2024-2025学年人教版九年级数学上册专项复习：一元二次方程（压轴题）解析版

一元二次方程

(满分100)

学校:姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

评卷人得分

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分)

1.(22-23八年级下•浙江•开学考试)已知下面三个关于x的一元二次方程a/+/)%+。=o,bx2-hex+a=0,

c%2+Q%+6=o恰好有一个相同的实数根6,则a+b+c的值为()

A.0B.1C.3D.不确定

【思路点拨】

本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.把％=b代入3个方程得出

ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,ex2+ax+h=0,3个方程相加即可得出(a+b+c)(b2+Q+1)=0,即

可求出答案.

【解题过程】

把％=b代入a/+必+c=0,bx2+cx+a=0,ex2+ax+b=0得：

ab2+c=0,b-b2+cb+a=0,cb2+ab+6=0,

相加得：(a+b+c)b2+(b+c+a)b+(a+b+c)=0,

(a+b+c)(62+a+1)=0,

vb2+b+1=(b+J>0,

.,.a+b+c=0,

故选：A.

2.(23-24九年级上•福建泉州•期末)若％=2是关于％的一元二次方程%2—|ax—a2=0(a>0)的一个根，

下面对。的值估计正确的是()

1133

A.0<a<-B.-<a<1C.1<a<-D.-<a<2

【思路点拨】

本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程、实数大小估算等知识，利用公式法解关于a的方程

a2+5a—4-0是解题关键.将久=2代入方程始-|ax-a2-0(a>0)并整理，获得关于a的方程a2

+5a—4=0,然后估计a的大小即可.

【解题过程】

解：将x=2代入方程工2—|ax—a2=0(a>0),

可得22—|xax2—a2=0,

整理可得a?+5a—4=0,

解得q=-5±j52-4xlx(-jy_-5±V^I

1=一5-7^1-5+V^T

.•・。-2-，=-2-

va>0,

.-.a=

•••V36<V41<V49,即6<闻<7,

.-.1<-5+V41<2,

1>即9<a<l.

故选：B.

3.(23-24九年级下•浙江・自主招生)若方程好―3x—1=0的根也是方程一+52+以+。=0的根，则

a+b—2c的值为()

A.-13B.-9C.-5D.前三个答案都不对

【思路点拨】

本题主要考查了一元二次方程的解.设m是方程/-3x-l=0的一个根.根据方程解的意义知，m既满足

方程/—3x—1=0,也满足方程/+ax2+bx+c=0,将加代入这两个方程，并整理，得(9+a)m2+(6+b)

m+c+1=0.从而可知：方程/一3%—1=0的两根也是方程(9+砌好+(6+6)x+c+1=0的根，这两

个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关

系即可.

【解题过程】

解：设加是方程X2—3x—1=。的一个根，则加2—3m—1=0,

.-.m2=3m+1.

由题意得：冽也是方程%4+。%2+收+。=0的根,

.,.m4+am2+bm+c=0,

把瓶2—3m+1,代入得(3m+l)2+am2+bm+c=0,

整理得：(9+d)m2+(6+b)m+c+1=0.

・・・方程%2-3x-l=0的两根也是方程(9+a)x2+(6+/?)%+C+1=0的根,

・•・可设(9+a)x2+(6+b)x+c+1=k(x2—3x—1),

:.k=9+a,—3/c=6+b,—k=c+l,

=-3d-33,c=-ci—10,

•••a+b—2C=Q+(—3a—33)—2(—a—10)=—13.

故选:A.

6x—a之一10

4.（22-23九年级上•重庆璧山•期中）使得关于x的不等式组•_1+工％V_工1+三有且只有4个整数解，且

282

关于x的一元二次方程（a-5）%2+4%+1=0有实数根的所有整数a的值之和为（）

A.35B.30C.26D.21

【思路点拨】

先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值

范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可.

【解题过程】

解：整理不等式组得：

由①得：％NF，

由②得：x<4

•••不等式组有且只有4个整数解，

・•.不等式组的4个整数解是：3,2,1,0,

«-a—10)八

-1V-6~~W0,

解得：4<a<10,

v(a—5)x2+4%4-1=0有实数根,

.,・△=b2—4ac=16—4x(a—5)x1=36—4a>0,

解得：a<9,

・・・方程(a-5)/+4%+1=0是一元二次方程，

:•叶、

.,.4<a<9,且存5,

满足条件的整数有：6、7、8、9；

6+7+8+9=30，

故选：B.

