2024年中考数学试题分类汇编：图形的旋转（31题）解析版

专题26图形的旋转（31题）

一、单选题

1.（2024.山东.中考真题）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心

对称图形的是（）

【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正

方形、长方形等等.常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.根据中心对称

图形与轴对称图形的概念，进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来

的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互

相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【详解】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意.

故选：D.

2.（2024.广东深圳•中考真题）下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（）

【答案】C

【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别.在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋

转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，

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所以不是中心对称图形，

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，

故选：C.

3.（2024.四川成都.中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点尸（1,-4）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（-1,-4）B.（—1,4）C.（1,4）D.（1,-4）

【答案】B

【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标.关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由

点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标.

【详解】解:点-4）关于原点对称的点的坐标为（T,4）；

故选：B.

4.（2024.吉林・中考真题）如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4,0）,点C的坐标为（0,2）.以Q4,OC

为边作矩形。4BC,若将矩形。钻C绕点。顺时针旋转90。，得到矩形OAB'C',则点8'的坐标为（）

♦>-

Af--产

彳----C

AOCfx

A.（T-2）B.（T,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】C

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到OA=4,OC=2,再

由矩形的性质可得AB=OC=2,ZABC=90°,由旋转的性质可得。A，=Q4=4,AB'=AB=2,

ZOAB'=90°,据此可得答案.

【详解】解：•••点A的坐标为（T,0）,点C的坐标为（0,2）,

OA=4,OC=2,

•..四边形。4BC是矩形，

AAB=OC=2,NABC=90°,

:将矩形。"C绕点。顺时针旋转90。，得到矩形OAB'C',

OA!=OA=4,AB'=AB=2,ZOAB'=90°,

：.A®。轴，

•••点右的坐标为（2,4）,

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故选：c.

5.（2024・江苏扬州•中考真题）在平面直角坐标系中，点尸（1,2）关于原点的对称点p的坐标是（）

A.(1,2)B.C.(1,-2)D.(-1,-2)

【答案】D

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标、纵坐标都变为相反数，即可得答案.

【详解】•••点尸（1,2）关于原点的对称点为P,

/.P的坐标为（-1,-2）,

故选D.

【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，其坐标特征为：横坐标、纵坐标都变为相反数.

6.（2024・四川自贡・中考真题）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）

巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦

图”说法正确的是（）

B.是中心对称图形

C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形

【答案】B

【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。,

如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答.

是中心对称图形，但不是轴对称图形

7.（2024.四川内江•中考真题）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创

的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”,

其中是中心对称图形的是（）

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【答案】D

【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.本题主要考

查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义.

【详解】解：A.不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故B选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故C选项不合题意；

D.是中心对称图形，故D选项合题意；

故选：D.

8.（2024.四川凉山.中考真题）点P（。,-3）关于原点对称的点是P（2,6）,则a+b的值是（）

A.1B.-1C.-5D.5

【答案】A

【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为

相反数可得。=-2,b=3,再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键.

【详解】解：•••点关于原点对称的点是P'（2,6）,

a=-2,b=3,

••a+b=-2+3=1,

故选：A.

9.（2024.山东烟台.中考真题）下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的

小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（）

【答案】A

【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键.分别画出各选项得出的左视图,

再判断即可.

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【详解】

,既是轴对称图形又是中心对称图形,故选项A符合题意;

,既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故选项B不符合题意;

,既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故选项C不符合题意;

,既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故选项D不符合题意;

10.（2024・广东广州•中考真题）下列图案中，点。为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影

部分的两个三角形关于点。对称的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键.根据对应点连线是否过点

。判断即可.

【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点。对称的是C,

故选：C.

11.（2024•天津•中考真题）如图，“ABC中，ZB=30,将ABC绕点C顺时针旋转60得到DEC,点4产

的对应点分别为RE,延长54交DE于点尸，下列结论一定正确的是（）

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8

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

【答案】D

【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性

质内容是解题的关键.先根据旋转性质得NBCE=NACD=60。，结合N8=30,即可得证3尸，CE,再根

据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC〃DE不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算

得出A和C选项是错误的.

