2025年高考数学江苏地区一轮复习模拟题汇编：数列（含解析）

江苏地区一轮复习模拟题汇编：数列-2025年高考数学核心考点突破

一、单选题

1.（24-25•江苏漂阳•开学考试）在等差数列｛4｝中，S3=3,S6=10,S9=（）

A.13B.17C.21D.23

2.（23-24.江苏南京.模拟预测）已知数列也｝满足：4=[（丁）"[3，"（7卜6*）,且数列｛%｝是

递增数列，则实数a的取值范围是（）

A.阳B.*3）C.（2,3）D.（1,3）

3.（23-24.江苏南京.模拟预测）若数列｛%｝是公比为4的等比数列，且Iog24+log2%=3,44。=4,

则4的值为（）

A.2B.4C.±2D.+4

4.（23-24・江苏南京・开学考试）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三

数之剩二（除以3余2）,五五数之剩三（除以5余3）,七七数之剩二（除以7余2）,问物几何？

现有这样一个相关的问题：已知正整数〃满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数机按照从小

到大的顺序排成一列，构成数列｛%｝,记数列｛4｝的前〃项和为S“，则10S：+121的最小值为（）

5〃

5.（24-25•江苏南通・模拟预测）设两个等比数列｛4｝,也｝的前〃项和分别为S“，T”若S"T”=n3j,

则a5b5=()

A.162B.524C.890D.1210

6.（22-23•江苏盐城・开学考试）南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方

垛、刍薨垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，

1111

第三层有6个，第四层有10个，……设第〃层有凡个球，则一+—+—+LT+——的值为（）

dyd/?^^2023

4044-2021-2022-2023

A.------B.------C.------D.------

2023101120231012

ioi

7.（23-24.江苏盐城.模拟预测）设数列｛为｝的前〃项积为T,,满足q,+37；=l,则（）

>=11>

275295

A.175B.185C.—D.—

22

8.（23-24.江苏无锡.专题练习）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”

的称号,用他名字定义的函数称为高斯函数/（%）=区，其中国表示不超过x的最大整数,如[2.3]=2,

8100]

[-1.9]=-2,已知数列｛q｝满足q=1,a2=5,。“+2+4。“=5。用，若6"=[log2%+J,S*为数列

的前“项和，贝l][S2025]=（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

二、多选题

9.（23-24•江苏南京•模拟预测）设数列｛叫的前〃项和为%已知4=1,。用=3S“，”©N*，则（）

A.邑=4B.。6=16。4

C.数列｛%｝是等比数列D.数列｛SJ是等比数列

10.（23-24•江苏无锡•模拟预测）己知数列｛%｝满足4+2%++2"%”=小2向，贝|（）.

A.an=2n+2

B.｛可｝的前10项和为150

C.[（T）"%｝的前11项和为一14

D.｛寓-叫｝的前16项和为168

11.（23-24.江苏扬州.模拟预测）己知数歹支%｝，记数列｛%｝的前〃项和为S“，下列结论正确的是（）

A.若“。用>田,〃€N”是“｛叫为递增数歹广的充分不必要条件

B.为等差数列”是“｛%｝为等差数列”的必要不充分条件

C.若｛%｝为等比数列，则Sa-Ss.Sg-K成等比数列

D.若｛%｝为等比数列，则｛，｝可能是等差数列

三、填空题

12.（23-24.江苏南京.模拟预测）已知数列｛册｝中，ai=l,a„+i=a„+«（«eN*）,则■=_.

13.（23-24・江苏徐州•模拟预测）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，一共用了1540个

球.第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，

每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，则这位同学共堆积了层.

14.（23-24•江苏南京三模）记N；=｛1,2,3,,：〃｝eN*）,4表示4个元素的有限集，S（E）表示非空

数集E中所有元素的和，若集合/*=｛S（A）I4=N；｝,则吼j=—，若5（%“2”817,则机

的最小值为—.

四、解答题

15.（23-24・江苏南京•模拟预测）记等差数列｛%｝的前〃项和为S“，生+%=5,%=6.设

n

（1）求耳6的值；

⑵记6为数列｛2｝的前2”项和，r”为数列代｝的前”项和，且Kz,=Z，求实数f的值.

16.（2024•江苏徐州•三模）设数列｛。,｝的前〃项的和为s”,1=5.