5.(2024九年级•全国•竞赛)已知关于％的一元二次方程/—入+2k—1=0的两个实数根分别为打、小，

且君+虐=7,那么(X1—和)2的值为()

A.13或一11B.13C.-11D.11

【思路点拨】

本题主要考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，首先根据一元二次方程根与系

数的关系结合/+超=7求出k=—l,k=5,再根据根的判别式得出k=—1,从而得出Xi+x2--1,%1%2

=一3,再把01—冷)2变形为—％2)2=W+成一2%1犯，然后再代入计算即可.

【解题过程】

解：•.•一元二次方程%2-kx+2k-1=。的两个实数根分别为％1、%2>

・,・%]+%2=—(—fc)=k,%1%2=2fc—1,

又好+%2=(%1+x2)2—2%1%2=7,

.•.fc2-2(2/c-l)=7,

解得，ki=-1,k2=5,

又A=(—k)2-4xlx(2fc-l)=(fc-4)2-16,

当ki=-1时，△=(一1一4)2-16=9>0,

当七=5时，△=(5—4)2—16=—15<0,

;.k=—1,

=-3,

:.(%i—%2)2=%i+^2—2、I%2=7—2X(—3)=7+6=13.

故选：B

6.(23-24八年级下•安徽亳州•阶段练习)已知关于x的一元二次方程％2—(2m+1)%+租(血+1)=。(机

是常数)，若一个等腰三角形的一边长为6,另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为()

A.17或19B.15或17C.13或15D.17

【思路点拨】

本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用.熟练掌握一元

二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键.根据方程有两个实数根,

得到6是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可.

【解题过程】

解：•.•一元二次方程有两个实数根，

•••△=[—(2m+I)]2—4m(m+1)>0,

=4m2+4m+1—4m2—4m

=1>0；

•1•不管m去何值，方程/-(2m+1)%+m(m+1)=0都有两个不相等的实数根，

・•・一个等腰三角形的一边长为6,另两边长是该方程的两个实数根，

••.6是腰长，x-6是方程—(2m+l)x+m(m+1)=。的一个根，

.•,62—6(2m+1)+m(m+1)=0,整理，得：m2—11m+30=0,

解得：m=5或n?=6,

当爪=5时，x2-11x4-30=0,

解得—5,尤2=6,

此时等腰三角形的三边长：6,6,5,周长=6+6+5=17；

当m=6时，X2-13X+42=0,

解得=6,X2=7,

此时等腰三角形的三边长：6,6,7,周长=6+6+7=19.

故选：A.

7.(2024•浙江•模拟预测)如果关于x的一元二次方程a/+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外

一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.以下关于倍根方程的说法：①方程/一乂-2=0是倍根方

程；②若p,q满足pq=2,则关于x的方程p/+3x+q=0是倍根方程；③若(x—2)(mx+n)=0是倍根

方程，贝I]47n2+5mn+层=0,其中正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【思路点拨】

本题考查解一元二次方程，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问

题的关键.

①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；

②当0,q满足pq=2,贝如/+3x+q=(px+1)(%+q)=0,求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根

之间的关系，进而判断是否为倍根方程；

③根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到加、〃之间的关系，然后代入验证即可判断.

【解题过程】

解：①解方程/-%-2=0

(%—2)(%+1)=0,

—2=0或％+1=0,

解得，%i=2,%2=-1，得，W2%2，

・•・方程/一％_2=0不是倍根方程；

故①不正确；

②,:pq=2,贝！J：px2+3%+Q=(px+1)(%+q)=0,

1

=-7x2=.q，

2「

••功=-q=--=2%i，

因此是倍根方程，

故②正确；

③若(％—2)(zn%+九)=0是倍根方程，=2,

因此%2=1或％2=4,

当％2=1时，m+n=0,

当％2=4时，4m+n=0,

・••47n2+5mn+n2=(m+n)(4m+n)=0,

故③正确；

故选：C.

