2024高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十二圆锥曲线的方程与几何性质

专题强化练(十二)圆锥曲线的方程与几何性质1．(2024·高州市二模)已知抛物线E：y2＝2x的焦点为F，A、B、C为抛物线E上三点，当eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0时，称△ABC为“特殊三角形”，则“特殊三角形”有()A．1个 B．2个C．3个 D．多数个解析：抛物线方程为y2＝4x，A、B、C为抛物线三点，当满意eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0时，F为△ABC的重心，连接AF并延长至D，使FD＝eq\f(1,2)AF，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有多数个．故“特殊三角形”有多数个，故选D.答案：D2．(2024·天河区三模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，点F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过点F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点，若tan∠MAN＝－eq\f(3,4)，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．3解析：由题意可设∠MAN＝2θ，θ∈(0，eq\f(π,2))，则tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝－eq\f(3,4)，解得tanθ＝3，即eq\f(b2,a（c－a）)＝3，可得c2＋2a2－3ac＝0，即e2＋2－3e＝0，e>1，解得e＝2.故选C.答案：C3．(2024·广州二模)已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x－1)与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，若|AB|＝8，则|MN|＝()A.eq\r(14) B.eq\r(6)C.eq\f(\r(14),2) D.eq\f(\r(6),2)解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝k（x－1）))得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为Δ>0，所以x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝eq\f(4,k2)＋2，因为直线l：y＝k(x－1)过抛物线的焦点(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝8，所以x1＋x2＝6，所以eq\f(4,k2)＋2＝6，解得k＝±1，由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时|MN|相同，故不妨取k＝1，直线l为y＝x－1，即x－y－1＝0，圆心(2，1)到的距离d＝eq\f(|2－0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以|MN|＝2eq\r(2－d2)＝2eq\r(2－\f(1,2))＝eq\r(6)，故选B.答案：B4．(2024·汕头二模)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线AB过F1与椭圆交于A，B两点，若△F2AB为正三角形，该椭圆的离心率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(6),3)解析：不妨设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则|AF1|＝2a－|AF2|，|BF1|＝2a－|BF2|，因为△F2AB为正三角形，所以|AF1|＝|BF1|，即F1为线段AB的中点，依据椭圆的对称性知AB垂直与x轴，设|F1F2|＝2c，则|AF1|＝2c·tan30°＝eq\f(2\r(3)c,3)，|AF2|＝eq\f(2c,cos30°)＝eq\f(4\r(3)c,3)，所以eq\f(2\r(3)c,3)＋eq\f(4\r(3)c,3)＝2a，即2eq\r(3)c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).故选C.答案：C5．(2024·广州三模)已知直线l与曲线C：x2－eq\f(y2,2)＝1在y轴左、右两侧的交点分别是Q，P，且以线段PQ为直径的圆恰过坐标原点O，则|OP|2＋|OQ|2的值不行能为()A．6 B．8C.eq\r(65) D.eq\r(73)解析：因为以线段PQ为直径的圆恰过坐标原点O，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，因为Q，P分别在双曲线左，右两支上，所以OP，OQ的斜率均存在，可设OP的斜率为k，则OQ的斜率为－eq\f(1,k)，直线的方程为y＝kx，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,x2－\f(y2,2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝\f(2k2,2－k)，,x2＝\f(2,2－k2)，))所以|OP|2＝x2＋y2＝eq\f(2,2－k2)＋eq\f(2k2,2－k2)＝eq\f(2k2＋2,2－k2).同理可求|OQ|2＝eq\f(2k2＋2,2k2－1)，所以eq\f(1,|OP|2)＋eq\f(1,|OQ|2)＝eq\f(2－k2,2k2＋2)＋eq\f(2k2－1,2k2＋2)＝eq\f(1,2)，所以，|OP|2＋|OQ|2＝2(|OP|2＋|OQ|2)·(eq\f(1,|OP|2)＋eq\f(1,|OQ|2))＝2(1＋eq\f(|OP|2,|OQ|2)＋eq\f(|OQ|2,|OP|2)＋1)≥2(2＋2eq\r(\f(|OP|2,|OQ|2)·\f(|OQ|2,|OP|2)))＝8，当且仅当|OP|＝|OQ|时取等号．故|OP|2＋|OQ|2≥8.故选A.答案：A6．