2025届福建省南安市南安一中高二数学第一学期期末质量检测试题含解析

2025届福建省南安市南安一中高二数学第一学期期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.2．下列关于命题的说法错误的是A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C.命题“，使得”的否定是“，均有”D.“若为的极值点，则”的逆命题为真命题3．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（）A. B.C. D.4．双曲线的左顶点为，右焦点，若直线与该双曲线交于、两点，为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为（）A. B.C. D.5．若，则（）A. B.C. D.6．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（）A. B.C. D.8．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.9．已知函数在处取得极值，则的极大值为（）A. B.C. D.10．设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A. B.C. D.11．如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，点、在椭圆上，四边形是梯形，，且，则的面积为（）A. B.C. D.12．过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知O为坐标原点，椭圆T：，过椭圆上一点P的两条直线PA，PB分别与椭圆交于A，B，设PA，PB的中点分别为D，E，直线PA，PB的斜率分别是，，若直线OD，OE的斜率之和为2，则的最大值为_______14．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为________.15．欧阳修在《卖油翁》中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机地向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是_______16．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的总成绩是445，则污损的数字是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴，F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点，.直线l与抛物线交于异于N的两点A，B，且.（1）求抛物线方程和N点坐标；（2）求证：直线AB过定点，并求该定点坐标.18．（12分）已知的离心率为，短轴长为2，F为右焦点（1）求椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由19．（12分）已知点，圆.（1）若直线l过点M，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设O为坐标原点，点N在圆C上运动，线段的中点为P，求点P的轨迹方程.20．（12分）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求a的取值范围.21．（12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦葵等植物．为了防治虫害，从根源上抑制害虫数量．现研究红铃虫的产卵数和温度的关系，收集到7组温度和产卵数的观测数据于表Ⅰ中．根据绘制的散点图决定从回归模型①与回归模型②中选择一个来进行拟合表Ⅰ温度x/℃20222527293135产卵数y/个711212465114325（1）请借助表Ⅱ中的数据，求出回归模型①的方程：表Ⅱ（注：表中）18956725.271627810611.06304041.86825.09（2）类似的，可以得到回归模型②的方程为，试求两种模型下温度为时的残差；（3）若求得回归模型①的相关指数，回归模型②的相关指数，请结合（2）说明哪个模型的拟合效果更好参考数据：.附：回归方程中，相关指数.22．（10分）在二项式的展开式中，______.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；②所有奇数项的二项式系数的和为256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式的常数项.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据焦点在x轴上的双曲线渐近线斜率为±可求a，b关系，再结合a，b，c关系即可求解﹒【详解】∵双曲线1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0平行，∴，∴b＝2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，∴双曲线的方程为故选：B2、D【解析】根据命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识一一判断可得答案.【详解】解：A,由原命题与逆否命题的构成关系,可知A正确；B,当a=2>1时,函数在定义域内是单调递增函数，当函数定义域内是单调递增函数时，a>1.所以B正确；C,由于存在性命题的否定是全称命题,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正确；D,的根不一定是极值点，例如:函数,则=0，即x=0就不是极值点,所以“若为的极值点，则”的逆命题为假命题,故选D.【点睛】本题主要考查命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识，需牢记并灵活运用相关知识.3、B【解析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果.【详解】不妨设点为第一象限的交点，则由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以当时，有最大值，最大值为，故选：B.【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)4、A【解析】求出，分析可得，可得出关于、、的齐次等式，由此可求得该双曲线的离心率的值.【详解】联立，可得，则，易知点、关于轴对称，且为线段的中点，则，又因为为等腰直角三角形，所以，，即，即，所以，，可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：A.5、D【解析】设，计算出、的值，利用平方差公式可求得结果.【详解】设由已知可得，，因此，.