新高考物理二轮专题复习精练专题23 数学方法在物理解题中的应用（原卷版）

2023高考二轮复习二十专题专题二十三、数学方法在物理解题中的应用第一部分织网点睛，纲举目张高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实际上是将物理问题转化为数学问题，经过求解再还原为物理结论的过程。第二部分实战训练，高考真题演练1．（18分）（2022重庆高考）小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在SKIPIF1<0竖直平面内运动。虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为SKIPIF1<0（g为重力加速度），方向均与x轴负方向成SKIPIF1<0斜向上（x轴向右为正）。蛙位于y轴上M点处，SKIPIF1<0，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取SKIPIF1<0。（1）若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在SKIPIF1<0的高度捉住虫时，蛙与虫的水平位移大小之比为SKIPIF1<0，求蛙的最大跳出速率。（2）若蛙跳出的速率不大于（1）问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，虫能被捉住，求虫在x轴上飞出的位置范围。（3）若虫从某位置飞出后，蛙可选择在某时刻以某速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为SKIPIF1<0；蛙也可选择在另一时刻以同一速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为SKIPIF1<0。求满足上述条件的虫飞出的所有可能位置及蛙对应的跳出速率。第三部分思路归纳，内化方法物理解题过程中常用的数学方法主要有1．正弦定理：在如图甲所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等。即：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)2．余弦定理：在如图甲所示的三角形中，有如下三个表达式：a2＝b2＋c2－2bc·cosAb2＝a2＋c2－2ac·cosBc2＝a2＋b2－2ab·cosC3．三角形相似法：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，如图乙所示，两三角形相似，有：eq\f(OM,ON)＝eq\f(OP,OQ)＝eq\f(PM,NQ)[例3]表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个可视为质点的小球挂在定滑轮上，如图所示。两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为L1＝2.4R和L2＝2.5R，这两个小球的质量之比为eq\f(m1,m2)，小球与半球之间的压力之比为eq\f(FN1,FN2)，则以下说法正确的是()A.eq\f(m1,m2)＝eq\f(24,25) B.eq\f(m1,m2)＝eq\f(25,24)C.eq\f(FN1,FN2)＝eq\f(25,24) D.eq\f(FN1,FN2)＝eq\f(24,25)[解析]先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力m1g、绳子的拉力FT和半球的支持力FN1，作出受力分析图。由平衡条件得知，拉力FT和支持力FN1的合力与重力m1g大小相等、方向相反。设OO′＝h，根据三角形相似得eq\f(FT,L1)＝eq\f(FN1,R)＝eq\f(m1g,h)，解得m1g＝eq\f(FTh,L1)，FN1＝eq\f(FTR,L1)①同理，以右侧小球为研究对象，得：m2g＝eq\f(FTh,L2)，FN2＝eq\f(FTR,L2)，②由①②式得eq\f(m1,m2)＝eq\f(L2,L1)＝eq\f(25,24)，eq\f(FN1,FN2)＝eq\f(L2,L1)＝eq\f(25,24)。[答案]BC4三角函数法三角函数：y＝acosθ＋bsinθy＝acosθ＋bsinθ＝eq\r(a2＋b2)sin(θ＋α)，其中α＝arctaneq\f(a,b)。当θ＋α＝90°时，有极大值ymax＝eq\r(a2＋b2)。[例4]如图所示是一旅行箱，它既可以在地面上推着行走，也可以在地面上拉着行走。已知该旅行箱的总质量为15kg，一旅客用斜向上的拉力拉着旅行箱在水平地面上做匀速直线运动，若拉力的最小值为90N，此时拉力与水平方向间的夹角为θ，重力加速度大小为g＝10m/s2，sin37°＝0.6，旅行箱受到地面的阻力与其受到地面的支持力成正比，比值为μ，则()A．μ＝0.5，θ＝37° B．μ＝0.5，θ＝53°C．μ＝0.75，θ＝53° D．μ＝0.75，θ＝37°[解析]对旅行箱受力分析，如图所示，根据平衡条件，水平方向，有：Fcosθ－Ff＝0，竖直方向，有：FN＋Fsinθ－G＝0，其中：Ff＝μFN，故F＝eq\f(μG,cosθ＋μsinθ)，令μ＝tanα，则F＝eq\f(Gsinα,cosα－θ)；当α－θ＝0°时，F有最小值，故F＝Gsinα＝90N，故α＝37°，故μ＝tan37°＝0.75，θ＝37°，故选D。[答案]D5.