(2024·佛山模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点且斜率为2eq\r(2)的直线l与抛物线C交于A，B(A在B的上方)两点，若|AF|＝λ|BF|，则λ的值为()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(9,4)p，即有x1＋x2＝eq\f(5,4)p，由直线l的斜率为2eq\r(2)，则直线l的方程为：y－0＝2eq\r(2)(x－eq\f(p,2))，即y＝2eq\r(2)x－eq\r(2)p，联立抛物线方程，消去y并整理，得4x2－5px＋p2＝0，则x1x2＝eq\f(p2,4)，可得x1＝p，x2＝eq\f(1,4)p，则eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(p＋\f(1,2)p,\f(1,4)p＋\f(1,2)p)＝2，故λ的值为2.故选C.答案：C7．(2024·茂名模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON(其中O为坐标原点)的中点B，且|ON|＝2|BM|，则双曲线C的离心率为()A．2 B．eq\r(5)C．eq\f(5,2) D．2eq\r(3)解析：记M为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线bx－ay＝0上的点，因为|ON|＝2|BM|，且|OB|＝|BN|，所以∠BOM＝∠BMO，∠BMN＝∠BNM.所以NF⊥OM.因为右焦点F(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离|MF|＝eq\f(bc,\r(b2＋a2))＝b，所以|OM|＝|OA|＝a.所以∠BMO＝∠BAO，所以∠BOM＝∠BAO，所以Rt△AOB≌Rt△OMN，所以∠ABO＝∠ONM，又因为∠MNB＝∠NMB，∠ABO＝∠NBM.所以△MNB为等边三角形，所以∠FNO＝60°，所以∠MFO＝30°，即eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2.故选A.答案：A8．(2024·广东三模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线右支上一点，连接MF1交双曲线C左支于点N，若△MNF2是以F2为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)解析：设|MF2|＝m，因为△MNF2是以F2为直角顶点的等腰直角三角形，所以|MN|＝eq\r(2)m，|NF2|＝m，由双曲线的定义知，|MF1|－|MF2|＝2a，|NF2|－|NF1|＝2a所以|MF1|＝2a＋m，|NF1|＝m－2a，又|MN|＝|MF1|－|NF1|，所以eq\r(2)m＝(2a＋m)－(m－2a)＝4a，即m＝2eq\r(2)a，在△MF1F2中，由余弦定理知，|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos∠F1MF2，所以4c2＝(2a＋m)2＋m2－2(2a＋m)·mcos45°＝4a2＋4am＋2m2－eq\r(2)m(2a＋m)，即4c2＝4a2＋4a·2eq\r(2)a＋2·(2eq\r(2)a)－eq\r(2)·2eq\r(2)a(2a＋2eq\r(2)a)，整理得，c2＝3a2，即c＝eq\r(3)a，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3).故选B.答案：B9．(2024·广东一模)已知F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A是C的右顶点，点P在过点A且斜率为eq\f(2\r(3),3)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A．eq\f(3,2) B．2C．3 D．4解析：如图所示，由题意知：A(a，0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，直线AP的方程为y＝eq\f(2\r(3),3)(x－a)，由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P(2c，eq\r(3)c)，代入直线方程，可得eq\r(3)c＝eq\f(2\r(3),3)(2c－a)，整理得：2a＝c，所以所求的双曲线离心率为e＝eq\f(c,a)＝2.故选B.答案：B10．(多选题)(2024·顺德区三模)已知曲线C的方程为eq\f(y2,m)－eq\f(x2,n)＝1，下列说法正确的是()A．若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则m>－n>0B．曲线C可能是圆C．若mn<0，则曲线C肯定是双曲线D．若C为双曲线，则渐近线方程为y＝±eq\r(\f(m,n))x解析：因为曲线C的方程为eq\f(y2,m)－eq\f(x2,n)＝1，对于A：曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则eq\f(x2,－n)＋eq\f(y2,m)＝1，即－n>m>0，故A错误；对于B：当m＝－n>0时曲线C表示圆，故B正确；对于C：若m＝－n＝1，满意mn<0，曲线C为x2＋y2＝1，表示圆，故C错误；对于D：若eq\f(y2,m)－eq\f(x2,n)＝1为双曲线，则mn>0，当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,n>0，))时，eq\f(y2,m)－eq\f(x2,n)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(\f(m,n))x，当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,n<0))时，eq\f(x2,－n)－eq\f(y2,－m)＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(\f(m,n))x，故D正确；故选BD.答案：BD11.(多选题)(2024·深圳模拟)已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为p1，p2，则()A．d>1 B．p1＋p2＝2dC．p1p2＝d2 D．eq\f(1,p1)＋eq\f(1,p2)>eq\f(2,d)解析：由题意设圆A的半径为1，圆C的半径为R，当圆C与圆A相外切时，如图所示，则有点C到直线l的距离为R，|AC|＝1＋R，把直线l向左平移1个单位得到直线l′，可得C到l′的距离与到A的距离相等，故圆C的轨迹是以A为焦点，l′为准线的抛物线，所以p1＝d＋1，同理p2＝d－1，所以d－1>0，所以d>1，故A正确；因为p2＝d－1，所以p1＋p2＝2d，故B正确；p1p2＝(d＋1)(d－1)＝d2－1，故C错误；eq\f(1,p1)＋eq\f(1,p2)＝eq\f(1,d＋1)＋eq\f(1,d－1)＝eq\f(d＋1＋d－1,d2－1)＝eq\f(2d,d2－1)eq\f(2d,d2)＝eq\f(2,d)，故D正确；故选ABD.