2025届高考数学一轮复习核心素养测评第七章7.3合情推理与演绎推理理含解析北师大版

PAGE7-核心素养测评三十五合情推理与演绎推理(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2024·钦州模拟)平面内,圆有如下性质:“圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦”,由此类比可以得到空间中,球有如下性质 ()A.球心与弦(非直径)的中点连线垂直于弦B.球心与该球小圆圆心的连线垂直于小圆C.与球心距离相等的弦长相等D.与球心距离相等的小圆面积相等【解析】选B.圆心对应球心,弦对应小圆,弦中点对应小圆圆心,依据类比推理则有:球心与该球小圆圆心的连线垂直于小圆.2.设三角形ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,内切圆半径为r,则r=QUOTE;类比这个结论可知:若四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,四面体S-ABC的体积为V,则r等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.设四面体的内切球的球心为O,则V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,即V=QUOTES1r+QUOTES2r+QUOTES3r+QUOTES4r,所以r=QUOTE.3.(2024·安庆模拟)某中学在高二下学期开设四门数学选修课,分别为《数学史选讲》《球面上的几何》《对称与群》《矩阵与变换》.现有甲、乙、丙、丁四位同学从这四门选修课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同,下面关于他们选课的一些信息:①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》,也不选《对称与群》:②乙同学不选《对称与群》,也不选《数学史选讲》:③假如甲同学不选《数学史选讲》,那么丁同学就不选《对称与群》.若这些信息都是正确的,则丙同学选修的课程是 ()A.《数学史选讲》 B.《球面上的几何》C.《对称与群》 D.《矩阵与变换》【解析】选D.由信息①可得,甲、丙选择《矩阵与变换》和《数学史选讲》;由信息②可得,乙选择《矩阵与变换》或《球面上的几何》.第一种可能:当甲选择《矩阵与变换》时,则丙选择《数学史选讲》,乙选择《球面上的几何》,丁选择《对称与群》,与信息③冲突,不合题意;其次种可能:当甲选择《数学史选讲》时,则丙选择《矩阵与变换》,乙选择《球面上的几何》,丁选择《对称与群》,符合题意.综上可得丙同学选修的课程是《矩阵与变换》.【变式备选】在一次数学单元测验中,甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下,甲:我没考满分;乙:丙考了满分;丙:丁考了满分;丁:我没考满分,其中只有一名考生说的是真话,则考得满分的考生是 ()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】选A.若甲考满分,则甲、乙、丙说的都是假话,丁说的是真话,符合题意;若乙考满分,则乙、丙说的是假话,甲和丁说的是真话,不合题意;若丙考满分,则甲、乙、丁说的都是真话,丙说的是假话,不合题意;若丁考满分,则甲、丙说的真话,乙、丁说的假话,不合题意.综上,甲考满分.4.我国的刺绣有着悠久的历史,如图所示的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简洁的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越美丽.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形,则f(n)的表达式为 ()A.f(n)=2n-1 B.f(n)=2n2C.f(n)=2n2-2n D.f(n)=2n2-2n+1【解析】选D.我们考虑f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,…,结合图形不难得到f(n)-f(n-1)=4(n-1),累加得f(n)-f(1)=2n(n-1)=2n2-2n,故f(n)=2n2-2n+1.5.(2024·泸州模拟)已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,….其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,以此类推,记此数列为{an},则a2019= ()世纪金榜导学号A.1B.2C.4D.8【解析】选C.将所给的数列分组:第1组为20,第2组为20,21,第三组为:20,21,22,…,则数列的前n组共有QUOTE项,由于QUOTE=2016,故数列的前63组共有2016项,数列的第2017项为20,数列的第2018项为21,数列的第2019项为22,所以a2019=4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2024·丰台模拟)已知数列{an}的通项an=2n-1,把{an}中的各项依据肯定的依次排列成如图所示的三角形数阵.135791113151719……(1)数阵中第5行全部项的和为________________.

(2)2019是数阵中第i行的第j列,则i+j=________________.

【解析】(1)21+23+25+27+29=125.(2)2n-1=2019,n=1010,1+2+3+…+44=990,故i=44+1=45,j=1010-990=20,i+j=65.答案:(1)125(2)657.(2024·孝感模拟)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=QUOTEπr3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,则其四维测度W=________________.

【解析】二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,(πr2)′=2πr,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=QUOTEπr3,QUOTE′=4πr2,四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,因为(2πr4)′=8πr3,所以“超球”的四维测度W=2πr4.答案:2πr48.(2024·佛山模拟)我国古代数学名著《九章算术》记载:“勾股各自乘,并之,为弦实”,用符号表示为a2+b2=c2(a,b,c∈N*),把a,b,c叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推,可揣测第5组勾股数的其次个数是________________. 世纪金榜导学号

【解析】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11,其次、三个数为相邻的两个整数,可设为x,x+1,所以(x+1)2=112+x2,即x=60,所以第5组勾股数的三个数依次是11,60,61.答案:60(15分钟25分)1.(5分)图①是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图②是第1代“勾股树”,重复图②的作法,得到图③为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n代“勾股树”全部正方形的面积的和为 ()A.n B.n2 C.n-1 D.n+1【解析】选D.最大的正方形面积为1,当n=1时,由勾股定理知正方形面积的和为2,依次类推,可得全部正方形面积的和为n+1.2.(5分)如图所示椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为QUOTE,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE-1 D.QUOTE+1【解析】选A.设“黄金双曲线”方程为QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0),则B(0,b),F(-c,0),A(a,0).在“黄金双曲线”中因为⊥,所以·=0.又=(c,b),=(-a,b).所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac.在等号两边同除以a2,得e=QUOTE(负值舍去).3.(5分)(2024·清华附中模拟)地铁某换乘站设有编号为A,B,C,D,E的五个平安出口.若同时开放其中的两个平安出口,疏散1000名乘客所需的时间如下:平安出口编号A,BB,CC,DD,EA,E疏散乘客时间(s)120220160140200则疏散乘客最快的一个平安出口的编号是()A.A B.B C.D D.E【解析】选C.同时开放A、E两个平安出口,疏散1000名乘客所需的时间为200s,同时开放D、E两个平安出口,疏散1000名乘客所需的时间为140s,得到D疏散乘客比A快;同时开放A、E两个平安出口,疏散1000名乘客所需的时间为200s,同时开放A、B两个平安出口,疏散1000名乘客所需的时间为120s,得到B疏散乘客比E快;同时开放A、B两个平安出口,疏散1000名乘客所需的时间为120s,同时开放B、C两个平安出口,疏散1000名乘客所需的时间为220s,得到A疏散乘客比C快;同时开放B、C两个平安出口,疏散1000名乘客所需的时间为220s,同时开放C、D两个平安出口,疏散1000名乘客所需的时间为160s,得到D疏散乘客比B快.综上,疏散乘客最快的一个平安出口的编号是D.4.(10分)(2024·龙岩模拟)已知函数f(x)=QUOTE,g(x)=QUOTE(其中a>0,且a≠1), 世纪金榜导学号(1)若f(1)·g(2)+f(2)·g(1)=g(k),求实数k的值.(2)能否从(1)的结论中获得启示,猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想.【解析】(1)f(1)·g(2)+f(2)·g(1)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE=