福建省福州市仓山区某中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（含答案）

福建省福州市仓山区时代华威中学2024-2025学年九年级上

学期数学开学考试模拟试卷

一.选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.下面的点中，在函数V=2x+3的图像上的是（）

A.（-2,1）B.（O,2）C.。，3）D.（-U）

2.如图，下列条件中，不能判定四边形N5CD是平行四边形的是（）

A.ZA=NC,ZB=ZDB.AB=CD,AD//BC

C.AB=CD,AD=BCD.Z^+ZS=180°,ZS+ZC=180°

3.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植

的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23,

24,23,25,26,23,25.则这组数据的众数和中位数分别是（）

A.24,25B.23,23C.23,24D.24,24

4.如图，在△/BC中，ZC=90°,AB=\0.若以点C为圆心，C4长为半径的圆恰好经过

4B的中点。，则。C的半径为（）

5.如图，将△NBC绕点A逆时针旋转66。，得到△/〃后,若点。在线段的延长线上，则

的大小是（）

试卷第1页，共6页

A.53°B.55°C.57°D.58°

6.如图，△/2C顶点/、B、C均在。。上,ZBAC+ZBOC=^°,贝!]/20C为()

A.56°B.60°C.62°D.28°

7.抛物线y=-(x+2『-3的顶点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为

主要表现.在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一

个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”.则关于x的方程为()

A.x+x(x+1)=256B.x2+x=256

C.l+x+x(x+l)=256D.(x+l)+(x+l)2=256

9.一次函数＞=ax+b的图象如图所示，则二次函数＞=41+为的图象大致是()

试卷第2页，共6页

D./

10.已知函数y=a/+2ax+l在-34x42上有最大值9,则常数a的值是（）

o8

A.1B.-C.一或-8D.1或-8

33

二.填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

11.将抛物线＞=/+1先向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，平移后的抛物

线的解析式为.

12.已知一元二次方程f-5x+机=0的一个根为玉=1,则另一个根无2的值为.

13.若点4（1-3加,2）与点8（5,2〃+4）关于原点对称，则机-〃=

14.设二次函数y-ax?+6x+c（a,b,c是常数，且awO）,如表，列出了x与y的部分对

15.如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深

CD=4cm,锯道48=16cm,则这根圆柱形木材的半径是cm.

16.如图，抛物线y=；x2-4x+6与夕轴交于点，，与x轴交于点8,线段CD在抛物线的

对称轴上移动（点。在点。下方），且8=3.当NQ+8C的值最小时，点C的坐标

为.

试卷第3页，共6页

▲

\K/

\\/f\：/

三.解答题(共9小题，满分86分)

17.解一元二次方程：

(1)2X2-3X-1=0

(2)(x+l)(x—2)=4

18.已知一次函数＞=丘+6的图象经过点(-1，1)和点。，-5).

⑴求一次函数的表达式.

(2)求一次函数的图象与x轴的交点坐标.

19.如图，4、B、C、。是。。上的四点，AB=DC.求证：AC=BD.

20.如图，在平面直角坐标系中，己知ZUBC的三个顶点坐标分别是^(-4,-1),

C(-3,-3).

试卷第4页，共6页

(1)将AABC向上平移5个单位后得到△44G,请画出△40G

(2)将AABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△4与。2，请画出"BG；

⑶判断以。，4，B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)

21.如图，在平行四边形4BCD中，过点。作。£1/2于点E,点尸在边CD上，DF=BE,

连接NRBF.

(1)求证：四边形3FDE是矩形；

(2)若AF平分4D4B,CF=3,BF=4,求。厂长.

22.关于x的一元二次方程x?-2(仅+1)尤+%2+2=0.

(1)若方程总有两个实数根，求心的取值范围；

(2)在(1)的条件下，若两个实数根X],X2满足玉+无2=再无2，求加的值.

23.经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单

价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌

玩具的销售单价为x元(x>40),销售量为了(件)，销售该品牌玩具获得利润为w元.

