2024年山东省枣庄市高三年级上册期末考试数学试题试题及答案

参照秘密级管理支启用前试卷类型：A

2023-2024学年第一学期高三质量检测

高三数学

2024.01

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合A=<<2>,3={x|y=lg(x+l)},则()

A.0C.(-l,+<x>)D.(-oo,-l)U(-l,l)

2.若z是方程必+》+1=0的一个虚数根，则z2—彳=()

A.0B.-lC，V3iD.-1或拘

3.已知ABC的两个顶点的坐标分别是(-1,0),(1,0),且AC所在直线的斜率之积等于

7”(加合0),则()

A.当初<0时，顶点C的轨迹是焦点在X轴上的椭圆，并除去(-1,0),(1,0)两点

B.当机<0时，顶点。的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，并除去(-1,0),(1,0)两点

C.当机>0时，顶点。的轨迹是焦点在X轴上的双曲线，并除去(-1,0),(1,0)两点

D.当机>0时，顶点。的轨迹是焦点在y轴上的双曲线，并除去(-1,o),(L0)两点

4.已知圆G：(x+l)2+(y+l)2=1,圆+—4y—1=0,则两圆的公切线条数为()

A.lB.2C.3D.4

5.E^/(x)=2cos2x+Gsin2x,xe(0,27i),则/(x)的零点之和为()

A.-7tB.—7tC.—7tD.10兀

333

6.翼云机场将于2025年通航，初期将开通向北至沈阳、哈尔滨；向南至昆明、深圳；向西至兰州、银川的六条

航线.甲、乙、丙、丁、戊、己6人各选择一条不同航线体验.已知甲不去沈阳、哈尔滨，乙和丙乘坐同一方向的航

班.则不同的体验方案有（）

A.56种B.72种C.96种D.144种

7.已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3,高为2.用一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何

体体积相等，则截面与上底面的距离为（）

33所

A.-B.*C而D.V14-1

22

122

8.斜率为-7的直线/分别与％轴，y轴交于M,N两点，且与椭圆j+[=i（a〉6〉o）,在第一象限交于

2a2b2

A8两点，且=则该椭圆的离心率为（）

6R逐r④nJ.

-------D,--------------1-J•

2322

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9一组数据%,%2，%3，，%0满足%-％=2（2知10）,若去掉%,与后组成一组新数据.则新数据与原数据相

比（）

A.极差变小B.平均数变大C.方差变小D.第25百分位数变小

10.设初=（一1,3）,麓=。,2）,则（）

A.|m-2n|=10

C.若（加—2"）〃（加+〃），则左=-g

D.”在由上的投影向量为工阳

2

11.如图，在正三棱柱A3C—4与。1中，A4,=AB=4,。是棱CG上任一点，则（）

A.正三棱柱ABC-的表面积为48+85A

B.三棱锥A-ABD的体积为竺且

3

c.48。周长的最小值为80+4

D.三棱锥4-ABD外接球的表面积最小值为华

12.己知定义在R上的连续函数〃x),其导函数为/'(%),且〃O)=e"g]=l,函数y=/(x+£|为

奇函数，当x〉g时/,则()

A./(l)=eB./(2)>e2

01

C.*oeR,/(x0)<lD./(e)>f(-lnl.1)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2x-l

13.曲线y=—在点(1,%)处的切线方程为.

14.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S"，若。]=_104一5=1,贝"10=.

15.已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为O,AB为底面直径，ZAPB=120，点C为底面圆周上的一个动点,

当二PAC的面积取得最大值时，sin/AOC=.

16.0为坐标原点，R为抛物线C:r=8y的焦点，过。上的动点M(不为原点)作C的切线/,作

ON工1于点、N,直线"歹与ON交于点A,点5(、后,0),贝必理的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

已知数列｛4｝中，6=1,〃2%+1=(〃+1)2%.

(1)求你;

.n+15

(2)设d=，求证：b,+b1++b<—.

4.限~16

18.(12分)

如图，直四棱柱ABC。-的底面为平行四边形，M,N分别为A3,£>2的中点.

(1)证明：DM〃平面43N；

(2)若底面ABCD为矩形，AB=2AD=4,异面直线DM与AN所成角的余弦值为平，求用到平面

ABN的距离.

19.(12分)

现有甲，乙两个训练场地可供某滑雪运动员选择使用.已知该运动员选择甲，乙场地的规律是：第一次随机选

3

择一个场地进行训练.若前一次选择甲场地，那么下次选择甲场地的概率为《；若前一次选择乙场地，那么下

次选择甲场地的概率为g.

(1)设该运动员前两次训练选择甲场地次数为X,求E(x)；

(2)若该运动员第二次训练选了甲场地，试分析该运动员第一次去哪个场地的可能性更大，并说明理由.

20.(12分)

在ABC中，角AS。所对的边分别为。，瓦。.若2〃+Z?cosA-c=btan8sinA.