【详解】解：记所与CE相交于一点〃，如图所示：

,/ABC中，将.ABC绕点C顺时针旋转60得到DEC,

：.NBCE=ZACD=60°

"?ZB=30°

.,.在BHC中,ZBHC=180°-ZBCE-ZB=90°

BFLCE

故D选项是正确的，符合题意；

设NAC"=x。

ZACB=60。—x°,

ZB=30°

：.ZEDC=ABAC=180°-30°-（60。-x。）=90°+x°

Z.Z.EDC+ZACD=90°+x°+60°=150。+x°

•.•尤。不一定等于30。

/EDC+NACD不一定等于180。

AC〃DE1不一定成立，

故B选项不正确，不符合题意；

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VZACB=60°-x°,ZACD=60°,x。不一定等于0。

Z.NACB=/ACD不一定成立，

故A选项不正确，不符合题意；

,/将ABC绕点C顺时针旋转60得到,DEC,

：.AB=ED=EF+FD

：.BA>EF

故C选项不正确，不符合题意；

故选：D

12.（2024・湖北.中考真题）平面坐标系无Oy中，点A的坐标为（-4,6）,将线段绕点。顺时针旋转90。,

C.(-4,-6)D.(-6,T)

【答案】B

【分析】本题考查坐标系下的旋转.过点A和点A分别作x轴的垂线，证明AC®-Q4'C（AAS）,得到

AC=OB=4,OC=AB=6,据此求解即可.

【详解】解：过点A和点A，分别作x轴的垂线，垂足分别为BC,

丁点A的坐标为（Y,6）,

.•.03=4,AB=6,

V将线段0A绕点。顺时针旋转90°得到OA,

AOA=OA,ZAOAr=90°,

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ZAOB=90°-ZA!OC=NCM'C,

..AOB^Q4'C(AAS),

AC=OB=4,OC=AB=6,

...点A，的坐标为（6,4）,

故选：B.

13.（2024.内蒙古赤峰.中考真题）如图，.ASC中，AB=BC=1,ZC=72°.将ABC绕点A顺时针旋转

得到△AB'C',点"与点B是对应点，点C'与点C是对应点.若点C'恰好落在8C边上，下列结论：①

[AZ?RR

点8在旋转过程中经过的路径长是二许②3幺〃BC；③=④瓦=诙.其中正确的结论是（）

C.①③④D.②④

【答案】A

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，三角

形内角和定理.根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求得各角的度数，再逐一判断各项，即可求解.

【详解】解：：AB=3C,ZC=72°,

:.NBAC=NC=72。，ZABC=180°-2ZC=36°,

由旋转的性质得ZABC=ZABC=36°,ZB'AC=ABAC=72°,ZAC'B'=NC=72°,ZAC'B'=ZADC=72°,

AC=AC,

：.ZAC'C=/C=72°,

ZCAC=36°,

：.NC4c'=NB4C'=36°,

ZB'AB=72°—36°=36°,

由旋转的性质得AB'=AB,

ZABB'=ZAB'B=1(180°-36°)=72°,

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B'A

①点3在旋转过程中经过的路径长是%二=，万；①说法正确;

lol)5

②..•4'AB=/ABC=36°,AB'A//BC；②说法正确；

③,/ZDC'B=180°-2x72°=36°,

ZDC'B=ZABC=36°,

:.BD=C'D；③说法正确；

④,/ZBB'D=ZABC=36°，ZB'BD=ABAC=72°,

公B'B*ABAC,

.ABB'B

1•777="777?•④说法正确;

ACDL)

综上，①②③④都是正确的,

故选：A.

14.(2024.四川内江・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点B,将二ABO绕点A逆

时针旋转到VAB"的位置，使点B的对应点区落在直线y=-夕上，再将VAB。绕点Bt逆时针旋转到

4

4瓦。2的位置，使点。I的对应点Q也落在直线y=上，如此下去，……，若点B的坐标为(0,3),则

点员7的坐标为().

