湘潭市重点中学2025届高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

湘潭市重点中学2025届高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知点位于第二象限，那么角所在的象限是A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，(其中为的前n项和).则A.3 B.C. D.23．已知函数，则（）A. B.C. D.14．已知，，则A. B.C. D.5．函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（）A. B.C. D.6．函数的零点所在的区间（）A. B.C. D.7．已知函数且，则实数的范围（）A. B.C. D.8．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度9．是第四象限角，，则等于A. B.C. D.10．设集合，则集合的元素个数为（）A.0 B.1C.2 D.3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为______.12．已知圆：,为圆上一点,、、,则的最大值为______.13．已知函数则_______.14．已知函数，则当_______时，函数取得最小值为_________.15．设函数是定义在上的奇函数，且，则___________16．设函数，若实数满足，且，则的取值范围是_______________________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数是上的偶函数，且当时，.（1）求的值；（2）求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若，求实数的取值范围.18．设，为两个不共线的向量，若.（1）若与共线，求实数的值；（2）若为互相垂直的单位向量，且，求实数的值.19．若函数是奇函数()，且，.(1)求实数,,的值；(2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.20．已知函数是定义域为的奇函数.（1）求实数的值；（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若，且函数在上最小值为，求的值.21．定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，（1）判断的奇偶性并证明；（2）判断的单调性，并求当时，的最大值及最小值；（3）解关于的不等式.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】通过点所在象限，判断三角函数的符号，推出角所在的象限．【详解】点位于第二象限，可得，，可得，，角所在的象限是第三象限故选C．【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，是基础题．第一象限所有三角函数值均为正，第二象限正弦为正，其它为负，第三象限正切为正，其它为负，第四象限余弦为正，其它为负.2、A【解析】由奇函数满足可知该函数是周期为的奇函数，由递推关系可得：,两式做差有：，即，即数列构成首项为，公比为的等比数列，故：，综上有：，，则：.本题选择A选项.3、D【解析】由分段函数定义计算【详解】，所以故选：D4、A【解析】∵∴∴∴故选A5、D【解析】根据对数型函数恒过定点得到定点，再根据点在角的终边上，由三角函数的定义得，即可得到答案.【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则，点，点在角的终边上，.故选：D.6、B【解析】，，零点定理知，的零点在区间上所以选项是正确的7、B【解析】根据解析式得，进而得令，得为奇函数，，进而结合函数单调性求解即可.【详解】函数，定义域为，满足，所以，令，所以，所以奇函数，，函数在均为增函数，所以在为增函数，所以在为增函数，因为为奇函数，所以在为增函数，所以，解得.故选：B.8、D【解析】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.本题选择D选项.9、B【解析】由的值及α为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出的值【详解】由题是第四象限角，则故选B【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键10、B【解析】解出集合中的不等式，得到集合中的元素，利用交集的运算即可得到结果.【详解】集合，所以.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据给定条件结合球的截面小圆性质求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.【详解】因边长为3的正方形的四个顶点都在球上，则正方形的外接圆是球O的截面小圆，其半径为，令正方形的外接圆圆心为，由球面的截面小圆性质知是直角三角形，且有，而与对角线的夹角为45°，即是等腰直角三角形，球O半径，所以球体积为.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及求球的表面积、体积问题，利用球的截面小圆性质是解决问题的关键.12、53【解析】设,则,从而求出,再根据的取值范围,求出式子的最大值.【详解】设,因为为圆上一点,则,且,则(当且仅当时取得最大值),故答案为:53.【点睛】本题属于圆与距离的应用问题,主要考查代数式的最值求法.解决此类问题一是要将题设条件转化为相应代数式;二是要确定代数式中变量的取值范围.13、【解析】根据分段函数解析式，由内而外，逐步计算，即可得出结果.【详解】∵，，则∴.故答案为：.14、①.##②.【解析】根据求出的范围，根据余弦函数的图像性质即可求其最小值.【详解】∵，∴，∴当，即时，取得最小值为，∴当时，最小值为.故答案为：；－3.15、【解析】先由已知条件求出的函数关系式，也就是当时的函数关系式，再求得，然后求的值即可【详解】解：当时，，∴，∵函数是定义在上的奇函数，∴，∴，即由题意得，∴故答案为：【点睛】此题考查了分段函数求值，考查了奇函数的性质，属于基础题.16、【解析】结合图象确定a，b，c的关系，由此可得，再利用基本不等式求其最值.【详解】解：因为函数，若实数a，b，c满足，且，；如图：，且；令；因为；，当且仅当时取等号；，；故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）答案见解析（3）【解析】（1）根据偶函数的性质直接计算；（2）当时，则，根据偶函数的性质即可求出；（3）由题可得，根据单调性可得，即可解出.【小问1详解】因为是上的偶函数，所以.【小问2详解】当时，则，则，故当时，，故，故的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问3详解】若，即，即因为在单调递减，所以，故或，解得：或，即.18、（1）－；（2）2.【解析】(1)若与共线，则存在实数，使得，根据，为两个不共线的向量可列出关于k和λ的方程组，求解方程组即可；(2)若，则，代入，根据向量数量积运算律即可计算.小问1详解】若与共线，则存在实数，使得，即，则且，解得；小问2详解】由题可知，，，若，则，变形可得：，即.19、(1),,；(2)在上为增函数,证明见解析.【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，进而可得，解可得、、的值，即可得答案；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可【详解】解：(1)根据题意，函数是奇函数（），且，则，又由，则有，且，解得，，.(2)由(1)可得：，函数在上为增函数证明：设任意的，，又由，则且，，则有，故函数在上为增函数【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出、、的值，属于基础题20、（1）0（2）（3）2.【解析】（1）是定义域为的奇函数,由，得到的值；（2）根据得到的范围，从而得到的单调性，结合的奇偶性，得到将不等式转化为在上恒成立，通过得到的范围；（3）由得到，从而得到解析式，令，得到，动轴定区间分类讨论，根据最小值为，得到的值.【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，所以，所以，经检验，当时，为上的奇函数（2）由（1）知:，因为，所以，又且，所以，所以是.上的单调递减函数，又是定义域为的奇函数，所以，即在上恒成立，所以，即，所以实数的取值范围为（3）因为，所以，解得或(舍去)，所以，令，则，因为在R上为增函数，且，所以，因为在上最小值为，所以在上的最小值为，因为的对称轴为，所以当时，，解得或（舍去），当时，，解得（舍去），综上可知:.【点睛】本题考查根据函数奇偶性求参数的值，根据函数的性质解不等式，二次函数在上恒成立问题，根据函数的最小值求参数的范围，运用了换元的方法，属于中档题.21、（1）奇函数，证明见解析；（2）在上是减函数．最大值为6，最小值为-6；（3）答案不唯一，见解析【解析】（1）令，求出，再令，由奇偶性的定义，即可判断；（2）任取，则．由已知得，再由奇函数的定义和已知即可判断单调性，由，得到，，再由单调性即可得到最值；（3）将原不等式转化为，再由单调性，即得，即，再对b讨论，分，，，，共5种情况分别求出它们的解集即可.【详解】（1）令，则，即有，再令，得，则，故为奇函数；（2）任取，则．由已知得，则，∴，∴在上是减函数由于，则，