（1）若｛%｝是公差为d的等差数列，且。6，%，。9成等比数列，求〃；

2

⑵若S1,=nan,求证：S“<6.

17.(23-24・江苏南京•模拟预测)设｛an｝的前几项和为S,(〃eN*),且S“=2a”-2,数列出„｝的通项

公式为bn=n.

(1)求｛%J的通项公式；

(2)设=%+以，数列｛4｝的前〃项和为<("eN*),求满足7；>2角+1成立的”的最小值;

。法”,"为奇数

(3)对任意的正整数〃，设g=(3d-2)4石仲粕，求数列｛1｝的前2w项和.

----------，"为偶数

〔他+2

18.(2024・江苏无锡•模拟预测)已知数列｛5｝满足q=；,(l-g)4+i=:.令2=a“_g.

(1)求证：数列为等差数列;

⑵求证：^+J+-+^<n+Z-

19.(2024•江苏盐城•模拟预测)在数列｛凡｝的第％项与第k+1项之间插入七个1,称为变换数列

｛a,,｝通过变换r所得数列记为(%),数列a(%)通过变换r所得数列记为(4)，…，以此类推,

数列(q)通过变换r所得数列记为(凡)(其中〃22).

(1)已知等比数列｛。“｝的首项为1,项数为机，其前加项和为s,“，若鼠=2a,“-1=255,求数列口(?)

的项数；

(2)若数列｛4｝的项数为3,(4)的项数记为或.

①当“22时，试用或t表示切；

②求证：

参考答案:

1.c

【分析】由等差数列性质可知S3,S6-S3,S9-§6仍为等差数列，代入即可求解.

【详解】由等差数列的性质可知，

在等差数列｛%｝中S3,s6-s3,S9-S6仍为等差数列，

所以2&-53）=S3+S9—$6,

所以品=21.

故选：C.

2.C

【分析】由数列的单调性求解.

3—。>0

【详解】由题意,解得2<a<3.

7（3-a）_3<产6

故选：C.

3.A

【分析】根据给定条件，可得。“>。，利用对数运算及等比数列性质求出4.

【详解】数列｛%｝中，由log2a4,+log2%3=3,知4>0,取3>0,则4>0,

34

又log2a4a13=3,于是=2=8,而a4al?=«6«io=，

所以4=3=2

”4“12

故选：A

4.B

【分析】先求出为=5-5—1)+3,〃eN*,得S“==〃2+=〃，则105+121=5〃+皆］,利用基本不

225〃5n

等式求解，要注意等号成立时条件.

【详解】由题意，可知所有正整数加为3,8,13,18,...

即数列为5的非负整数倍加3,

故%=5-(H-1)+3,HSN*,

数列｛即｝是以3为首项，5为公差的等差数列,

3.53+h,

S=3〃+

n222

10-1|n2+|nj+121

10S“+121

5n5n

=5”+也+1

5〃

>2+1

=23,

当且仅当5〃=孕，即〃空时，等号成立,

5〃5

W厂1211-121231

当〃=2时，5〃H-------1-1=11H-----=-----,

5n1010

W厂1211~121231

当〃=3时，5n-\-------Fl=16H------>-----

5n1510

所以当〃=2时，取得最小值且最小值为2苗31.

故选：B.

5.A

【分析】设｛%｝,也｝的公比分别为。，4,讨论P=l,qwl、021,4=1、P==1、的情

况，结合等比数列的求和公式即可求解.

【详解】设也｝,也｝的公比分别为P国,

若P=1,qw1,则S”=nax,Tn=

i—q

即4

i—qi—q

所以q=3,可得当=1,得afy=2.

y-i

所以=Tn,满足SZ="3'-〃.

ax

b,、，,缶T3$-134-1162

所以%=4,b5=T5-T4=----------=---

a1%4

所以%&=162.

同理可得pw1应=1时也可以得到贴5=162.

当夕=1应=1时，Sn=nax,Tn=曲,则S工=4伉九2二人3〃_九,故舍去.

当〃工1国。1时，在SJ；=^3〃—九中，

令〃=],得SZ=她=3—1=2.

1

人ZRG(1—p2)bAl-q]、

令〃=2,WS27I--------------^=2x32—2=16,

1—p1-q

即(l+p)(l+q)=8①.