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

【答案】C

【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点.找出点的坐标规律以

及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键.

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通过求出点A的坐标，AB.0A,。8的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后

结合图形求解即可.

【详解】A8J_y轴，点8的坐标为(0,3),

3

OB=3,则点A的纵坐标为3,代入y=

4

得：x=T,则点A的坐标为(-4,3).

.103=3,AB=4,

OA="+42=5,

由旋转可知，OB=0禺=O2B2=...=3,OA=A=02A=…=5,AB=AB{=AlBi=4与=…=4,

OB】=OA+AB[=4+5=9,用用=3+4+5=12,

/.=B3B5==B35B37=12,

（37-1）

OB37=04=9+'2'x12=225.

设点岛的坐标为］。，-j。），

贝IJOB?1=卜+a）=225，

3

解得a=-180或180（舍去），则--。=135,

4

•・.点用7的坐标为（-180,135）.

故选C.

15.（2024•北京・中考真题）如图，在菱形ABCD中，ZBAD=60°,。为对角线的交点.将菱形ABC。绕点。

逆时针旋转90。得到菱形AB'C'D,两个菱形的公共点为E,F,G,对八边形即B'GE归D'E给出下面

四个结论：

①该八边形各边长都相等；

②该八边形各内角都相等；

③点0到该八边形各顶点的距离都相等；

④点。到该八边形各边所在直线的距离都相等。

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

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A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【分析】根据菱形ABCD,ABAD=60°,则NBAO=ZDAO=30°,ZAOD=ZAOB=90°,结合旋转的性

质得到点4,。,3',。'一定在对角线4。,50上，且。D=00=05=08',=Q4'=OC=OC',继而得到

AD'=CD,ZD'AH=ZDC'H=30°,结合ZD'HA=ZDHC,继而得到‘AD'H^C'DH,可证DH=DH,

C'H=AH,同理可证。£=8£',跳7=3'£3'3=。6,证ABE=C'DH,继而得到£>”=5E,得到

DH=BE=D'H=IyE=BF=FB'=B'G=DG,可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平

分线的性质定理，得点0到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得

NEDH=120。,结合/。'0£>=90。，ZOIyH=ZODH=60°,得到NO'HD=150。，可判定②该八边形各

内角不相等；判定②错误，证D'OH^tDOH,进一步可得ODwOH,可判定点。到该八边形各顶点的

距离都相等错误即③错误，解答即可.

本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性

质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键.

【详解】向两方分别延长80,连接的，

根据菱形ABC。，ZBAD=60°,则NB4O=ND4O=30。，ZAOD=ZAOB=90°,

菱形ABCD绕点0逆时针旋转90。得到菱形ABCD,

.•.点A',D',8',C'一定在对角线AC,B£>上，S.OD=OD'=OB=OB',OA=OA=OC=OC,

：.AD'CD,ZD'AH=Z.DCH=30°,

'：ZD'HA=ZDHC,

.AD'H^CDH,

：.DH=DH,C'H=AH,同理可证。'石=323尸=3'尸,3'6=。6,

ZEA'B=NHC'D=30°,A!B=CD,ZA'BE=ZC'DH=120。，

A'BE，CDH,

：.DH=BE,

DH=BE=D'H=D'E=BF=FB'=B'G=DG,

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该八边形各边长都相等，

故①正确；

根据角的平分线的性质定理，得点。到该八边形各边所在直线的距离都相等,

•••④正确；

根据题意，得NED'H=120。,

ZD'OD=90°,NODH=ZODH=60°,

ZD'HD=150°,

该八边形各内角不相等；

②错误，

根据OD=OD',D'H=DH,OH=OH,

：.D'OH^DOH,

AD'HO=ZDHO=75°,

•••ZODH=60°,

故ODwOH,

点。到该八边形各顶点的距离都相等错误

.•.③错误，

故选B.