二次函数法二次函数：y＝ax2＋bx＋c当x＝－eq\f(b,2a)时，有极值ym＝eq\f(4ac－b2,4a)(若二次项系数a＞0，y有极小值；若a＜0，y有极大值)。6.数学归纳法凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复。随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化。该类问题求解的基本思路为：(1)逐个分析开始的几个物理过程；(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)；(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解。7.数列法无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用。等差：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d(d为公差)。等比：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)，q≠1,na1，q＝1))(q为公比)。8.图像法根据题述情景画出相关图像进行定性分析或定量运算。9.矢量图解法第四部分最新模拟集萃，提升应试能力1.（2023宁夏银川一中第一次月考）如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端通过光滑的定滑轮与物体丙相连，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若β=55°，则（）

A.α>β B.α<β C.丙的质量小于甲的质量 D.丙的质量大于甲的质量2.（16分）（2023湖南名校联盟期中）如图所示，水平地面上固定两个相同的斜面SKIPIF1<0，斜面足够长且倾角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的距离为SKIPIF1<0，在其中点正上方有光滑水平轴SKIPIF1<0。一根长为SKIPIF1<0的轻质细绳一端固定在轴SKIPIF1<0上，另一端系一个质量为SKIPIF1<0的小球SKIPIF1<0，小球与地面接触但无相互作用。滑块SKIPIF1<0和小球SKIPIF1<0的质量相等，且均可视为质点，滑块与小球发生弹性正碰，若不计空气阻力和滑块经过SKIPIF1<0点处的机械能损失，重力加速度SKIPIF1<0取SKIPIF1<0。（1）若滑块SKIPIF1<0从SKIPIF1<0处由静止下滑，滑块SKIPIF1<0与水平面间的动摩擦因数为SKIPIF1<0，斜面SKIPIF1<0均光滑，求：①滑块SKIPIF1<0与小球SKIPIF1<0第一次碰后瞬间绳子对小球SKIPIF1<0的拉力大小；②滑块SKIPIF1<0与小球SKIPIF1<0碰撞后，小球在竖直平面内做圆周运动，求小球做完整圆周运动的次数。（2）若滑块SKIPIF1<0从SKIPIF1<0处由静止滑下，斜面SKIPIF1<0均粗糙，滑块SKIPIF1<0与斜面和水平面间的动摩擦因数均为SKIPIF1<0。求小球SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次做完整的圆周运动时在最低点的动能SKIPIF1<0的表达式。（要求除SKIPIF1<0外，其他物理量的数值需代入，写出关系式即可，不需要写出取值范围。）3．（2023四川遂宁零诊）如图所示，水平地面PQ上竖直平面内固定光滑轨道ABC，AB是半径为3R的弧形轨道，BC是半径为R的弧形轨道，两轨道在地面上的B点平滑对接。BC的圆心为O，BO竖直，AB的圆心在O点正上方，CO与竖直线夹角为θ。D点是C点关于过BO竖直线始终对称的点。一个质量为m的小球在轨道AB上从距PQ高h处静止释放。已知重力加速度为g。（1）小球经过B点前、后瞬时对轨道压力大小的变化量。（2）如果小球能够到达C点，求小球静止释放位置高h的最小值。（3）如果半径R确定，改变夹角为θ，并相应调整小球在AB轨道上静止释放的位置，以确保能依次通过C、D两点，求h的最小值。4.（2023湖南三湘创新发展联合起点考试）如图所示，有两足够长倾角均为SKIPIF1<0的粗糙斜面AB和CD均通过一小段平滑的圆弧与足够长的光滑水平面BC连接，小滑块a与斜面AB间的动摩擦因数SKIPIF1<0，小滑块b与斜面CD间的动摩擦因数SKIPIF1<0，小滑块a从斜面AB上的P点由静止开始下滑，一段时间后，与静止在水平面BC上的装有质量不计的弹簧的物块b发生第一次碰撞，之后弹簧储存的弹性势能的最大值SKIPIF1<0，已知小滑块a、b均可视为质点，质量均为SKIPIF1<0，小滑块a与弹簧碰撞过程中不损失机械能，且弹簧始终在弹性限度内，取重力加速度大小SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。求：（1）P点距水平面的高度h；（2）小滑块a与小滑块b第一次碰撞后，小滑块b沿CD斜面上滑的最大距离SKIPIF1<0；（3）小滑块b在斜面上运动的总路程SKIPIF1<0。