8.(23-24八年级下•浙江杭州•阶段练习)对于一元二次方程a/+c=0(aW0),下列说法：

①若a+b+c=0,则方程必有一根为％=1；

②若。是方程a%2+b%+C=。的一个根，则一定有QC+b+1=0成立；

③若+5%+c=0(aW0)两根为第1，%2且满足。汽2。0，则方程c%?+力％+a=0(c。0),必有实根

11

久1'%2'

④若%0是一元二次方程+bx+c=0的根，则拉-4ac=(2ax0+人尸其中正确的()

A.①②B.①④C.①③④D.①②③④

【思路点拨】

本题考查一元二次方程根的判断，根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除.

【解题过程】

解：①若a+b+c=O,则x=1是方程a/+以+c=0的解，故①正确；

②若c是方程a%2+bx+c-。的一个根，

.,.ac2+bc+c=0

・••当cW0时，有ac+b+1=0成立;，

故②不正确；

③•・•方程a/+fax+c=0(aW0)两根为犯且满足H久2。

=b2—4ac>0,

令％_-b+y/b2-4ac%_-b-7b2-4ac

2a2a

・•・方程c/+bx+a=0(cH0)有两个实数根，令两根分别为%],必

.丫，—-b+y/b2-4ac_r=_____L

__________-___________—1庐一4如一冷'

2a

-11

J2

XY，—-b--Jb-4ac_r=__L

2-----五—b+J/4ac—%],

2a

・,・方程c%2+bx+a=o(cW0),必有实根;，；，

、%2

故③正确；

④若％0是一元二次方程a%2+bx+c=0的根，

则由求根公式可得：比=%尹正，

2a

••­2ax0+b=±"2-4ac,

22

-b-4ac=(2ax0+b},

故④正确.

故正确的有①③④，

故选：C.

9.（22-23九年级下•重庆渝中•阶段练习）根据绝对值的定义可知因=｛）?%?），下列结论正确的个数

有（）

①化简|a|+\b\+|c|一共有8种不同的结果;

@|x+3|+|2—%|的最大值是5；

③若册=|3九一19|,S九=%+做■1----F册（九为正整数），贝IJ当S九=1327时，n=35；

④若关于光的方程卜2—=x+b有2个不同的解，其中6为常数，则一4<6<2或6>||

A.4个B.3个C.2个D.1个

【思路点拨】

由|可、网、|c|的结果分别有2种，则⑹+网+|c|的结果共有2X2X2=8种，可判断①；根据x的取值,

化简运算|x+3|+|2—制即可判断②；根据

【解题过程】

解：|小网、|c|的结果分别有2种，

•••|团+网+用的结果共有2*2*2=8种，

故①正确；

当x>2时，|x+3|+|2—久|=x+3+x—2=2久+1,

当0WxW2时，|x+3|+|2—幻=x+3+2—x=5,

当一3<%<0时，|%+3|+|2—x|=3—x+2—x=5—2x,

当x<—3时,|x+3|+|2—x\=—x—3+2—x=-2%—1,

故②错误；

71是正整数，

._(19—3n,l<n<6

。九=|3TI—191=13n-19,n>7

S6=16+13+10+7+4+1=51,

Sn=51+(2+329)(“-6),g7,

(2+3x359)x(356)

当n=35时，Sn=51+-^-=51+1276=1327,

故③正确；

I】/2—：*三―2或尤24

—28

TXTX---1z2IIQ,

13331——X+-x+-,—2<X<4

333

1228

---X+

当汽<—2或%>4时,/-3X-3

1258,

--x-o=n0,

・••方程有2个不同的解,

△=抉-4ac=（-|）2-4x|x>0,

解得：b>—'ll，

-1oo

当一2<%<4时，一E%2+-%+-=x+b,

・­#-%+；6=。，

・••方程有2个不同的解，

A=b2—4ac=（-1）-4x（—Jx（|一6）>0,

解得:b<^,

故④错误；

综上，正确的有①③，

故选：C.

10.（22-23八年级下•浙江绍兴•期末）空地上有一段长为a米的旧墙MN,利用旧墙和木栏围成一个矩形菜

园（如图1或图2）,已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S.下列说法错误的是（）

M/////N/M/////N

图1图2

A.若a=16,S=196,则有一种围法

B.若a=20,S=198,则有一种围法

C.若a=24,S=198,则有两种围法

D.若a=24,S=200,则有一种围法

【思路点拨】

分两种情况讨论:，图2围法，设矩形菜园垂直于墙的边为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方

程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案.