二、填空题

16.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，在RtaABC中，ZACB=90°,tanN8AC=：,BC=2,AD=1,

线段AD绕点A旋转，点2为（7。的中点，则的最大值是

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【答案】272+1

【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出BP取最大值时B、

P、M三点的位置关系.

取AC的中点跖连接PM、BM,利用解三角形求出=20，利用三角形中位线定理

推出=当AD在AC下方时，如果8、P、M三点共线，则BP有最大值.

22

【详解】解：取AC的中点连接PM、BM.

'：ZACB^90°,tanZ.BAC=—,BC-2,

2

=2」=4,

AC=———

tanABAC2

AM=CM=-AC=2,

2

•*-BM=VA/C2+BC2=722+22=2夜，

：尸、M分别是CD、AC的中点,

PM=-AD=-

22

如图，当在AC下方时，如果8、P、M三点共线，则有最大值,

故答案为：2A/2+—.

17.（2024・四川广安•中考真题）如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于点A,B,将AO3绕点A

逆时针方向旋转90。得到ACD,则点。的坐标为.

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【答案】（-3,1）

【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长DC交y轴

于点E,先求出点A和点8的坐标，再根据旋转的性质证明四边形Q4CE是正方形，进而求出。E和0E的

长度即可求解.

【详解】解：如图，延长DC交y轴于点E,

y=2x+2中，令x=0,贝l]y=2,令y=2x+2=0,解得％=-1,

A(-1,O),8(0,2),

OA=1,OB=2,

A03绕点A逆时针方向旋转90。得到ACD,

ZACD=ZAOB=ZOAC=90°,OA=OC=1,OB=CD=2,

四边形Q4CE是正方形.

CE=OE=OA=1,

：.DE=CD+CE=2+1=3,

..•点。的坐标为（-3,1）.

故答案为：（-3,1）.

18.（2024・吉林长春・中考真题）一块含30。角的直角三角板A3C按如图所示的方式摆放，边43与直线/重

合，A3=12cm.现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上，则点A经过的路径

长至少为cm.（结果保留万）

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A

【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键.

由旋转的性质可得/ABC=/A'3c=60。,即N/的=120°,再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心,

以为半径的圆弧的长即可解答.

【详解】解：：将该三角板绕点8顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上,

ZABC=ZABC=60°,即NA'54=120°,

120°・万•1020万

.•.点A经过的路径长至少为

180°3

故答案为：弩

19.（2024•江苏盐城・中考真题）如图，在ABC中，NACB=90。，AC=BC=2&，点。是AC的中点,

连接8。，将BCD绕点B旋转,得到一班下.连接CP,当CF〃AB时，CF=

【答案】2+76/76+2

【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌

握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键.

根据等腰直角三角形的性质可得AS,CD,BD,3尸的值，作3GLCF,根据平行线的性质可得BCG是

等腰直角三角形，可求出CG,3G的长，在直角3FG中，根据勾股定理可求出PG的长度，由此即可求

解.

【详解】解：：在4ABe中，ZACB=90°,AC=BC=2插,

ZG4S=ZCBA=45°,AB=-JiAC=4，

:点。是AC的中点,

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：.AD=CD=-AC=y/2,

2

在RtBCD中，BD=y]CD2+BC2=+倒勾2=M,

,­,将BCD绕点B旋转得到一BEF,

.BCD^BEF,

：•BD=BF=屈,EF=CD=6，BC=BE=2也,

如图所示，过BGLCF于点G,

,/CF//AB,

：.NFCB=NCBA=45。,

.8CG是等腰直角三角形，且BC=20，

•，.CG=BG=—BC=—x2-j2=2,

22

在RfBFG中,FG=《BF?-BG?=《回¥-2?=&,

CF=CG+FG=2+y/6,

故答案为：2+屈.

20.（2024•江苏苏州•中考真题）直线4：y=xT与无轴交于点A,将直线4绕点A逆时针旋转15。，得到直线

12,则直线乙对应的函数表达式是.