(1)求B；

sin/\+sin/?

(2)若A3C为锐角三角形，求----------的取值范围.

sinC

21.(12分)

已知函数/(X)=炉-ax+cAnx.aGR.

⑴若/(X)是增函数，求。的取值范围;

（2）若y（x）有两个极值点看,％2,且/（玉）+/（々）＜2（%+%2）恒成立，求实数几的取值范围.

22.（12分）

已知双曲线C的渐近线方程为Gx土y=0,过右焦点尸（2,0）且斜率为上的直线/与C相交于A,B两点.

（1）求C的方程；

（2）①若5点关于左轴的对称点为E,求证直线AE恒过定点并求出点M的坐标；

②若左..3,求AEF面积的最大值.

18.(1)解法1：证明：连接AB】，交于点E,连接

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NE,ME,

则E为A】B的中点，

数学参考答案及评分标准因为M为AB的中点，

所以ME〃AAi,且ME=£AA],..........................1分

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.

因为为的中点，

1〜4BACD5〜8CCDANDDi

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目所以DN〃AAI.DN=/AAI,.................................................................................2分

要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

所以ME〃DN,且ME=DN,

9.AC10.BCD11.ABD12,ABD

所以四边形EMDN为平行四边形，

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

所以EN〃DM,........................................................................................................3分

13.ex—y—014.—1015.16.[1,5]又因为DMU平面AiBN.ENU平面ABN,

所以DM〃平面A/N..............................................................................................4分

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

解法2：取AAi中点为E,连接ED,EM,

17.解：(1)解法1：由题意，得VzzGN*g#0.

因为E为AAi的中点,N为DDi的中点，

所以AiE〃DN,且4E=DN,

an

所以四边形AiEDN为平行四边形，

an。〃一1Q〃一2a302

当时,an---•--------------•一•<21

a”-1CLn—23a?CL1所以DE〃AjN.

=.（%-1）2.（^-2）23222又因为DEU平面AiBN,AiNU平面AiBN,

（n一1）2一2）2（n—3）222I2所以DE〃平面A]N...............................................1分

=n2....................................................................................................4分因为M为AB的中点，所以

又即符合所以分

VzzGN'a.nM.......................................................5又因为EMU平面AjBN,AiBU平面AiBN,

解法2：由题意，得七k=号，故｛勿为常数列...........................3分所以EM〃平面AIN..............................................................................................2分

5十。nn又因为EMU平面DEM,DEU平面DEM,EMCDE=E,

1所以平面〃平面分

,=（；1］）2-“=芯=1，故。”=/.....................................5分DEMAiBN..................................................................................3

又因为DMU平面DEM,

（2也=/,二："+2="2：（［+2）2=4［滔一（”+2）三........................分

7所以DM〃平面AiBN..............................................................................................4分

⑵解：由题意知,AB,AD,AAj两两垂直，以A为坐

故/+仇+…+/>“=；［（；T）+（U+（//+…+（7^?一,）

标原点，分别以AB,AD,AAI所在直线为z轴、y

轴、2轴建立如图所示的空间直角坐标系.

<6—1）2（n+l）2;n25+2）2，」

设AAi=2力G>0),则B(4,0,0)*D(0,2,0),

1r,111n八

=Z11+—一（"+1）2—7+2）21..............................................9分A1(0,0,2z),M(2,0,0),N(0,2,;),

5Bi(4,02?)9DM=(2,—2,0),A]N=(0,2,—t).

10分?

16,.............................................................................5分

高三数学试题答案第1页(共7页)高三数学试题答案第2页(共7页)

设异面直线DM与AiN所成角为心则———13——1

则A,与A,对立,P(A*P⑷)=5产如即二,P(A")二.

——।|DM•AiN|

C=1C°S<IWHNA=|D诟..前(1)依题意.X=0,l,2......................................................................................................1分

_______________________119

__________一4|__________P(X=0)=P(AiA2)=P(Ai)P(A2|AI)=-7-X(1—)=—...........................2分

/559

722+(-2)2•722+(-«)2

P(X=1)=P(AAUAA)=P(AA)+P(AA)

42_71012121212

-yi+F-5=P（A1）P（A；|A1）+P（A7）P（A2|A7）

13、I113

解得1=1,.........................................................................................................................7分-Xz(l--)+-X-=-.3分

故A1(0,0,2),N(0,2,1),凡(4,0,2),

133

则而=三苴-PCX—2)—P(AiA2)—P(Ai)P(A21Ai)——X~.........................................4分

A(4,0,—2),Ai=(0,2,—1),8=(0,0,2)Z510

解法1：设平面41的7的一个法向量为"=（z,y,z）,2339

所以E(X)=0X=+l义诏+2乂行=诏.................................6分

Bi到平面AiBN的距离为d.5101010

(2)第一次选择甲场地的概率更大.........................................7分

AiB•n=0,4久一2z=0,

所以•一即一取N=2,

P(A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A])