【解题过程】

解：设矩形菜园的宽为x米，则长为（40—2久）米，

:・S=%（40—2%）=—2x2+40%,

当a=16时，采用图1围法，则此时1220,

当5=196时,

—2/+40%=196,

解得：%!=10+V2,%2=10—V2,

此时都不符合题意,

采用图2围法，如图,

M〃〃/〃〃〃〃〃〃Nn

此时矩形菜园的宽为无米，即4B=CD=x,

则40+BC=40-2x+16,则BC=28-%,所以长为(28-%)米,

结合28-%>16可得0<%<12,

•••%(28—%)=196,

解得：=%2=14,经检验不符合题意，

综上：若a=16,S=196,,则没有围法，故A符合题意；

设矩形菜园的宽为x米，则长为(40—2x)米，

.-.S—x(40—2x)=—2x2+4Ox,

当a=20时，采用图1围法，则此时10Wx<20,

当S=198时，

—2/+40%=198,

解得：X]=11,%2=9,经检验X=11符合题意；

采用图2围法，如图，

M〃〃/〃〃〃〃〃〃Nn

此时矩形菜园的宽为X米，即4B=CD=x,

则力。+BC=40—2久+20,则BC=30-%,所以长为(30-乃米，

结合30-x>20可得0<%<10,

皿30-x)=198,

解得：X]=15+3V3,%2=15—3V3,经检验x=15—3V§■符合题意,

综上：若a=20,5=198,则有两种围法，故B不符合题意；

设矩形菜园的宽为x米，则长为(40—2x)米，

■■.S=x(40—2x)=-2x2+40%,

当a=20时，采用图1围法，则此时10Wx<20,

当S=198时,

—2%2+40%=198,

解得：%!=11,%2=9,经检验都符合题意；

采用图2围法，如图，

4______"〃〃/〃〃〃〃〃〃"口

B'-------------------------------------------」C

此时矩形菜园的宽为x米，即AB=CD=x,

则4。+BC=40—2x+24,则8c=32—x,所以长为(32-%)米,

结合32-%>24可得0<%<8,

•••x(32-x)=198,

解得：%!=16+V58,%2=16-V58,经检验都不符合题意，

若a=24,S=198,则有两种围法，C不符合题意，

设矩形菜园的宽为x米，则长为(40—2x)米，

..S=x(40—2%)=—2%2+4Ox,

当a=20时，采用图1围法，则此时10Sx<20,

当S=200时，

—2/+40%=200,

解得：xr=x2=10,经检验符合题意；

采用图2围法，如图，

4_______M〃〃/〃〃〃〃〃〃》口

B'------------------------------------------------------------C

此时矩形菜园的宽为x米，即AB=CD=X,

则AD+BC=40-2x+24,则BC=32-x,所以长为（32-%）米,

结合32-%>24可得0<x<8,

•••x（32—x）=200,

解得：=16+2V14,%2=16—2V14,经检验都不符合题意，

综上所述，若a=24,S=200,则有一种围法，D不符合题意；

故选A.

评卷人得分

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）

11.（23-24九年级上•四川凉山•阶段练习）已知关于x的一元二次方程机（x—h）2—k=0均为常数,

且zn*0）的解是孙=2,冷=5,则关于光的一元二次方程m（x-h+3）2=k的解是.

【思路点拨】

本题考查同解方程，涉及换元法，令x+3=y,由题意得到0—八）2=3的解为%=2）2=5,解方程即可

得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键.

【解题过程】

解：,*,关于%的一元二次方程血（x一九）2—攵=0均为常数，且mW0）的解是久1=2tx2=5,即

（X一%）2=♦的解为小=2,X2=5；

令％+3=y,

：•关于久的一元二次方程小（久—/i+3）2=々化为—h）2=k,

•・•（%—h）2=2的解为％i=2,%2=5,

•••（y—八）2=±的解为yi=2少2=5,即久+3=2或％+3=5,

=—L%2=2,

关于x的一元二次方程—h+3）2=k的解是Xi=-l,x2=2,

故答案为：%1=—1,%2=2.

12.（23-24九年级上•湖南岳阳•期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面

有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车.刹车后汽车滑行10米时用了秒.

【思路点拨】

本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系:

平均速度x时间=路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符.