【答案】y=岛-6

【分析】根据题意可求得4与坐标轴的交点A和点8,可得ZOAB=NOBA=45°,结合旋转得到ZOAC=60°,

则/。04=30。，求得OC=6，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线4的解析式.

【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象4和旋转后的函数图象4,如图所示：

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设4与y轴的交点为点5,

令1=0,得》=-1；令y=。，即％=1,

.•.4(1,0),5(0,-1),

：.OA=1,03=1,

即ZOAB=ZOBA=45°

•••直线4绕点A逆时针旋转15。，得到直线4,

AZ（MC=60°,ZOCA=30°,

OC=OAxtan60°=&OA=色,

则点C（0,--），

设直线4的解析式为、=履+6,则

0=k+bk=>/3

<n，解得'i—>

-<3=b[Z?=-V3

那么，直线〃的解析式为y=

故答案为：y=A/SX-A/3.

【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数

解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长.

三、解答题

21.(2024・广东广州•中考真题)如图，Rt/XABC中,?B90?.

(1)尺规作图：作AC边上的中线2。(保留作图痕迹，不写作法);

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⑵在（1）所作的图中，将中线3。绕点。逆时针旋转180。得到。0,连接A£）,CD.求证：四边形A3CD

是矩形.

【答案】（1）作图见解析

（2）证明见解析

【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质;

（1）作出线段AC的垂直平分线EE交AC于点。，连接3。，则线段8。即为所求；

（2）先证明四边形71BCD为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论.

【详解】（1）解：如图，线段8。即为所求；

:由作图可得：AO=CO,由旋转可得：BO=DO,

四边形ABCD为平行四边形，

"?ZABC=90°,

四边形A5CD为矩形.

22.（2024・四川广安・中考真题）如图，矩形纸片的长为4,宽为3,矩形内已用虚线画出网格线，每个小

正方形的边长均为1,小正方形的顶点称为格点,现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片.请

在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线.

注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁；

②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况.

【答案】见解析

【分析】本题考查的是矩形的性质，全等图形的定义与性质，同时考查了学生实际的动手操作能力，根据

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全等图形的性质分别画出符合题意的图形即可.

,AC=3C,。为直线8C上任意一点,

连接AO.将线段AD绕点。按顺时针方向旋转90。得线段即，连接BE.

图1图2

【尝试发现】

(1)如图1,当点。在线段上时，线段BE与C£＞的数量关系为；

【类比探究】

(2)当点。在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与。的数量关系并证明;

【联系拓广】

(3)若AC=8C=1,CD=2,请直接写出sin/ECO的值.

【答案】(1)BE=yf2CD;(2)BE=y/2CD，补图及证明见解析；(3)sin/EC。=2叵或sin/ECD=2叵

135

【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键.

(1)过点E作延长线于点/,利用一线三垂直全等模型证明八^^△;砌E,再证明=

即可；

(2)同(1)中方法证明△ACC^AZWE,再证明=即可；

(3)分两种情况讨论：过点E作EMLCB延长线于点M,求出EM,CE即可.

【详解】解：(1)如图，过点E作延长线于点

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由旋转得AD=DE,ZADE=90°,

：.ZADC+NEDM=90°,

NACB=90。，

AZACD=ZDMEfZADC+NOW=90。，

・•・ZCAD=ZEDMf

：.^ACD^ADME,

；.CD=EM,AC=DM,

,:AC=BC,

：.BM=DM-BD=AC-BD=BC-BD=CD,

9

：EM±CBf

•*-BE=4iEM=&CD，

故答案为：BE=®CD:

(2)补全图形如图：

过点£作£加，3c交3c于点M,

由旋转得=ZADE=90°,

：.ZADC+ZEDM=90°,

・・•ZACB=90°,

AZACD=ZDME,ZADC-^ZCAD=90°,

：.ZCAD=ZEDM,

：.AACD^ADME,

；,CD=EM,AC=DM,

9：AC=BC,

：.BM=BC-CM=DM-CM=CD,

:・BM=EM,

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,/EMVCB,

BE=-J1EM=亚CD;

