③当时，两圆外离；④当时，两圆内切；⑤当时，两圆内含.（2）代数法设::联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其①与设设相交②与设设相切（内切或外切）③与设设相离（内含或外离）3．几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判断方法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判断方法一样，能判断出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判断两圆的位置关系．题型一圆与圆位置关系的判断及应用判断圆与圆的位置关系解题策略：圆与圆位置关系的判定(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；②计算两圆的圆心距d；③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．1．（2024·福建宁德·高二统考期中）圆与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．内含 D．外离2．（2024·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C:的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切3.（2024·江苏扬州·高二统考开学考试）圆与圆的位置关系为（

）．A．相交 B．内切 C．外切 D．外离4.（2024·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切5．（2024·全国·高三专题练习）已知圆的圆心在直线上，点与都在圆上，圆，则与的位置关系是___________.6.（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆M:x2+y2−2ax=0a>0的圆心到直线2x+y=2距离是5A．外离 B．相交 C．内含 D．内切7．【多选】（2024·江苏南通·高二统考期末）已知圆，则（

）A．点在圆C内 B．直线与圆C相切C．圆与圆C相切 D．圆与圆C相切8．（2024·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）平面直角坐标系中，，，动点满足，则使为等腰三角形的点个数为（

）A．0 B．2 C．3 D．49．【多选】（2024·湖南娄底·统考模拟预测）已知圆M：，圆N：，直线l：，则下列说法正确的是（

）A．圆N的圆心为B．圆M与圆N相交C．当圆M与直线l相切时，则D．当时，圆M与直线l相交所得的弦长为10．（2024·全国·高二专题练习）已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0由圆的位置关系求参数解题策略：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两种情况。应用几何法判断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．11.（2324高二上·山东日照·期末）若两圆C1：x2+y2+2x=0与C2A．m>4 B．m<4 C．0<m<4 D．4<m<2012．（2024·浙江丽水·高二统考期末）若圆与圆外切，则实数（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．413.（2024·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______14．（2024·高二课时练习）若两圆和圆相交，则a的取值范围是（

）A． B．或C． D．或15．（2024·高二课时练习）当为何值时，两圆和.(1)外切；(2)相交；(3)外离.16.（2324高二下·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（

）A．1 B．2 C．1 D．217．（2022秋·高二课时练习）若圆与圆有公共点，则满足的条件是（

）A． B．C． D．18．（2024·安徽·高二校联考期末）已知圆，，，若以线段为直径的圆与圆有公共点，则的值可能为______.（写出一个即可）19.（2324高二上·广东·期末）若圆C1:x2+y2A．−35,−15∪15,20．（2024·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______21．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相外切，则k的取值范围为__________．22．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3（三）由圆与圆的位置关系确定圆的方程23.（2024·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为__________.24.（2024·河南焦作·统考模拟预测）已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为_________．25.（2024·江西宜春·高二统考阶段练习）已知圆(1)若直线过定点，且与圆相切，求直线的方程；(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．知识点2圆与圆的公共弦1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.联立作差得到：即为两圆共线方程2、求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.设圆:，①

圆:，②

①②，得，③

若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.3、公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4、圆系方程(1)以为圆心的同心圆圆系方程：；(2)与圆同心圆的圆系方程为；(3)过直线𝐸𝑀𝐵𝐸𝐷𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛.𝐾𝑆𝐸𝐸3\∗𝑀𝐸𝑅𝐺𝐸𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝑇𝐸𝑀𝐵𝐸𝐷𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛.𝐾𝑆𝐸𝐸3𝐸𝑀𝐵𝐸𝐷𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛.𝐾𝑆𝐸𝐸3𝐸𝑀𝐵𝐸𝐷𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛.𝐾𝑆𝐸𝐸3与圆4过两圆，圆：交点的圆系方程为（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.题型二与圆相交有关的问题（一）求两圆的交点坐标解题策略：判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组的解，这样用方程组解的个数判断两圆位置关系可起到一举两得的效果．26．（2024·高二课前预习）圆与圆的交点坐标为（

）A．和 B．和C．和 D．和27.（2022·高二课时练习）圆与圆的交点坐标为___________.28．（2024·高二课时练习）求圆与圆的交点的坐标．29.（2024·全国·高三专题练习）经过点以及圆与交点的圆的方程为______．30.（2024·高二课时练习）已知圆和圆，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．31．（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是______.32．（2024·辽宁丹东·高二统考期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（