(1)销售量为歹与x关系式为「

试卷第5页，共6页

(2)若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元；

(3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,

求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

24.如图1,在中，4=90。，AB=AC,点、D、E分别在边/8、AC±,

AD=AE,连接。C,点M、P、N分别为DC、8c的中点.

⑴观察猜想：图1中，线段尸M与PN的数量关系是位置关系是_；

⑵探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接儿W,BD,CE,判断

APMN的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：把△/£>£绕点A在平面内自由旋转，若/。=2,48=4,直接写出APMN面

积的最大值.

25.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ox2+6x+4的对称轴是直线x=l,抛物线

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1所示，尸是第一象限抛物线上的一个动点，点。是抛物线对称轴与x轴的交点，

连接C。、CP、PB.求四边形尸CD8的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；

⑶如图2所示，在(2)的条件下，点M是直线8c上一点，当APOM是以。尸为腰的等腰

三角形时，请直接写出点M的坐标.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】本题考查了求一次函数的函数值.熟练掌握一次函数的函数值的求解是解题的关

键.

分别将各选项的点坐标代入，然后判断作答即可.

【详解】解：当x=-2时，y=2x(-2)+3=-l,则(-2,1)不在函数y=2x+3的图像上，故A

不符合要求；

当x=0时，＞=2x0+3=3,贝iJ(O,2)不在函数y=2x+3的图像上，故B不符合要求；

当x=l时，y=2xl+3=5,则(1,3)不在函数y=2x+3的图像上，故C不符合要求；

当x=-l时，尸2x(-1)+3=1,贝在函数y=2x+3的图像上，故D符合要求；

故选：D.

2.B

【分析】本题考查平行四边形的判定定理，平行线的判定等知识，由题中四个选项，结合平

行四边形的判定定理逐项验证即可得到答案,熟记平行四边形的判定定理是解决问题的关键.

【详解】解：A,-：AA=AC,NB=ND,

二四边形A8CD是平行四边形，该选项不符合题意；

B、由平行四边形的判定定理，AB=CD,AD//BC,无法确定四边形/BCD是平行四边形,

选项符合题意；

C、由平行四边形的判定定理，AB=CD,AD=BC,确定四边形/BCD是平行四边形，选项

不符合题意；

D、•••Zyl+ZS=180°,Z5+ZC=180°,

AD//BC,AB//CD,

四边形/BCD是平行四边形，该选项不符合题意；

故选：B.

3.C

【分析】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的关键.根据众数、

中位数的定义进行解答即可.

【详解】这组数据中，出现次数最多的是23,因此众数是23,

将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24,由此中位数是24.

答案第1页，共17页

故选c.

4.D

【分析】连接。，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得解.

【详解】解：连接CD,

•••zc=90°,48=10,。为48的中点，

.­.CD=-AB=5,

2

••.OC的半径为：5；

故选D.

【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线.熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半，是解题的关键.

5.C

【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识,

熟练掌握旋转的性质是解题关键.根据旋转的性质可得=4840=66°,然后根据

等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：：将绕点A逆时针旋转66。，得到

AB=AD,ABAD=66°,

NB=ZABD=1(180°-ABAD}=1(180°-66°)=57°.

故选：C.

6.A

【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解.

【详解】解：由圆周角定理可知：ZBAC=^ZBOC,

VZBAC+ZBOC=SA0,

13

-ZBOC+ZBOC=-ZBOC=84°,

22

解得/BOC=56。，

故选A.

7.C

【分析】本题考查了二次函数的性质，正确确定抛物线的顶点是解此题的关键.先确定抛物

线的顶点，再确定点的位置.

答案第2页，共17页

【详解】解：抛物线y=-(x+2『-3的顶点是(-2,-3),

故顶点在第三象限，

故选：C.

8.C

【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意,第一轮传染了x人,第二轮传染了x(x+l)

人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可.

【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人，

根据题意，得l+x+x(x+l)=256,

故选：C.

9.D

【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定。，6的符号是

解题关键.直接利用一次函数图象经过的象限得出。，6的符号，进而结合二次函数图象的

性质得出答案.