(3)如图，当。在CB的延长线上时，过点E作项于点连接CE,

由⑵得£>Af=AC=l,EM=CD=2,

：.CM=CD+DM=3,

CE=yJCM2+EM2=A/13，

22A/13

sinZEC£>=—

CE而一13

当。在2C的延长线上时，过点E作于点如图，连接CE,

同理可得：Z^ACE^ADME,

：.DM=AC=1,ME=CD=2,

：.CM=2-1=1,

,,CE=>/22+12=也,

EM_2_2y[5

sinZECD=

~CE~45~~T

综上：sinNECD=或sinZECD=

135

24.(2024.甘肃临夏•中考真题)根据背景素材，探索解决问题.

第21页共49页

平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形A5cDEF

背

六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨

景

在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里

素

得在其名著《几何原本》中详细阐述.

材1h

已

知

点C与坐标原点。重合，点。在x轴的正半轴上且坐标为（2,0）

条

件

操①分别以点C,。为圆心，长为半径作弧，两弧交于点P；

作②以点尸为圆心，PC长为半径作圆；

步③以CJ9的长为半径，在（P上顺次截取£）£■=£■尸=R4=AB；

Dx

骤④顺次连接£>E,EF,FA,AB,BC,得到正六边形ABCDEF.

问题解决

任

务根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）

任

务将正六边形ABCDE/绕点。顺时针旋转60。，直接写出此时点E所在位置的坐标：______.

【答案】任务一：见解析；任务二：（4,0）

【分析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质.利用数形结合的思想是解题关键.

任务一：根据操作步骤作出P,再根据弧、弦、圆心角的关系，分另U作出OE=EF=AF=A3=CD,即

得出DE=£F=E4=AB，最后顺次连接即可；

任务二：由旋转的性质可知DE'=OD=2,即得出OE=DE+OD=4,即此时点E所在位置的坐标为（4,0）.

【详解】解：任务一：如图，正六边形ABCDEF即为所作；

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•*.OE'=DE'+OD=4,

：.甘(4,0).

故答案为：(4,0).

25.(2024.黑龙江齐齐哈尔•中考真题)综合与实践：如图1,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周

髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如

图2,在3ABe中，NA=90。，将线段2C绕点8顺时针旋转90。得到线段50,作DE交A8的延长线

于点E.

(1)【观察感知】如图2,通过观察，线段与OE的数量关系是；

(2)【问题解决】如图3,连接并延长交A3的延长线于点/，若A5=2,AC=6,求一5。歹的面积;

(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交80于点N,则黑=;

oC

2

(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点尸，使tanNBCP=j,请直接写出线段A尸的长度.

【答案】(1)AB=DE

⑵10

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睢

,54Tl8

(4)7或行

【分析】⑴根据旋转的性质可得/C即=90,CB=BD,进而证明一ABC四_£DB（AAS）,即可求解；

（2）根据（1）的方法证明.ABC空£D3（AAS）,进而证明DEF^tCAF,求得EF=4,则所=10,然

后根据三角形的面积公式，即可求解.

（3）过点N作于点证明<ASCsMNB得出MN=^BM,证明EMN^-ECA,^BM=x,

54

则ME=8E-BN=6-x,代入比例式，得出尤=言，进而即可求解；

（4）当尸在B点的左侧时，过点尸作尸3c于点Q,当尸在8点的右侧时，过点尸作尸交CB的

延长线于点T,分别解直角三角形，即可求解.

【详解】（1）解：：将线段3C绕点8顺时针旋转90。得到线段3£>,作DELAB交43的延长线于点E.