人/口ajl-p3)“l-q3),

令〃=3,得$34=-^--------------^=3x33-3=78,

1-pi-q

即(l+p+p2)(l+q+/)=39,即(l+p)(l+g)+p2+/+pq(p+q)+(pq?=39,

所以p2+q2+pq(p+q)+(pq)~=31,即(p+g)?-2pq+pq(p+q)+(pq)-=31@.

由①，得l+p+q+pq=8,gpp+q^l-pq,

代入②，得(7-pq)2-2pq+pq(j-pq)+(pqy=31.

令Pq=t,则产—14f+49-2r+7f—产+/=31,

化简可得产-%+18=0,解得f=3或f=6,即pq=3或网=6.

若Pq=3,贝!|p+q=4,解得。=1应=3或。=3,q=l,舍去.

若pq=6,贝！|。+4=1,贝！|P，4是方程尤之一尤+6=0的两个根.

因为A=(—I?-4x1x6=—23<0,所以方程d—x+6=0无解，故网=6舍去.

综上所述，a5b5=162.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：设｛%｝，也｝的公比分别为。，4,讨论p=LqWl、。片l,q=l、。=1，4=1、

。#1应#1,从而得解.

6.D

【分析】由题意可得「1+2+3+—"=T，所吟=品=2

1.J_,然后利用裂项

nn+1

相消求和法可求得结果.

【详解】由题意可得%=1+2+3+…+〃=磅罗

-12c

所以(=E=21__L

nn+1

1111

所以一+—+—+L+—

“2023

=2x

1

=2x1-

2024

2023

"1012'

故选：D

7.A

T11

【分析】首先令"=1求出当〃22时%=广，即可得到7L+37；ZI=7；T，从而得到弘一厂=3,

1n-l1n1n-\

即是以4为首项，3为公差的等差数列，再由等差数列求和公式计算可得.

【详解】因为2+3(=1,当〃=1时4+37]=1,解得％=:,

当“22时%=广，所以广+3(=1,则7；+37；7；T=4T，

1n-lLn-\

111,

所以^~-X=3,又7=4,所以是以4为首项，3为公差的等差数列,

44-1

2110x(10-1)

所以2—=4x10+——-------^x3=175.

i=\Tj2

故选：A

8.B

【分析】

根据*+4q,=5%得到数列｛八-q,｝为等比数列，求出。向和%的关系，根据累加法求出%“，求出么,

+1+1

根据log2(4"-l)-log23<log24"-1=2«+1,log2>log2GT)，=2”求出3,求出S,即可.

【详解】由a„+2+4A„=5a,1+｝得an+2-an+1=4(a„+1-«n),

因此数列｛。用公比为4,首项为4-％=4的等比数列,

故a„+l-an=4",进而根据累加法得

〃

a_4+i-1

n+\=(4+1-"〃)+(〃〃_Q〃-1)++(〃2_%)+%=4〃+4〃T+…+4+1=---

LT

b“=[log2a„+1]=[log2---],

n+1

log2(4-l)-log23<log24"i-1=2九+1,

+|

4"-1,(4-1)4"cb=2n,

又l«g2--—>l«g2—--=2n,n

一1f8100।81008100

令｛C“｝二｛厂厂｝,■•­——4050(--2〃+2)

bn-bn+12n-(2n+2)2n

1111111

=q+。2+,,+c_+c=-----1---------F------------------■1--),--------------

nxn4482(n-1)2n2nIn+2

s=2025(1--—),代入〃=2025得[S]=2024.

nn+12025

故选：B.

【点睛】关键点点睛:本题关键在于根据log2(4"£-D-log〃vlog'向-1=2”+1,

,4"+1-1,(4-1)4"c卡山〃

log2—-->log2——-——=求出£.

9.ABD

【分析】根据。,总的关系，即可作差求解伍“｝是从第二项开始的等比数列，｛S,｝是等比数列，即可结

合等比数列的通项公式及性质检验各选项即可判断.

【详解】因为％=35”,所以a“=3S,i，n>2,

故“22时，两式相减得，an+l-an=3an,即%+[=4%,

因为%=3H=3不适合上式，

故数列｛%｝是从第二项开始的等比数列，公比为4,%=3,C错误；

贝I]S2=q+g=1+3=4,A正确；

&="=16,B正确；

a4

因为an+l=3Sn=Sn+l-Sn,所以Sn+l=4Sn,

即数列｛SJ是以1为首项，以4为公比的等比数列，D正确.