【详解】解：,•・一次函数>="+6的图象经过一、三、四象限，

：.a>0,b<Q,

--—>0,

2a

，二次函数y=ax2+fcc的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在N轴右侧，

故选：D.

10.D

【分析】由解析式可确定抛物线对称轴x=-l,对参数取值分类讨论，开口向上或开口向下,

分别在自变量取值范围内确定极值列方程求解.

【详解】解：•••二次函数解析式y=a/+2ax+l,

•••二次函数对称轴为x=-l.

①当a<0时，二次函数开口向下，x=T时，函数有最大值9.

-'-a—2a+l—9,解得a=—8.

②当。>0时，二次函数开口向上，在-34x42上有最大值9,

.,.当x=2时，函数最大值为9,即4a+4a+l=9,解得a=l.

综上分析，。的值为-8或1.

答案第3页，共17页

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质，注意根据二次函数性质对待定参数分类讨论是解题的关

键.

11.y=(x-6)2-7

【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律

“左加右减，上加下减”.

根据二次函数图象的平移规律即可得.

【详解】解：将抛物线y=/+l先向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度后，所

得的抛物线的解析式为y=(x-6)2+l-8,

y=(x-6)~-7,

故答案为：y=(x-6)2-7.

12.4

【分析】本题考查了根与系数的关系：若毛,%是一元二次方程办2+云+。=0(。*0)的两

bc

根时，Xj+x=——,王迎=—.先把国=1代入方程，-5%+优=0中，得出关于加的方程求

2aa

出机的值，然后再根据根与系数的关系得出另一个根赴的值.

【详解】解：把网=1代入方程/一5x+机=0中，

得：l2-5xl+m=0,

解得m=4,

•••方程化为5%+4=0,

，玉+%=5,

/.1+x2=5,

解得：x2=4,

故答案为：4.

13.5

【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征列方

程求出，冽，〃的值，然后在代入代数式求值即可.

答案第4页，共17页

【详解】解：,••点/(1-3私2)与点8(5,2〃+4)关于原点对称，

*1*1—3m=—5,2〃+4=-2,

解得：m=2,力=-3,

m—n=2—(—3)=5,

故答案为：5.

14.X]=0,x?=2

【分析】利用中对应值可判断点(-2,-1.5)与点(4,-1.5)为二次函数图象上的对称点，从

而得到抛物线的对称轴为直线x=l,然后利用抛物线的对称性得到加=2.5,所以方程

1

ax+bx+c-m的解为占=0,x2=2.

【详解】解：由表中对应值得二次函数图象经过点(-2,-1.5)和(4,-1.5),

.,.点(-2,-1.5)与点(4,-1.5)为二次函数图象上的对称点，

••・抛物线的对称轴为直线x=l,

•点(0,2.5)与(2,2.5)关于直线尤=1对称,

即x=2时，y=2.5,

■■■m=2.5,

2

二方程ax+bx+c=m的解为再=0,x2=2.

故答案为：再=0,x2=2,

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=«x2+"+c(a,6,c是常数，

a^O)与X轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性

质.

15.10

【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用.设圆心为O,连接依题得,

。为的中点，则三点共线，OD1AB,设圆的半径为x,由CD=4,则

OD^x-4,再用勾股定理列出等量关系求解即可.

【详解】解：如图，设圆心为。，连接04。。，

答案第5页，共17页

依题得，。为48的中点

则O,D,C三点共线，OD—B

设圆的半径为x,由。=4,则QD=x-4

•••/2=16

4D=、4B=8

2

在中，由勾股定理得

(X-4)2+82=/

解得尤=10.

故答案为：10.

16.(4,1)

【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解

析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关

键.

先将抛物线化为顶点式，可得该抛物线的对称轴是X=4；然后求出抛物线与V轴、X轴的交

点，即点A、点5、点尸；在y轴上取点E(o,3),连接CE,CF,EF,证明四边形/ECD

是平行四边形；当E、C、下三点共线时，/O+8C最小，求得直线所解析式：最后直线昉

经过对称轴x=4,代入即可得到答案.