【解题过程】

解：时速为108千米=30米/秒，

设紧急刹车后又滑行30米需要时间为无秒，

.30+0

则m^―•x=30,

解得：%=2.

平均每秒减速=（30—0）+2=15（米/秒）；

设刹车后汽车滑行10米时用了，秒，

依题意列方程：30+（3°~15t）-t=10,

解方程得逅，冷="笋＞2（不合题意，舍去），

即x=仁等，

故答案为：x=W逅.

13.（23-24九年级上•重庆江津•期末）如果关于x的一元二次方程/+4%+爪+2=0有实数根，且关于y

的分式方程若=5+言;有正整数解，那么符合条件的所有整数小的和为.

【思路点拨】

本题考查了一元二次方程根的判别式，解分式方程，利用一元二次方程根的判别式，得到关于小的一元一次

不等式，解之得到小的取值范围，解分式方程得到分式方程的解，再由分式方程有正整数解得到小的值，结

合加取值范围确定符合条件的所有整数小，将其相加即可求解，由一元二次方程和分式方程得到符合条件的

所有整数m是解题的关键.

【解题过程】

解：•・・关于％的一元二次方程%2+4%+TH+2=0有实数根，

•••△=16—4(m+2)>0,

解得m<2,

解分式方程黑=5+言;得，y=瑞(mW5),

,•・关于y的分式方程黑1=5+上有正整数解，

.,.5—m=1,2,3,6,9,18,

解得m=4,3,2,—1,—4,—13,

vy—3H0,

・・・卢.3,

.,.mW—1,

又,：m<2,

.•・符合条件的整数瓶有2,—4,-13,

.・・为2+(-4)+(—13)=—15,

故答案为：—15.

14.(23-24九年级上•湖南湘西•阶段练习)已知关于久的一元二次方程(2几—mri)x2+2(m—n)

x-2m+mn^0有两个相等的实数根，那么[+的值为.

【思路点拨】

本题考查了一元二次方程判别式，根据题意得抉—4ac=[2(zn—几)]2—4(2九—nm)(—27n+?7m)=0,整理

可得⑺+九/=nm(27i—nm+2m),两边同时除加小得gx黑%+H+去由3+5=今占通过换元

法即可求解.

【解题过程】

解：由题意得：b2—4ac=[2(m—n)]2—4(2n—mn)(—2m+mri)=0

化简得：0n—ri)2=mn(2—m)(n—2)

.,.(m+n)2—4mn=mn(2n—4—mn+2m)

(m+n)2—4mn=2mnz—4mn—m2n2+2m2n

(m+ri)2=2mn2—m2n2+2m2n

(m+n)2=mn(2n—mn+2m)

两边同时除m2n2得：空字=2—1+?

m2n2mn

两边同时除2得"x甯+六R3

m+n

令t

mn

.4X+|=-+工可转化为:Xt2+1=t,

2⑺m：2n呼22mn22

化简得：t2-2t+1=0,即(t—1)2=0,解得：t=1,

11m+n-

--1—=---=1,

mnmn

故答案为：1.

15.(23-24八年级下•浙江杭州•阶段练习)若关于x的一元二次方程(久一2)(久一3)=m有实数根卬%2,

且X1丰%2，有下列结论：

①巾N(

②若=1,则久2=4；

③关于x的方程(％—3)(%—4)=m的根为刀1—1,x2—1；

+m

④关于x的方程(x—xt)(x—x2)=0的根为2,3.

其中正确结论的有.

【思路点拨】

本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，理

解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代入原方程可判定②，结

合整体思想可判定③，利用根与系数的关系把(X—久1)。一％2)+巾=0变形，再解方程可判定④，从而可

得答案.