AjN•n=0,2y~z=09

得〃=(1,1,2)..................................................................................................................9分

b,、，，-n|OX1+OX1+2X2|42痣

所以d=-----o-----=-------,,..----=—=—,

«iyi2+i2+22763?XT3

P(A]A2)P(A1)P(A2|A1)

所以P(A]|A2)==10分

P(A2)P(A2)=27

即B1到平面A1BN的距离为士.......................................12分5

解法2：设氏到平面ABN的距离为d,则|AiM=，3阡两彳=17=,联|xl

P(A]A2)P(AI)P(AZ|AI)

222P(AiIA2)—11分

IBN|=74-+2+F=^/21,|AjB|=74+2=275.P(A2)P（A2）2I

5

AtB'^+B^-A.N2(2斯')2+(应>一(痣尸—9

所以cos/AjBN8分

2AiB•BN31

2X275X/21/L05因为所以该运动员第一次选择甲场地的可能性更大................12分

所以sin/AiBN=，l—cos^NAiBN........................................................9分20.(1)因为2a+6cosA—c=6tanBsinA,整理得

/105

2a一cn.AAsinBsinA一cosAcosBcos(A+B)cosC.

：—=tanBsinA-cosA=----------------------------=------------------=-----................3分

所以SMBN="IB•BN・sin/AiBN=4><2而X0xS^=2痣……10分bcos右cosBcosB

1

227105所以2acosB-c,cosB=6cosC,................................................................................4分

又因为VBJ-AJBN=VV—A[BJB,即WX2西Xh=——X2X4X2由正弦定理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA...............5分

1兀

解得力=可因为OCACTC,0VB〈n,所以sinAW0,cosB=],所以B=§............................6分

⑵因为AABC为锐角三角形,B=g,所以0«＜5，且0＜宁一。＜吟,

所以Bi到平面AiBN的距离为等.....................................

12分

所以ce/1）.............................................................................................................7分

19.解:设4,="第i次去甲场地训I练”，工="第i次去乙场地训练”,£=1,2.

高三数学试题答案第3页（共7页）高三数学试题答案第4页（共7页）

a?T2c］于一I—（~1

smA+sinB斜(。十三)+sin?y（2）由（1）知/’（久）=2N-a-\=----------------（久＞0）,

cosC+1xx

解法L+8分

sinCsinC2sinC1因为“1）有两个极值点为耳，比2，

c??2—0丁-I-zi

2cos2-所以小）=------------=0在（0,+oo）上有两个不同的根,

/3

+

.CC¥此时方程2——在（0,+oo）上有两个不同的根.....................6分

2nsm—cos—

则△=/—8”〉0,且I1+12=2＞0,71•久2=万＞0，

^c+l

10分解得a〉8..........................................................................................................................7分

tan^若不等式/（久1）+/（尤2）＜/（11+%2）恒成立，

因为ce（K），所以"fe脸T）,tan?e（2•-西,I）,

因为/(J；I)+/(12)=x\_-ax\-\-a\xix\-\~JC2—ctxi+alnj：2

所以,•—G(-^^—,2+73)=aln(Rii2)—Q(久i+久2)+(力彳+其?)

()(小)(：)2；

tan—=alnRi%2—a+12+[11+J2—2JI

_ia12八

=a\n-------a—a.....................................................................9分

sinA+sinB/o__|_1_

即的取值范围是（一2—，2+73）.12分

sinC(2In-------a2—a1

设九(a)=----------------------=21n-------a-2(a>8).............................................10分

sinA+sinBsin(C+,+sin1偌a乙乙

cosC+11

解法2：+78分

sinCsinC2sinC914一a

则，(a)=------G=F—,因为a>8,所以，(a)<0,

(cosC+1)212।1acLa

--------------1—10分

21—cos2C21-cosC2所以4(a)在(8,+oo)上递减，所以/i(a)<4(8)=41n2—6,

所以人>41n2—6,

因为所以coscee,弓），得24

--------e(2,-即实数;I的取值范围为［41n2—6,+oo）.12分

1—cosCF2—73

2~2

22.解：（1）设双曲线C的方程为7—77=1,a>0,6〉0

十兵—2+回‘A"

1-cosCZ/—=/q

由题意知，。，..................................................2分

rrsinA+sinB,a—n,偌+1,「

即sinC的取值氾围是(^，2+①)12分■+62=4

解得<2=1,6=而.

2K之一ax~\-a/、、

21.解：(1)由题意/'Cr)=2z—a+/=----------(。0).分y2

1所以C的方程为72—，=1..........................................................................................3分

因为函数”无）在其定义域上单调递增,(2)①直线I的方程为y=k(%—2),设A(ii,/1),夙力2”2)方力1为12),则E(R2,1名).

所以2——ax+Q>0(R〉0).分2

2(2y

由，x------=1，消、得：(右一久久+

设g（］）=2j：2—QR+Q（久〉0）,33)2—442