C

\D

,［、—1：ZCBD=90°,

ABE

图2

.•.ZABC+/DBE=90。,

.\ZA=9Q°f

:.ZABC+ZACB=90,

，/DBE=ZACB,

又ZA=NDEB=90。且CB=RD

:.^ABC^EZ)B(AAS),

DE=AB；

(2)解：ZCBD=90°,

:.ZABC+NDBE=90°,

/.ZA=90°,

.\ZABC+ZACB=9Q,

:./DBE=ZACB,

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又ZA=/OE3=90。且CB=3。,

ABC^£DB（AAS）,

:.DE=AB,BE=AC

AB=2,AC=6

:.DE=2,BE=6

.0.AE=AB+BE=2+6=8,

/DEB+ZA=180°

DE//AC,

DEFs.CAF,

.DE_EF

,AC-E4

.2_EF

EF+8

:.EF=4,

.•.BF=BE+EF=6+4=10,

SBDF=；xl0x2=10；

（3）解：如图所示，过点N作NMLA尸于点M,

c

•；ZA=ZBMN=9。。,ZACB=900-ZABC=ZNBM

：.ABCS,.MNB

,BN_BMMN

，9lBC~~AC~~ABf

BNBMMN口口…

即nn---=----=----,即MN=—BM,

BC623

又,：MN〃AC

・•・EMN^.ECA

.ME_MN

•・而一就‘

^BM=x,贝（=,

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1

乙一九

6-尤3

8一6

54

解得：尤=、■

54

：.BNBM9■

BC~^C~^6~V3

（4）解：如图所示，当尸在8点的左侧时，过点尸作P。，3c于点。

VtanZBCP=-

3

，tanNBCP=^=2

设PQ=2a,贝l]CQ=3a,

CQ3

XVAC=6,AB=2,ZR4C=90°

sr£

AtanZABC=——=一=3,BC=A/22+62=2710

AB2

tanZPB2=—=3

BQ

：.BQ=^PQ=^a

BC=CQ+BQ=—a+3a=—a

：.—a=2y/10,

3

解得：

11

2

在Rt^PB。中，PQ=2a,BQ=^a

・••*师而=巩=也血"

7331111

4018

・•・AP=PB-AB=——2

11TT

如图所示，当尸在3点的右侧时，过点尸作PT,5c交CB的延长线于点T,

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D

AB^^PEF

T

•/ZABC=ZPBT,ZA=ZT=90°

NBPT=ZACB

4R1

VtanZACB=——=-

AC3

tanZBPT=—=tanZACB=-

PT3

设BT=b,则PT=3b,BP=Mb,

PT2

VtanZBCP=——=—,

CT3

・3b_2

**/7+2A/10-3

解得：6=生叵

7

/.BP=Mb=—

7

4054

AP=AB+BP=2+—=—

77

综上所述，A尸=弓或号.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质,

熟练掌握以上知识是解题的关键.

26.（2024•山东・中考真题）一副三角板分别记作一相。和”^砂，其中/ABC=/OEF=90°,ABAC=45°,

/EDF=30°,AC=DE.作3M_LAC于点A/,ENLDF于点、N,如图1.

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D

40

（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C,点A与点。

重合，将图2中的二绕C按顺时针方向旋转a后，延长交直线。歹于点尸.

①当a=30°时，如图3,求证：四边形CVPM为正方形;

②当30。＜o＜60。时，写出线段MP,DP,的数量关系，并证明；当60。＜0＜120。时，直接写出线段

MP,DP,CD的数量关系.

【答案】（1）证明见解析

⑵①证明见解析；②当30。＜夕＜60。时，线段MP,DP,CD的数量关系为“0+W=且；当60°＜a＜120。

CD2

时，线段MP,DP,CD的数量关系为“尸一“尸=且

CD2

【分析】（1）利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论；

（2）①证明/CVD=90°,ZDCN=90°-30°=60°,可得ZAQV=90。，证明NPMC=N3MC=90。，可得

四边形PMCN为矩形，结合BM=EN,即3A/=CN,

而3A1=C做，可得CM=C7V,从而可得结论；②如图，当30。＜口＜60。时，连接CP,证明,PMCgPNC,

可得PM=PN,结合ND=30。，可得DP