答案：ABD12．(多选题)(2024·佛山模拟)已知直线l：y＝k·(x－eq\f(p,2))与抛物线C：y2＝2px(p>0)相交于A，B两点，点A在x轴上方，点M(－1，1)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是()A．p＝2 B．k＝－2C．MF⊥AB D．eq\f(|FA|,|FB|)＝eq\f(2,5)解析：直线l：y＝k(x－eq\f(p,2))，恒过(eq\f(p,2)，0)，即过抛物线的焦点F，所以抛物准线方程为x＝－eq\f(p,2)，点M(－1，－1)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，M在抛物线的准线上，所以－eq\f(p,2)＝－1，解得p＝2，所以A正确，焦点坐标为(1，0)，直线l整理可得y＝k(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线的方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x，))整理可得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，x1x2＝1，x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4eq\r(x1x2)＝－4，由题意可得eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，即(x1＋1，y1＋1)·(x2＋1，y2＋1)＝0，整理可得x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2＋(y1＋y2)＋1＝0，代入可得1＋eq\f(2k2＋4,k2)＋1－4＋eq\f(4,k)＋1＝0，解得：eq\f(4,k2)＋eq\f(4,k)＋1＝0，解得k＝－2，所以B正确，又kMF＝eq\f(－1－0,－1－1)＝eq\f(1,2)，所以KMF·k＝－1，所以MF⊥AB，所以C正确；x1x2＝1，x1＋x2＝3，解得x1＝eq\f(3－\r(5),2)，x2＝eq\f(3＋\r(5),2)，|FA|＝eq\f(3－\r(5),2)＋1，|FB|＝eq\f(3＋\r(5),2)＋1，所以eq\f(|FA|,|FB|)＝eq\f(\r(5)－1,\r(5)＋1)，故D不正确．故选ABC.答案：ABC13．(多选题)(2024·光明区校级模拟)已知P是椭圆C：eq\f(x2,6)＋y2＝1上的动点，过点Q(1，eq\f(1,4))的直线与椭圆交于M，N两点，则()A．椭圆C的焦距为eq\r(5)B．椭圆C的离心率为eq\f(\r(30),6)C．当Q为MN中点时，直线MN的斜率为－3D．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为1解析：由椭圆C：eq\f(x2,6)＋y2＝1，得a2＝6，b2＝1，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(5)，所以椭圆C的焦距为2eq\r(5)，故A错误；椭圆C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),\r(6))＝eq\f(\r(30),6)，故B正确；设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则eq\f(xeq\o\al(2,1),6)＋yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,2),6)＋yeq\o\al(2,2)＝1，两式作差得：eq\f(（x1－x2）（x1＋x2）,6)＝－(y1－y2)(y1＋y2)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,6（y1＋y2）)＝－eq\f(2,6×\f(1,2))＝－eq\f(2,3)，故C错误；设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝2\r(6)，,m2＋n2＝20，))解得：mn＝2，所以△F1PF2的面积为1，故D正确．故选BD.答案：BD14．(2024·光明区校级模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线l，垂足为M.若直线l与双曲线C的另一条渐近线交于点N，且满意eq\o(ON,\s\up6(→))＋4eq\o(OM,\s\up6(→))＝5eq\o(OF,\s\up6(→))(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．解析：点F(c，0)到渐近线bx±ay＝0的距离为eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，在△OMF中，|MF|＝b，|OF|＝c，所以|OM|＝a，设∠MOF＝α，则tanα＝eq\f(b,a)，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(b,a),1－\f(b2,a2))＝eq\f(2ab,a2－b2)，因为eq\o(ON,\s\up6(→))＋4eq\o(OM,\s\up6(→))＝5eq\o(OF,\s\up6(→))，所以eq\o(NF,\s\up6(→))＝4eq\o(FM,\s\up6(→))，所以|NF|＝4b，所以|MN|＝5b，在Rt△OMN中，tan∠MON＝eq\f(5b,a)＝tan2α，所以eq\f(5b,2)＝eq\f(2ab,a2－b2)，解得eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,5)，故双曲线C的离心率为eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(2\r(10),5).答案：eq\f(2\r(10),5)15．(2024·广东模拟)如图，已知F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左，右焦点，P为C上在其次象限内一点，以F1F2为直径的圆交PF1于点A，若OA∥PF2(O为坐标原点)，则△PF1F2的面积为________，直线PF1的方程为_____________________________．解析：依据椭圆的性质可得：2a＝6，2c＝4，即a＝3