2025届福建省龙岩市龙岩第一中学数学高三第一学期期末考试模拟试题含解析

2025届福建省龙岩市龙岩第一中学数学高三第一学期期末考试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c2．“是函数在区间内单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．在平行四边形中，若则()A． B． C． D．4．在中，，，，为的外心，若，，，则（）A． B． C． D．5．设全集为R，集合，，则A． B． C． D．6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知，则为()A． B． C．或 D．或7．在的展开式中，含的项的系数是（）A．74 B．121 C． D．8．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A．0 B． C． D．10．设实数、满足约束条件，则的最小值为（）A．2 B．24 C．16 D．1411．设等差数列的前n项和为，且，，则()A．9 B．12 C． D．12．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（）A．或 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，，且，则的最小值为___________．14．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.15．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．16．如图，直线是曲线在处的切线，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上上一点，且点的横坐标为，.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线与抛物线交于、两点，过点且与直线垂直的直线与准线交于点，设的中点为，若、、四点共圆，求直线的方程.18．（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下：一周课外读书时间/合计频数46101214244634频率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数.（2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.①求每层应抽取的人数；②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率.19．（12分）已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）（1）求的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且过点.求椭圆的方程；已知是椭圆的内接三角形，①若点为椭圆的上顶点，原点为的垂心，求线段的长；②若原点为的重心，求原点到直线距离的最小值.21．（12分）已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数在上的最小值；（Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：.22．（10分）在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、．试判断是否为定值,并说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2、C【解析】，令解得当，的图像如下图当，的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.3、C【解析】

由，,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,

平行四边形中,,

，，,

因为,

所以

,

，所以，故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.4、B【解析】

首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值.【详解】如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，，过分别做，的平行线，，由题知，则外接圆半径，因为，所以，又因为，所以，，由题可知，所以，，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.5、B【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、D【解析】

由正弦定理可求得，再由角A的范围可求得角A.【详解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理,注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.7、D【解析】

根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，8、D【解析】

根据演绎推理进行判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．故选：D．【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．9、C【解析】

试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，∵y=-x-在区间上是增函数∴∴a≥-∴a的最小值为-故答案为C．考点：不等式的应用点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题10、D【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【详解】做出满足的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数过点时，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.11、A【解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【详解】设公差为d，则解得，所以.故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.12、C【解析】

设公差为，则由题意可得，解得，可得.令

，可得

当时，，当时，，由此可得数列前项和中最小的.【详解】解：等差数列中，已知，且，设公差为，

则，解得

，.

令

，可得，故当时，，当时，，

故数列前项和中最小的是.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由，先将变形为，运用基本不等式可得最小值，再求的最小值，运用函数单调性即可得到所求值.【详解】解：因为，，，且，所以因为，所以，当且仅当时，取等号，所以令，则，令，则，所以函数在上单调递增，所以所以则所求最小值为故答案为：【点睛】此题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三相等，考查利用单调性求最值，考查化简和运算能力，属于中档题.14、2【解析】

求出焦点到渐近线的距离就可得到的等式，从而可求得离心率．【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，由得，∴，，∴．故答案为：2.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于的等式．15、【解析】设，则，由题意可得故当时，由不等式，可得，或求得，或故答案为（16、.【解析】

求出切线的斜率，即可求出结论.【详解】由图可知直线过点，可求出直线的斜率，由导数的几何意义可知，.故答案为:.【点睛】本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）由抛物线的定义可得，即可求出，从而得到抛物线方程；（2）设直线的方程为，代入，得.设，，列出韦达定理，表示出中点的坐标，若、、、四点共圆，再结合，得，则即可求出参数，从而得解；【详解】解：（1）由抛物线定义，得，解得，所以抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，代入，得.设，，则，.由，，得，所以.因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，则直线的方程为.由解得.若、、、四点共圆，再结合，得，则，解得，所以直线的方程为.【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.18、（1），，，中位数；（2）①三层中抽取的人数分别为2，5，13；②【解析】

（1）根据频率分布直方表的性质，即可求得，得到，，再结合中位数的计算方法，即可求解.（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；②由①知，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得，所以，.设一周课外读书时间的中位数为小时，则，解得，即一周课外读书时间的中位数约为小时.（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为，又因为，，的频数分别为20，50，130，所以从，，三层中抽取的人数分别为2，5，13.②由①知，在，两层中共抽取7人，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21种，其中2人不在同一层的情况为，，，，，，，，，，共有10种.设事件为“这2人不在同一层”，由古典概型的概率计算公式，可得概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19、(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对求导得，根据函数的图象在处的切线为，列出方程组，即可求出的值；（2）由（1）可得，根据对任意恒成立，等价于对任意恒成立，构造，求出的单调性，由，，，，可得存在唯一的零点，使得，利用单调性可求出，即可求出的最大值.（1），.由题意知.（2）由（1）知：，∴对任意恒成立对任意恒成立对任意恒成立.令，则.由于，所以在上单调递增.又，，，，所以存在唯一的，使得，且当时，，时，.即在单调递减，在上单调递增.所以.又，即，∴.∴.∵，∴.又因为对任意恒成立，又，∴.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.20、；①；②.【解析】

根据题意列出方程组求解即可；①由原点为的垂心可得，轴，设，则，，根据求出线段的长；②设中点为，直线与椭圆交于，两点，为的重心，则，设：，，，则，当斜率不存在时，则到直线的距离为1，，由，则，，，得出，根据求解即可.【详解】解：设焦距为，由题意知：，因此，椭圆的方程为：；①由题意知：，故轴，设，则，，，解得：或，，不重合，故，，故；②设中点为，直线与椭圆交于，两点，为的重心，则，当斜率不存在时，则到直线的距离为1；设：，，，则，，则，则：，，代入式子得：，设到直线的距离为，则时，；综上，原点到直线距离的最小值为.【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.21、（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题，所以故，，代入点斜式可得曲线在处的切线方程；（Ⅱ）由题（1）当时，在上单调递增.则函数在上的最小值是（2）当时，令，即，令，即（i）当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值是（ii）当，即时，由的单调性可得在上的最小值是（iii）当，即时，在上单调递减，在上的最小值是（Ⅲ）当时，令，则是单调递减函数.因为，，所以在上存在