故选：ABD.

10.ACD

【分析】对于A,已知S“求应的公式求解即可；对于B,运用等差数列求和公式求解；对于C,分组

并项求和即可；对于D,分情况讨论，结合等差数列求和公式求和即可.

【详解】对于A,由4+2的++2-1a„=M-2"+1,

当〃22时，%+2a2++2"an_x=(M-1)-2",

两式相减得，a„=2n+2(n>2),

当〃=1时，卬=4符合，所以。“=2〃+2,A正确；

对于B,｛册｝的前10项和为&+2；)*l°=i30,B错误；

对于C,｛(-1)〃q｝的前11项和为一4+%—。3+。4--6Zii=-4+5x(-2)=-14,C正确；

对于D,a„-10=2n-8>0,解得〃>4,

10-tz,l<n<3

所以｛寓-明｝=n

in」,HGN,

an-10,n>4

所以｛|“〃—1°|｝的前16项和为(1°—〃i)+(l°—〃2)+(l°—。3)+(。4—1°)++(66—l°)

0+2x13

=(6+4+2)+(0+2+4++24)=12+(^)=168,D正确.

故选：ACD.

11.ACD

【分析】对于A找到一个数列是递增数列，但是不满足%M>kJ,〃eN*,所以可判断A,对于B，

与｛&J能互相推出，所以可判断B,对C,根据条件算出公比和首项，代入即可判断，对D,找到一

个4=1的等差数列，代入可判断D.

【详解】对于A,an+1>\an\>an,则。用>%,｛%｝为递增数列，

但｛册｝为递增数列时，如：an=--,但。角>同不成立，

n

所以A选项正确；

对于B,数列｛a｝为等差数列oa=An+2oS“=与+痴+^为等差

nn3+^^=1A„+1(2A+JB)

2n22

数列，

所以“数列为等差数列”是“数列｛/J为等差数列”的充要条件，

所以B选项不正确；

对于C,若5｝为等比数列，公比为4,当它1时，

则前〃项和为s3=%°")，

1--?

所以$6-53=4.同理可得品-金=/.$3

S.-S.

所以二也=43

S6-S3

所以星,英一S3,与一$6成等比数歹!J；

当g=l时，Sn=nat,gpS3=3al,S6—S3=3^,5,-S6=3a1f

$6-$3Sf

所以

S3s6-s3'

所以c选项正确;

对于D,若｛an｝为等比数列，当4=1时，S„=nai,

则S,+i—S.nS+l)"-㈣=",

所以｛'｝是公差为0的等差数列，故D选项正确.

故选：ACD.

12.29

【分析】根据累加法求得。”，即可求得见.

【详解】根据题意，〃eN*,〃22,a“-

=1+1+2++（/1-1）=l+^--（H-1）=--；+2,%=1满足该式,

2

所以%="一;+2,贝|J%=29,

故答案为:29.

13.20

【分析】由题意可得每层的球的个数，即可借助组合数的性质求出前〃层的球的个数之和，即可列出

方程求解.

【详解】设第〃(〃eN+)层有％个球，由第1层有1个球，

从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，

则有〃=1+2+3+・+〃=△——二

〃2

设％的前”项和为s,,则S“=l+3+6++"+l)=c；+C；+C；++C，1,

由c，"+=加+加=("+1-7")加+”加

m!(n—m)!(m—l)!(n+l—m)!m!(n+l—m)!

=Cn+\，

m!（n+l—m）!

故s产G+C+C++C3=c；+c"c：++C3=C：+G++C3

=C+c；++c"=c"+c3=c"

令C"T540,即有（"+2）（"+l）〃=1540,

6

即（〃—20）（/+23W+462）=0,解得〃=20.

故这位同学共堆积了20层.

故答案为：20.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得出每层的球的个数后借助组合数的性质求出前〃层的球的个

数，从而可列出方程并求解.

14.{6,7,8,9）21

【分析】第一空，根据集合新定义可写出A3的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出

Mg={3,4,5,,利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出m的范围，

即可求得答案.