11

【详解】解：y=-x2-4x+6=-(x-4)-9-2,

・•・对称轴为x=4,

如图，设抛物线与x轴另一个交点为足

答案第6页，共17页

▲

--YA

0\：/F

当X=O时，y=6,

.“（0,6）,

当y=0时，0=4工2一4%+6,

2

=

解得玉=2,x26,

.-.5（2,0）,尸（6,0）,

在歹轴上取点£（0,3）,连接CE,CF,EF,

AE=3=CD,

vCD//AE,

・•・四边形AECD是平行四边形，

AD=CE,

,•,抛物线对称轴为％=4,

BC=CF,

AD+BC=CE+CF>EF,

当E、C、/三点共线时，ZO+5C最小，

设直线EF解析式为y=kx+b,

]6左+b=0

'Ib=3'

k=--

解得2,

b=3

1「

・•・y=——x+3,

2

当％=4时，y=——x4+3=1,

2

.,•当4D+BC最小时，C的坐标为（4,1）.

答案第7页，共17页

故答案为：(4,1).

17/1、3+VlV3—y/17

17.(1)%=--—,%=---；

⑵无1=3,X2=-2

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法和因式分解法是解题的关键.

(1)用公式法求解；

(2)因式分解法求解.

【详解】(1)解：A=/)2-4flc=9+8=17,

3±V17

：•x=---------,

4

・,•原方程的解为：x1=3+^~^,x=-一^!12_,

1424

(2)解：(x+l)(x-2)=4

x2—x—2—4=0

x2-x-6=0

(x-3)(x+2)=0,

••・工一3=0或％+2=0,

解得x=3或x=-2,

・,•原方程的解为：玉=3,工2=-2.

18.(l)y=-3x-2

【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与x轴的交点坐标:

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)求出当歹=。时x的值即可得到答案.

一女+6=1

【详解】(1)解：把(-M)和(L-5)代入片去+b中得

k+b=-5

k=-3

解得

b=-2

答案第8页，共17页

・•・一次函数的表达式为y=-3x-2.

(2)解：在＞=—3x—2中，当歹时，贝。一3%—2=0,

2

解得片-丁

・•・一次函数的图象与X轴的交点坐标为，.

19.见解析

【分析】根据/8=DC,得出荔=也，求出就=丽，即可证明结论.

【详解】证明：•••48=。。，

■■AB=CD^

■■AB+BC=BC+Cb，

即元=访，

AC=BD.

【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握三个量关系定

理.

20.⑴见解析

(2)见解析

(3)等腰直角三角形

【分析】(1)分别作出/,B,C的对应点出，Bj,G,再连接即可.

(2)分别作出/,B,C的对应点出，B2,G即可.

(3)分别计算出04,08,48的长度，运用勾股定理逆定理进行判断即可.

【详解】(1)如图，△44C即为所求作；

答案第9页，共17页

理由：•••(942=12+42=17,052=12+42=17,4必=32+52=34,

22

.-.OA^+OB^AXB,A。=BO,

...ZUQB是等腰直角三角形.

【点睛】本题考查作图-中心对称变换，平移变换，等腰直角三角的判断，解题的关键是熟

练掌握基本知识.

21.(1)见详解；(2)5

【分析】(1)先求出四边形8EDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；

(2)根据勾股定理求出2c长，求出4D=D尸，即可得出答案.

【详解】(1)证明：•••四边形/BCD是平行四边形，

.­.ABWDC,

♦；DF=BE,

.•.四边形BFDE是平行四边形,

'.'DE1AB,

；/DEB=90。,

••・四边形8EDE是矩形；

(2)解：・四边形2EDE是矩形，

答案第10页，共17页

；ZBFD=9O。,

：/BFC=9。。,

在EdBC/中，CF=3,BF=4,

・・.5C=5,

•・//平分

^Z.DAF=Z-BAF,

-ABWC,

：.ZJ)FA=LBAF,

••・乙DAF=LDFA,

：.AD=DF,

♦:AD=BC,

：.DF=BC,

:・DF=5.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定

和性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.

22.(l)w>|

(2)加=2

【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元

二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和.

(1)由方程求出判别式A20即可.