【解题过程】

解：①(X-2)(%-3)=巾化为一般形式为尤2—5%+6-m=0,

•.•原方程有实数根*1、X2,且％1力工2，

=b2—4ac—(—5)2—4(6—m)>0

解得：m>-p故①错误,

•・・关于％的一元二次方程(％-2)(%-3)=根有实数根%1、%2，

当久1=1,则m=2,

・•・方程为%?—5x+4=0,

解得：=1,%2=4,故②正确；

•・・关于x的一元二次方程(％—2)(%—3)=血有实数根%1，艾2,且％1工第2,

而(％—3)(%—4)=m可化为:[(%—1)—2][(%—1)—3]=m,

.,.X—1=%x，%—1=%2，

:X=X1+1或％=冷+L故③错误；

••,(%-2)(%-3)=血化为一般形式为/-5%+6-m=0,

••,原方程有实数根%1、%2,且巧#%2,

+%2=5,%1%2=6—m,

..,(%—%i)(%—%2)+优

=X2—(%]+%2)%1+6+%1%2

=x2—5x+m+6-m

=x2—5%+6,

.,.%2—5x+6=0,

解得：%=2或%=3,故④正确，

故答案为：②④

评卷人得分

三、解答题(本大题共8小题，满分55分)

16.(6分)(22-23八年级上•上海青浦•期末)解方程：

(1)V%+2—78—x—2；

(2)———--=1.

%2-2x-3x-3，

(3)2%2-3V2%2-1+1=0

【思路点拨】

(1)移项后两边平方得出％+2=4+4我=+8—求出％-5=2强=再方程两边平方得出久2

—10%+25=4(8—x),求出久，再进行检验即可；

(2)观察可得最简公分母是(x-3)(x+1),方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解;

(3)令£=，2*2一1,则2/_1-3V2*—1+2=0,代入原方程，得产—31+2=，所以=2,力2

=1,然后分两种情况分别解方程即可.

【解题过程】

(1)Vx+2—V8—%=2

解：移项得，V%+2=2+V8—x,

两边平方得，%+2=4+4V8-X+8-%,

合并同类项得，2x-10=4V8-%,

:.x—5=2、8—x,

两边平方得，%2-10%+25=4(8-%),

整理得，%2—6%-7=0,

•••(X+1)(%—7)=0,

解得：%1=—1,£2=7,

经检验，%1=-1,不是原方程的解，

二原方程的解为：X=7.

2x1

(2)1

%2—2x—3x—3

解：方程两边同时乘以(％—3)(%+1)得，2x—(x+1)=x2—2x—3

整理得，x2-3x-2=0,

解得,V_3±V32-4xlx(-2)_3±V17

A-----------------2----------------------2-----

3+V17.3-V17

-,.%!丁，冷1V=丁，

经检验，翅=巧豆，冷=三咨时，(x—3)(x+l)70,

•••原方程的根为：=当亘，%2=三咨.

(3)2x2-3V2%2-1+1=0

解：2/一1一3缶2—1+2=0

令t=V2x2-1,代入原方程得，产-3力+2=0,

•••(t-2)(力—1)=0,

解得：力1=2,以=1,

当匕=2时，V2%2—1=2,即：2%2—1=4,

二%2=|,解得：£1=一季,X2=季，

当12=1时，72x2—1=1,即：2/—1=1,

••.X2--1,解得：*3=-1，刀4=1，

经检验X],X2,%3，％4都为原方程的解

,,,原方程的解为：£1=—^^，x2—~~~>x3——1'*4=1.

17.(6分)(22-23九年级上•福建龙岩•阶段练习)已知关于x的方程(2m—1)^2一(2m+l)x+1=0.

(1)求证：不论小为何值，方程必有实数根；

(2)当小为整数时，方程是否有有理根？若有求出ni的值，若没有请说明理由.

【思路点拨】

(1)①当2巾—1=0时，方程为一元一次方程，即可求解；②当2m—140时，方程为二元一次方程，由

一元二次方程根的判别式：△>()时，方程有两个不相等的实数根；△=()时，方程有两个相等的实数根；

△<0时，方程有无的实数根；据此进行求解即可.

(2)①当2M一1=0时，即：m=|,即可求解；②当2m—1片0时，当m为整数时，假设方程有有理根,

则需满足:△=(2m-I)2+4是完全平方数,设(2m-I)2+4=层伽为整数),则有(2巾-1+n)(2m-1-n)

=-4,即可求解.

(2m—1+n=1—1+n=—1_n.C2m—1+n=2-^(2m—1+n=—2

’12m-l-n=-4^l2m-l-n=4^I2m-l-n=-2^l2m-l-n=2，

【解题过程】

(1)解：由题意得

①当2m—1=0时，即：m=|,

方程为一元一次方程：—2工+1=0,

此时方程必有实数根；

②当2zn—1W0时，即：m

此时方程为一元二次方程，

a=2m—l,b=—(2m+1),c=1,

.•・△=[—(2m+l)]2—4(2m—1)

=4m2—4m+5

=(2m—l)2+4,

(2m—l)2>0,

•••(2m—l)2+4>0,

•••A>0,

故不论小为何值，方程必有实数根；

综上所述：不论小为何值，方程必有实数根.