【详解】当根=4次=3时，乂={1,2,3,4},4表示3个元素的有限集，

由可知&={1，2,3}或4={1,2,4}或4={1,3,4}或$={2,3,4},

故M%3={6,7,8,9}；

由题意知外,2={3,4,5,,2/n-l},

故由5（Mm2）>817可得（2f13+2加—1）即（2m,3）（m+l）>817,

解得m2小近亘=21或加4匕遍画（舍去），

44

结合〃?eN*,故机的最小值为21,

故答案为：{6,7,8,9}；21

【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义,

明确其内容，进而结合解不等式，即可求解.

15.（1）68

⑵”3

【分析】（1）由等差数列的通项公式和求和公式，可得所求；

（2）由等比数列的通项公式、求和公式，化简整理，可得所求值.

【详解】（1）设等差数列{%}的公差为d,则%+%=5,@=6,

可得2q+8d=5,a,+1Id=6,解得q=/=：,即有

贝Ij46=gxl6x（；+；xl6）=68；

(2)由Cl)可得么==工=2"i,则>=4"T,

n

\_72/1

则勺=—=4”一1,

1—Z

1Z

T„为数列｛4｝的前〃项和，可得(=i^=1(4--1),

可得K“,=W，即为4"-1=:(4"-1),解得f=3.

16.(1)4=。或-g

(2)证明见解析

【分析】(1)由等差数列前〃项和公式以及等比中项公式列出等量关系式并转化成首项和公差来表

示即可求解.

(2)先由。同=5“+「5”=喂=号，进而由累乘法风=&•也迎外(“22)结合求

«„"+2a„.ian_2%

出即可由Sn=n~an得解.

5(5-1)

S=5"iH---------d=5q+2d=1

【详解】(1)由题意知5故＜

(q+5d)(q+8d)=(q+6dJ

a6a9=a；

解得2屋+d=0,所以d=。或d=-J.

(2)因为S"=w%"①，所以S“+]=("+1)%“+1②,

所以由②-①得%=(〃+l)4「〃4,='

生纥1七212

所以心2时,一•“I=--------a

aan〃

4-1n-2\〃+1〃—13("+1)

25

所以由S5=5得$5=5,软=25><5(5+1产=铲1=5nq=3,

所以％=就D(心2)，

显然4=3也符合上式，所以巴=肃司(〃€^),

6n2_6

所以S"<6

9+1)1+1

n

17.⑴，〃=2〃

(2)3

2n522n+28

⑶.22n+1+

392〃+29

【分析】(1)根据%,S”的关系，即可作差判定｛%｝为等比数列求解，

(2)根据等差等比数列的求和公式，即可求解，

(3)根据裂项求和和错位相减法分别求解奇偶项的和，即可由分组求和得解.

fS=2a—2

【详解】(1)由已知得仁：“、八

电_1=2%-2(〃22)

解得见=2«„-2%,所以。"=2%,

%=2q—2,q=2,

所以数列｛为｝是以2为首项，2为公比的等比数列，二%=2".

(2)因为Z=a"+2,所以7；=2(2"-1)+的手，

因此1>2向+1,故(〃+3)(〃-2)>0,解得n>2,

：.n>3,即满足条件〃的最小值为3.

。〃勿，"为奇数

(3)因为％=，(3年-2)41,〃为偶数,

.她+2

当"为偶数时，▼岂

bnbn+2n(n+2)n+2n

/^2n+2

记N=C2+C4++C2n=---一2；

2〃+2

当〃为奇数时,c„=anbn=n-2",

-/!

I己M=C[+C3+C5+...+。2”-1=1x2+3x2^+5x2，+...+(2〃—1),2(X),

贝I]4M=1x23+3x2$+5x27+...+(2H-1)-22,,+1(2),

®-®1^-3M=2+2X23+2X25+2X27+...+2-22"-1-(2/7-1)-22"+1

24(1-22B-2)

=2+24+26+28+...+22,!-(27Z-1)-22"+1=2+-(2n-l)-22n+I

1-22

。力,2"+2o

因此数列｛c„｝的前2w项和为?一22"+1+白二-：.

(39)Zn+Z9

18.(I)证明见解析；(II)证明见解析.

【详解】试题分析：（1）现将5=SL代入。-%）%=?可得9&♦二八上,=1,再展开,

两边同除以？丁一：即可证数列:为等差数列；（2）先由（1）可得数列行；的通项公式，进而可

得E｝的通项公式，再利用裂项法可得虫+色-&■-……--=^-7<1+7--7--71-进

a生4