(2)由一元二次方程根与系数的关系，用含机代数式表示两根之和及两根之积，进而求

解.

22

【详解】(1)解：A=[-2(7H+l)]-4(m+2)=8W7-4,

•••方程总有两个实数根，

8m-4>0,

/.m>—.

2

(2)由玉+%=玉%2'

答案第11页，共17页

2

vxx+x2=2(m+1),xxx2=m+2,

••・2(m+1)=m2+2,

整理得m2-2m=0，

解得g=0或加2=2,

1

2

/.m=2.

23.(1)^=1000-10%

(2)50元或80元

(3)8640元

【分析】(1)根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，可知销售单价为x元时，就

会少售出10(x-40)件玩具，进而表示出销量即可；

(2)结合(1)以及获得了10000元销售利润可得方程(》-30乂1000-10x)=10000,解方程

即可；

(3)B^W=(X-30)(1000-10^)=-10X2+1300X-30000,结合二次函数的性质分析，即可

解答.

【详解】(1)解：根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，

可知销售单价为x元时，就会少售出10"-40)件玩具，

贝IJ销量为丁=600—10(x-40)=1000-10x,

故答案为：y=1000-10x;

(2)依题意得：(x-30)(1000-10x)=10000,

化简得：x2-130x+4000=0,

(x-"50)(x-80)=0,

**(X]—50,%?=80,

vx>40,

销售价应定为50元或80元

答案第12页，共17页

(3)•••该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务

J1000-10x>540

二解得：44<x<46,

WW=(X-30)(1000-10X)=-10X2+1300X-30000,

,•,Q=-10<0,

•••开口向下，有最大值,

1300

=65,

2x(-10)

.•.当44VxV46时，w随x的增大而增大

x=46时，w最大

...%1ax=(46-30)(1000-460)=8640元

答：该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元

【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是

熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解.

24.Q)PM=PN,PM1PN

(2)APMN是等腰直角三角形

【分析】(1)根据三角形中位线定理得8。，PN=^BD,PM//CE,PM=；CE,

从而得出尸M=PN,PM1PN-

(2)首先利用SAS证明△48。之得ZABD=N4CE,BD=CE,再由(I)同理说

明结论成立；

(3)先判断出九W最大时，APMN的面积最大，进而求出/N,AM,即可得出MN最大

=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.

【详解】(1)解：..•点尸，N是BC,CD的中点，

:.PN\\BD,PN=-BD,

2

•••点P,M是CD,DE的中点，

答案第13页，共17页

PM||CE,PM=-CE,

2

vAB=AC,AD=AE,

BD=CE,

:.PM=PN,

•・•PN\\BD,

/DPN=/ADC,

•・•PM||CE,

ZDPM=/DCA,

・・・ZBAC=90°f

ZADC+ZACD=90°,

/MPN=ZDPM+ZDPN=/DCA+ZADC=90°,

PMLPN,

故答案为：PM=PN,PMVPN•

（2）解：是等腰直角三角形.

理由如下：由旋转知，/BAD=/CAE,

VAB=AC,AD=AE,

/△ZCE（SAS）,

ZABD=ZACE,BD=CE,

利用三角形的中位线得，PN=；BD,PM=gcE,

PM=PN,

.•.△PW是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

ZDPM=ZDCE,

同（1）的方法得，PN//BD,

乙PNC=ZDBC,

•・•/DPN=ZDCB+APNC=ZDCB+ZDBC,

/MPN=ZDPM+NDPN=ZDCE+/DCB+ZDBC=NBCE+ZDBC=NACB+NACE+ZDBC=NACB+/ABD+ZDBC=N

•・•ABAC=90°,

答案第14页，共17页

.-.ZACB+ZABC=90°,

ZMPN=90°,

:ZMN是等腰直角三角形；

(3)解：如图，同(2)的方法得，APMN是等腰直角三角形，连接

■:MN<AM+AN,

当点三点共线时，MN最大,

.〔MN最大时，APAW的面积最大,

MN最大=AM+AN,

在△/£>£中，AD=AE=2,NDAE=9Q°,

•••由勾股定理得：DE=42AD=2>/2