(2)解：当山为整数时，方程没有有理根，理由如下：

①当2m—1=0时，即：m=|,

方程为一元一次方程，方程有有理根，

"加为整数，

•••此情况不存在；

②当2爪一1芋0时，

当山为整数时，假设方程有有理根，

则需满足：△=(2m—1)2+4是完全平方数，

设(2m—I)2+4="(n为整数)，则有

(2m—1+n)(2m—1—n)=—4,

.f2m—1+n=1—1+n——12m—1+n=2-^[2m—1+n=—2

"12m—1—n=—4取I2m—1—n=4^I2m—1—n=—2或I2m—1—n=2'

解得：巾=一：或01=(,

此时与ni为整数矛盾，

二当山为整数时，方程没有有理根；

综上所述：当山为整数时，方程没有有理根.

18.(6分)(23-24八年级上•山东德州•阶段练习)阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快

速计算出1+2+3+…+100的值.我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1,2,3,…，n,...

的前几项和：

1+2+•••+71—1+n

由？！+n—1+…+2+1

(几+1)+(n+1)+■■■+(n+1)+(n+1)

可知1+2+3+…+n=*5

应用以上材料解决下面问题：

(1)有一个三角点阵(如图)，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n

行有n个点，….若该三角点阵前几行的点数和为325,求也的值.

(2)在第一问的三角点阵图形中，前n行的点数和能是900吗？如果能，求出心如果不能，说明理由.

(3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3,6,9,3n,前n行的点数和能是900吗?

如果能，求出心如果不能，说明理由.

【思路点拨】

(1)直接由所给公式列一元二次方程求解即可；

(2)由所给公式列方程整理后求解，根据"为正整数判断即可；

(3)根据题意列方程，提公因数3后利用所给公式和一元二次方程的解法求解即可.

【解题过程】

(1)解：根据题意，得1+2+3+...+n=妇等=325,

即话+n—650=0,

解得见=25,n2=-26(负值舍去)，

••.n的值为25；

(2)解：不能，理由为：

(n+)xn

由1+2+3+…+n=^=900得*+n_1800=0,

•­•△=1+4x1800=7201>0,

.m_-l±V7201

•.F为正整数，而是无理数，

•1•不存在n值，使前n行的点数和是900.

即在第一问的三角点阵图形中，前几行的点数不能是900；

（3）解：能，71=24,理由为：

由3+6+9+…+3n=900得3（1+2+3+…+71）=900,

则1+2+3+…+71==300,

•1•n2+n—600=0,

解得=24,n2=-25（负值舍去），

当几=24时，前71行的点数和是900.

19.（6分）（22-23八年级下•重庆北倍•期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各

施工6米.已知甲乙每天施工所需成本共108万元.因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每

合格完成1米的桥梁施工成本多2万元.

（1）分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；

（2）实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加7万元，且每天多挖5a.乙每合格完成1米隧

道施工成本增加，万元，且每天多挖和米.若最终每天实际总成本比计划多（24+^a）万元，求a的值.

【思路点拨】

（1）设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为0+2）万元，根据

题意列方程即可求解；

（2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解.

【解题过程】

（1）解：设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为。+2）万元，

•••6%+6（%+2）=108,解得，%=8,

・•・甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元.

（2）解：由（1）可知，甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万

元，

实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加为万元，则甲每合格完成1米实际成本为（10+

万元，且每天多挖击a,则甲每天实际完成量为6x（1+2。）=（6+米，乙每合格完成1米隧道施工成

本增加，万元，则乙每合格完成1米实际成本为（8+3a）万元，且每天多挖和米，则乙每天实际完成量为

（6+丁）米，终每天实际总成本比计划多（24a）万元，则最中每天的实际总成本为108+（24+=

(132+/a)万元，

■•.(10+1a)X(6+ia)+(8+1a)X(6+|cz)=132+ya,整理得，a2+12a—288=0,解得，肉

=12,a2=—24(不符合题意，舍去)，

・•.a的值为12.

