2025年高考数学一轮复习之平面解析几何

2025年高考数学一轮复习之平面解析几何

选择题（共10小题）

1.已知抛物线氏丁=飘的焦点为尸，过K（-l,0）的直线/与抛物线E在第一象限内交于A、B两点,

若|阿|=3|4月，则直线/的斜率为（）

1V32V33

A.-B.—C.-----D.一

2234

2.已知。是坐标原点，A（3,0）,动点P（y）满足|尸O|=2|R1|,则::遮嚓的最大值为（）

+y

1V3

A.-B.一C.1D.V3

22

3.已知点M在抛物线/=4y上，若点M到点（0,1）的距离为3,则点M到x轴的距离为（）

A.4B.3C.2D.1

4.已知尸为抛物线f=4尤的焦点，P为抛物线上任意一点，。为坐标原点，若|尸川=3,则|OP|=（）

A.2V2B.3C.2V3D.V17

5.抛物线y=2/的准线方程为（）

.1„1

A.y=一豆B.y=~2C.%=—pD.x=—

6.双曲线C：=i（a>0）的上焦点R到双曲线一条渐近线的距离为号则双曲线两条渐近线的斜率

之积为（）

A.-4B.4C.-2D.2

%?丫2

7.椭圆C：—+J=1的长轴长与焦距之差等于（）

A.V5B.2V5C.2V6D.3V6

8.已知椭圆C的焦点为乃（-1,0）,尸2（1,0）,过尸2的直线与C交于A,B两点.若|4尸2|=2时8|,

\AB\=\BFi\f则。的方程为（）

X22x2y2

A.一+y=1B.—+—=1

2/32

x2y2x2y2

C.—+—=1D.一+一=1

4354

XV

9.已知尸1,尸2是椭圆C—+—=1（a>b>0）的左、右焦点，O是坐标原点，过厂作直线与C交于

azbz

V3

A,8两点，若|AP2|=|A8|,且△O4F2的面积为一反9，则椭圆C的禺心率为（）

6

V3V3V3V3

A.—B.—C.—D.—

12632

10.已知过抛物线C：/=20无（p>0）的焦点厂的动直线交抛物线C于A,B两点，。为线段AB的中点,

尸为抛物线C上任意一点，若伊日+|尸。］的最小值为6,则0=（)

A.2B.3C.6D.6V2

填空题（共5小题）

11.若圆M的圆心在x轴上，且与直线y=x相切，则圆M的标准方程可以为.（写

出满足条件的一个答案即可）

12.己知AB=4,点尸是以线段AB为直径的圆上任意一点，动点M与点A的距离是它与点2的距离的应

倍,则IPM的取值范围为.

22

13.已知双曲线C：/■—京=l（a>0,b>0）的焦距为2遥，C的一条渐近线与曲线y=^cos2x在久=等

1

处的切线垂直，M,N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O,则^~-+

\OM\Z

1

\0N\2----------------------'

14.已知曲线G：x\x\+y\y\=4,。为坐标原点.给出下列四个结论：

①曲线G关于直线y=x成轴对称图形；

②经过坐标原点。的直线/与曲线G有且仅有一个公共点；

③直线/：芯+》=2与曲线3所围成的图形的面积为11-2；

④设直线/：y=kx+2,当（-1,0）时，直线/与曲线G恰有三个公共点.

其中所有正确结论的序号是.

15.如图，在△ABC中，己知/BAC=120°,其内切圆与AC边相切于点。，且AO=1,延长BA到E,

使BE=BC,连接CE,设以E,C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为ei,以E,C为焦点且经过点A

的双曲线的离心率为e2,则eie2的取值范围是.

三.解答题（共5小题）

16.已知双曲线E：6>0）的离心率6=后双曲线E与圆O：/+y=，（r>0）的一

个交点坐标是（嚼，雾）.

（1）求双曲线E和圆。的标准方程；

（2）过双曲线E上的一点尸作圆。的两条切线/1,12,若/2的斜率分别为总，to,证明：总乂2为

定值；

(3)在(2)的条件下，若切线/1,/2分别与双曲线E相交于另外的两点M,N,证明：M,O,N三点

共线.

X2V2、X2V2

17.如图，双曲线C1：---=1(a>0,6>0)的左、右焦点F\,Fl分别为双曲线C2：---r=1的

azbz4az4bz

左、右顶点，过点目的直线分别交双曲线Cl的左、右两支于A,2两点，交双曲线C2的右支于点M

(与点/2不重合)，且△BF1F2与AABF2的周长之差为2.

(1)求双曲线Ci的方程；

(2)若直线“尸2交双曲线Ci的右支于。，E两点.

①记直线A8的斜率为八,直线。E的斜率为42,求知b的值；

②试探究：-|AB|是否为定值？并说明理由.

18.已知抛物线E：y2^2px(p>0)的焦点为R过尸斜率为2的直线与E交于A,B两点，|AB|=10.

(1)求E的方程；

(2)直线/：x=-4,过/上一点尸作E的两条切线PM,PN,切点分别为M,N.求证：直线过

定点，并求出该定点坐标.

19.已知G是圆T：(x+1)2+廿=12上一动点(T为圆心)，点X的坐标为(1,0),线段G8的垂直平分

线交TG于点R,动点R的轨迹为C.

(1)求曲线C的方程；

—>—>

(2)设尸是曲线C上任一点，延长OP至点°,使。Q=/。「，点。的轨迹为曲线E.

(z)求曲线E的方程；

—>—>—>

(z-z)M,N为C上两点，若OQ=OM+ON,则四边形OMQN的面积是否为定值？若是，求出这个定

值；若不是，请说明理由.

20.已知抛物线E：/=2x的焦点为RA,B,C为E上不重合的三点.