）A．12 B．6 C．24 D．（二）圆系方程的应用解题策略：圆系方程(1)过两已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．当λ＝－1时，变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线．(2)过直线与圆交点的圆系方程设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程．33．（2022秋·高二单元测试）求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.34.（2024高三·全国·专题练习）过圆C1：x2+y2+6x−4=0和圆C2A．x+12+y+2C．x−12+y+635.（2324高二·全国·课堂例题）求经过直线x+y=0与圆x2+y（三）求两圆公共弦方程解题策略：求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程36．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.37．（2022秋·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（

）A． B．C． D．38.（2024·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为______．39．（2024·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.40．（2022秋·高二课时练习）已知过圆外一点做圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（

）A． B．C． D．41.（2324高二上·广东东莞·期中）圆x2+y2=1A．12 B．14 C．1求两圆公共弦长解题策略：公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．42.（2024·天津滨海新·统考三模）已知圆：与圆：，若两圆相交于，两点，则______43．（2024·高二课时练习）已知圆，圆.(1)求圆与圆的公共弦长；(2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.44．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知圆C的圆心为，且与直线相切．(1)求圆C的方程；(2)求圆C与圆的公共弦的长．45．（2021秋·高二课时练习）若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为________；线段AB的长为________．46.（2024·湖南张家界·高二统考期末）已知两圆，．(1)取何值时两圆外切？(2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．47．（2021秋·高二课时练习）圆与圆的公共弦长的最大值是（

）A． B．1 C． D．248．（2024·河南·统考二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（

）A． B．C． D．49．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（

）A． B． C．或1 D．50.（2024·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知圆与圆有两个公共点、，且，则实数（

）A． B． C． D．知识点3圆与圆的公切线1、公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．2、公切线的方程核心技巧：利用圆心到切线的距离求解求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.题型三两圆的公切线问题解题策略:1.处理两圆相切问题的两个步骤：(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问题．2.两圆相切时常用的性质(1)设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则两圆相切eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(内切⇔|O1O2|＝|r1－r2|，外切⇔|O1O2|＝r1＋r2.))}(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)．（一）圆的公切线条数解题策略：判断两圆公切线的条数的基本思路先判断两圆的位置关系,再由位置关系确定公切线的条数:(1)两圆内切时,有1条公切线;(2)两圆外切时,有3条公切线;(3)两圆相交时，有2条公切线;(4)两圆内含时，无公切线;(5)两圆外离时，有4条公切线.（1）求公切线条数51．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．452.（2024·全国·高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．453．【多选】（2024·高一单元测试）已知圆与圆，下列说法正确的是（

）A．与的公切线恰有4条B．与相交弦的方程为C．与相交弦的弦长为D．若分别是圆上的动点，则54.（2024·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条55．（2024·黑龙江大庆·统考三模）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条（2）由公切线条数求参数56．（2024·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆和有且仅有一条公切线，则______；此公切线的方程为______57．（2022秋·高二课时练习）已知两圆，，当圆与圆有且仅有两条公切线时，则的取值范围________.58.（2024·河北保定·高二统考期末）若圆与圆恰有两条公共的切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．59.（2024·全国·高三专题练习）若圆与圆有且仅有3条公切线，则=（

）A．14 B．28 C．9 D．60.（2024·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（

）A． B． C．6 D．－661．（2024·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．62.（2024·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．（二）圆的公切线方程解题策略:在求两圆的公切线时，首先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解;其次，应注意公切线的几何性质,得出最佳解法.63．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________.64．（2024·江西南昌·校联考模拟预测）已知圆与圆，写出圆C和圆E的一条公切线的方程______.65．（2024·湖南岳阳·统考三模）写出与圆和都相切的一条直线方程____________．66．【多选】（2022秋·高二单元测试）已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（

）A． B．C． D．67.（2024·山东聊城·高二统考期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（

）A． B．C． D．68.（2324高三下·四川巴中·阶段练习）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（

）A． B．C． D．（三）圆的公切线长69．【多选】（2024·山东青岛·高二统考开学考试）已知圆，圆，则（

）A．圆与圆相切B．圆与圆公切线的长度为C．圆与圆公共弦所在直线的方程为D．圆与圆公共部分的面积为70．【多选】（2022秋·广东惠州·高二惠州市