20.(6分)(22-23九年级下•重庆沙坪坝•开学考试)正月十五是中华民族传统的节日一元宵节，家家挂

彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗.位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的

时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆

馅或300斤汤圆粉(每天只能生产其中一种).

(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤

圆？

(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕.据统计，每袋手

工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋.汤圆店

按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格

全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？

【思路点拨】

(1)设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；

(2)设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可.

【解题过程】

(1)设总共生产了a袋手工汤圆，

依题意得,鬻+繇=21

解得a=9000,

经检验a=9000是原方程的解，

答：总共生产了9000袋手工汤圆

(2)设促销时每袋应降价x元，

当刚好10天全部卖完时，

依题意得,225X2X(25-13)+8(25-13-x)(225+畀)=40500

整理得：%2-6%+45=0

A=62-4x45<0,

.•.方程无解

••.10天不能全部卖完

・•・第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为(15-13)

9000-2x225-8(225+等X)]=12600-600x

工依题意得,225x2x(25-13)+8(25-13-x)(225+y%)+12600-600x=40500

解得=1,%2=3

•••要促销

・,・%=3

即促销时每袋应降价3元.

21.(8分)(23-24九年级上•福建泉州•期中)阅读材料，解答问题：

已知实数小，也满足小2—爪—1=0,H2—n—1=0,且TH471,则TH,n是方程久？一%—1=0的两个不相等

的实数根，由根与系数的关系可知爪+72=1,mn=-1.

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

已知实数a,b满足：a2—5a+1=0,炉—56+1=0且a片b,则a+6=,ab=；

(2)间接应用：

已知实数小，n满足：2m2—7m+1=0,n2—7n+2-0,且nm大1,求；黑;的值•

(3)拓展应用：

已知实数p,q满足：p2-2p=3-t,1q2-q=*3—t)且pKq,求(q2+l)(2p+4—t)的取值范围.

【思路点拨】

本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用

(1)根据根与系数的关系即可求解；

___-1

(2)先验证mH0,再在2血2—7血+1=0两边同时除以血2,得藐,九是一元二次方程%2—7%+2=0的两个

不等实数根，求出5+n=75-n=2,变形代入即可；

(3)先根据题意得至如将是一元二次方程/-2%=3T的两个不等实数根，求出「+0=2汹=1—3代入

储2+l)(2p+4—t)化简，又因为p,q是方程/—2x=3—t的两个不等实数根，利用根与系数的关系即可求

解.

【解题过程】

解：（1）由题意得：a,b是方程/—5x+1=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知a+6=5,

ab=1；

解：(2)・.・把zn=0代入27n2—7m+1得1w0不合题意，

・•・znW0

/.2m2—7m+1=0两边同时除以TH2得—7^+2=0,

又r2—7n+2=0,且nmW1,

.•・可将Jn看作一元二次方程/—7x+2=0的两个不等实数根，

・•・利用根与系数的关系可得出5+几=7,一几=2,

：.mn+1=7m,n=2m,

.2mn+2_2(7mi+l)_2・7m_14

"mn+3n+l(77in+l)+3n7m+3-2m13*

解：(3)将方程界-q=|(3-t)两边同时乘以2得q2-2q=3-t,

又叩2—2p=3—t,且p*q,

二可将P，q看作一元二次方程好—2x=3—t的两个不等实数根，

・•・利用根与系数的关系可得出p+q=21Pq=t-3,q2=2q+3—t,

(q2+l)(2p+4—t)

=(2q+3—t+l)(2p+4-t)

=(2q+4—t)(2p+4—t)

=4Pq+8q—2qt+8p+16—4t—2pt—4t+t2

=4Pq+8(p+q)—2t(p+q)+16—8t+t2

=4(t—3)+8x2—2t,2+16—8t+/

=4t-12+16-4t+16-8t+t2

=t2-8C+20

=(t一守+4

•；P，q是方程好一2比=3—t的两个不等实数根，

-2)2-4(t-3)=4-4C+12=16-4t>0,

<4.

(t-4)2+4>4,

(q2+l)(2p+4—t)>4.

22.(8分)(23-24九年级上•江苏连云港•阶段练习)如图，矩形28CD中，AB=6cm,AD=2cm,动点P,

Q分别从点4