5.（2023重庆八中高三质检）如图所示，一倾角为SKIPIF1<0的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面底端固定一垂直于斜面的挡板，现将一质量为SKIPIF1<0的小滑块A从离挡板距离为18L处由静止释放：随后某一时刻，再将质量为SKIPIF1<0的小滑块B从斜面上的另一位置由静止释放；滑块A与挡板相撞反弹后向上运动到离挡板距离为SKIPIF1<0处与同速率下滑的滑块B发生弹性碰撞，碰后立即将滑块B取走。已知每次滑块A与挡板碰撞，碰后速率为碰前的SKIPIF1<0倍，两滑块和斜面之间的动摩擦因数SKIPIF1<0，重力加速度为SKIPIF1<0，两滑块均视为质点，不计各次碰撞时间。求：（1）滑块A第一次与挡板碰撞前的速度大小；（2）滑块A、B释放的时间差；（3）整个过程中滑块A与挡板碰撞损失的能量。6(2020·日照模拟)如图所示，两个质量分别为eq\r(3)m、m的小圆环A、B用不可伸长的细线连着，套在一个竖直固定的大圆环上，大圆环的圆心为O。系统平衡时，细线所对的圆心角为90°，大圆环和小圆环之间的摩擦力及细线的质量忽略不计，重力加速度大小用g表示，下列判断正确的是()A．小圆环A、B受到大圆环的支持力之比是eq\r(3)∶1B．小圆环A受到大圆环的支持力与竖直方向的夹角为15°C．细线与水平方向的夹角为30°D．细线的拉力大小为eq\f(\r(3),2)mg6如图，固定在竖直平面内的倾斜轨道AB，与水平固定光滑轨道BC相连，竖直墙壁CD高H＝0.2m，在地面上紧靠墙壁固定一个和CD等高，底边长L1＝0.3m的固定斜面。一个质量m＝0.1kg的小物块(视为质点)在轨道AB上从距离B点L2＝4m处由静止释放，从C点水平抛出，已知小物块与AB段轨道间的动摩擦因数为0.5，通过B点时无能量损失；AB段与水平面的夹角为37°。(空气阻力不计，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)求小物块运动到B点时的速度大小；(2)求小物块从C点抛出到击中斜面的时间；(3)改变小物块从轨道上释放的初位置，求小物块击中斜面时动能的最小值。7如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限内，存在以虚线OM为边界的匀强电场和匀强磁场。匀强电场方向沿y轴负方向，匀强磁场方向垂直于xOy平面向里，虚线OM与x轴负方向成45°角。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从坐标原点O处以初速度v0沿x轴正方向运动，粒子每次到达x轴将反弹，第一次反弹无能量损失，以后每次反弹水平分速度不变、竖直分速度大小均减为反弹前的eq\f(1,2)，方向相反。电场强度大小等于eq\f(mv02,16qd)，磁感应强度大小等于eq\f(mv0,qd)，求：(不计粒子重力，题中各物理量单位均为国际单位，计算结果可用分式表示)(1)带电粒子第三次经过OM时的坐标；(2)带电粒子第三次到达OM时经过的时间；(3)带电粒子从第二次进入电场开始，沿电场方向运动的总路程。8．(2020·银川模拟)如图所示，a、b两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接。已知b球质量为m，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦。当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为30°，Ob段绳沿竖直方向，则a球的质量为()A.eq\r(3)m B.eq\f(\r(3),3)mC.eq\f(\r(3),2)m D．2m．9.[多选](2020·临沂期末)如图所示，矩形线框abcd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与线框平面垂直，线框ab长为2L，bc长为L，MN为垂直于ab并可在ab和cd上自由滑动的金属杆，且杆与ab和cd接触良好，abcd和MN上单位长度的电阻皆为r。让MN从ad处开始以速度v向右匀速滑动，设MN与ad之间的距离为x(0≤x≤2L)，则在整个过程中()A．当x＝0时，MN中电流最小B．当x＝L时，MN中电流最小C．MN中电流的最小值为eq\f(2Bv,5r)D．MN中电流的最大值为eq\f(6Bv,11r)10．(2020·肇庆一模)如图(a)所示，一物体以一定的速度v0沿足够长的固定斜面向上运动，此物体在斜面上的最大位移与斜面倾角的关系如图(b)所示。设各种条件下，物体与斜面间的动摩擦因数不变，取g＝10m/s2。试求：(1)物体与斜面之间的动摩擦因数及物体的初速度大小；(2)θ为多大时，x值最小？求出x的最小值。11.在仰角α＝30°的雪坡上举行跳台滑雪比赛，如图所示。运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率不变而以与水平面成θ角的方向起跳。最后落在坡上B点，坡上OB两点距离为L。已知A点高于O点h＝50m，不计摩擦和阻力，则OB两点距离L最大值为多少米？此时起跳角为多大？12．如图所示，装置的左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量M＝2kg的小物块A；装置的中间是水平传送带，它与左右两边的水平面等高，并能平滑对接，传送带始终以v＝2m/s的速率逆时针转动。装置的右边是一光滑的曲面，质量m＝1kg的小物块B从其上距水平面h＝1.0m处由静止释放。已知物块B与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，传送带的长度l＝1.0m。设物块A、B之间发生的是对心弹性碰撞，第一次碰撞前物块A静止，g取10m/s2。(1)求物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小；(2)通过计算说明物块B与物块A第一次碰撞后能否运动到右边曲面上；(3)如果物块A、B每次