故选：D.6、D【解析】由在上恒成立，再转化为求函数的取值范围可得【详解】由已知，在上是增函数，则在上恒成立，即，，当时，，所以故选：D7、D【解析】先找临界情况当PQ与圆C相切时，，进而可得满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），即求.【详解】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，∴所有满足条件的点P构成图形的面积为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是找出临界情况时点所满足的条件，进而即可得到动点满足条件的图形，问题即可解决.8、D【解析】用向量分别表示,利用向量的夹角公式即可求解.【详解】由题意可得，故选：D【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.9、B【解析】首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而得到函数解析式，再根据导函数得到函数单调性，即可求出函数的极值点，从而求出函数的极大值；【详解】解：因为，所以，依题意可得，即，解得，所以定义域为，且，令，解得或，令解得，即在和上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，在处取得极小值，所以；故选：B10、A【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，利用椭圆和双曲线的定义可得出，再利用勾股定理可求得结果.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，由椭圆和双曲线的定义可得，所以，，设，因为，则，由勾股定理得，即，整理得，故.故选：A.11、A【解析】设点关于原点的对称点为点，连接、，分析可知、、三点共线，设点、，设直线的方程为，分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】设点关于原点的对称点为点，连接、，如下图所示：因为为、的中点，则四边形为平行四边形，可得且，因为，故、、三点共线，设、，易知点，，，由题意可知，，可得，若直线与轴重合，设，，则，不合乎题意；设直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，得，，则，可得，故，因此，.故选：A.12、D【解析】过点A(3，3)且垂直于直线的直线斜率为，代入过的点得到.故答案为D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设的坐标，用点差法求和与的关系同，与的关系，然后表示出，求得最大值【详解】设，，，则，两式相减得，∴，，则，同理，，又，∴，，当且仅当，即时等号成立，∴，故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，考查椭圆弦中点问题．椭圆中涉及到弦的中点时，常常用点差法确定关系，即设弦端点为，弦中点为，把两点坐标代入椭圆方程，相减后可得14、【解析】因为为圆的弦的中点，所以圆心坐标为，，所在直线方程为，化简为，故答案为.考点：1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.15、【解析】分别求出圆和正方形的面积，结合几何概型的面积型计算公式进行求解即可.【详解】因为铜钱的面积为，正方形孔的面积为，所以随机地向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是.故答案为：【点睛】本题考查了几何概型计算公式，考查了数学运算能力,属于基础题.16、3【解析】设污损的叶对应的成绩是x，由茎叶图可得445＝83＋83＋87＋x＋99，解得x＝93，故污损的数字是3.考点：茎叶图.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）证明见解析，定点【解析】（1）设抛物线的标准方程为，利用点到直线距离公式可求出，再利用焦半径公式可求出N点坐标；（2）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理计算，可得关系，然后代入直线方程可得定点.【小问1详解】设抛物线的标准方程为，，其焦点为则，∴所以抛物线的方程为.，所以，所以.因为，所以，所以.【小问2详解】由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为（），联立方程得设两个交点，（，）.所以所以，即整理得，此时恒成立，此时直线l的方程为，可化为，从而直线过定点.18、（1）；（2）存在点M满足条件，点M的坐标为.【解析】(1)根据给定条件直接计算出即可求解作答.(2)假定存在点，当直线l与x轴不重合时，设出l的方程，与椭圆C的方程联立，借助、斜率互为相反数计算得解，再验证直线l与x轴重合的情况即可作答.【小问1详解】依题意，，而离心率，即，解得，所以椭圆C的方程为：.【小问2详解】由(1)知，，假定存在点满足条件，当直线与x轴不重合时，设l的方程为：，由消去x并整理得：，设，则有，因，则直线、斜率互为相反数，于是得：，整理得，即，则有，即，而m为任意实数，则，当直线l与x轴重合时，点A，B为椭圆长轴的两个端点，点也满足，所以存在点M满足条件，点M的坐标为.【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆相交的问题，常把直线与椭圆的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.19、（1）或（2）【解析】（1）由直线被圆C截得的弦长为，求得圆心到直线的距离为，分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.（2）设点，，根据线段的中点为，求得，结合在圆上，代入即可求解.【小问1详解】解：由题意，圆，可得圆心，半径，因为直线被圆C截得的弦长为，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，即，综上可得，所求直线的方程为或.【小问2详解】解：设点，因为点，线段的中点为，可得，解得，又因为在圆上，可得，即，即点的轨迹方程为.20、（1）在上单调递减，在上单调递增（2）【解析】（1）研究当时的导数的符号即可讨论得到的单调性；（2）对原函数求导，对a的范围分类讨论即可得出答案.【小问1详解】当时，，令，则，所以在上单调递增.又因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】，且.①当时，由（1）可知当时，所以在上单调递增，则，符合题意.②当时，，不符合题意，舍去.③当时，令，则，则，，当时，，所以在上单调递减，当时，，不符合题意，舍去.综上，a的取值范围为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极