―T—>—>—>—>—>

(1)^FA+FB+FC=0,求|F4|+|FB|+|FC|的值;

(2)过A,B两点分别作E的切线/i,/2,/1与/2相交于点O,过A,B两点分别作/1,/2的垂线/3,/4,

/3与/4相交于点

(z)若|AB|=4,求△ABZ)面积的最大值；

(/7)若直线A3过点(1,0),求点M的轨迹方程.

2025年高考数学一轮复习之平面解析几何

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.已知抛物线E：y2=4x的焦点为R过K(-1,0)的直线/与抛物线E在第一象限内交于A、B两点,

若［8尸|=3|4月，则直线/的斜率为()

1V32V33

A.-B.—C.---D.-

2234

【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合.

【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】B

【分析】设直线/的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理、抛物线的定义及空联立即可求得

\BF\3

上的值.

【解答】解：设/方程为无=my-1,A(xi,yi),B(0>2)(ji>0,y2>0),

由02=4x,

lx=my—1'

消去了得y-4my+4=0,

则有yi+”=4m，yi"=4①，

|4F|1用久i+l1

由丽=孑俏==?

即四仁担=左二②，

my2-l+ly23

由①②解得yi=，y2=2V3,

•fc_l__4__4xV3_V3

m丫1+丫282

故选：B.

【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题.

2.己知。是坐标原点，A(3,0),动点尸(x,y)满足|PO|=2|E4|,则7,，的最大值为()

y/xz+yz

1V3l

A.—B.—C.1D.V3

22

【考点】轨迹方程；两点间的距离公式.

【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】D

【分析】设P（X,y）,可求点的轨迹方程，利用笃空的几何意义,结合向量的数量积，转化求解即

7%z+yz

可.

【解答】解：设尸（x,y）,由题意|PO|=2|B4|,可得+y2=2,（%_3尸+y2,整理可得，+/_.+12

=0,即：（x-4）2+、2=4,

且圆心的坐标（4,0）,半径r=2,X：产表不—>—»

OP=（x,y）与。D=（1,V3）的夹角的余弦值的2

倍，

要使得?婆与取得最大值，有小与圆（X-4#+廿=4相切，切点在第一象限，此时NPOx=I，/DOx=

，久Z+yZO

TT

31

可得差里乌的最大值为2cosZZ）OP=2-cos1=V3.

yjx2+y26

故选：D.

【点评】本题考查点的轨迹的求法，考查向量的数量积的计算，是难题.

3.已知点M在抛物线f=4y上，若点M到点（0,1）的距离为3,则点〃到x轴的距离为（）

A.4B.3C.2D.1

【考点】抛物线的焦点与准线.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】C

【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标及准线方程，再根据抛物线的定义得y“+l=3,求得yM,

可得点M到x轴的距离.

【解答】解：因为抛物线得方程为f=4y,所以焦点坐标为（0,1）,准线方程为y=-l,

根据题意及抛物线的定义得：*-1=3,

解得：yu=2,

所以点M到龙轴的距离为2.

故选：C.

【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.

4.己知厂为抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上任意一点，O为坐标原点，若|PQ=3,则|OP|=（）

A.2V2B.3C.2V3D.V17

【考点】抛物线的焦点与准线.

【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】c

【分析】根据抛物线定义结合|尸尸|=3,求得点尸的坐标，即可求解.

【解答】解：由题意厂为抛物线y2=4x的焦点，

则F(1,0),且准线方程为x=-1,

设P(xp,yp),

由|尸尸|=3可得xp+l=3,

.'.xp—2,代入y2=4尤得y故=8,即P(2,±2V2),

故|OP|=J岭+%=V12=2V3.

故选：C.

【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题.

5.抛物线y=2/的准线方程为()

1111

A.y=—gB.y=~2C.x=—gD.x=—2

【考点】求抛物线的准线方程.

【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】A

【分析】根据抛物线的性质得出准线方程.

【解答】解：...抛物线方程可化为/=%"=%

抛物线y=27的准线方程为y==

故选：A.

【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题.

6.双曲线C：*/=1(a>0)的上焦点尸2到双曲线一条渐近线的距离为则双曲线两条渐近线的斜率

之积为()

A.-4B.4C.-2D.2

【考点】双曲线的几何特征.

【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】A

【分析】由点到直线的距离公式，结合。，。的关系，求得。，可得渐近线方程，进而得到所求之积.

【解答】解：双曲线C；^-x2=l(a>0)的上焦点F2(0,c)(c>0)到双曲线一条渐近线y^ax的

又l+/=c2,可得。=2,

即有渐近线方程为y=±2r,

则双曲线两条渐近线的斜率之积为-4.

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

x2y2

7.椭圆C一+■=1的长轴长与焦距之差等于()

8035

A.V5B.2V5C.2V6D.3^/6

【考点】椭圆的几何特征.

【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】B

【分析】根据椭圆的标准方程求出mb,c,再求长轴长2〃与焦距2c之差.

x2y2

【解答】解：因为椭圆C：—+—=1,

8035

所以〃2=80,廿=35,所以a=4前，c=Va2—b2=3A/5,

所以长轴长2a=8A/5,焦距2c=6v

所以长轴长与焦距之差等于2a-2c=2V5.

故选：B.

【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题.

8.已知椭圆。的焦点为乃(-1,0),F2(1,0),过正2的直线与。交于A,3两点.若|A尸2|=2下2引，

\AB\=\BFi\,则。的方程为()

X22x2y2

A.一+y=1B.—+—=1

2/32

x2y2x2y2

C.—+—=1D.一+一=1

4354

【考点】椭圆的弦及弦长.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】B

【分析】法一：设尸2引="，则|A/2|=2小\BFi\=\AB\=3nf由椭圆的定义有2。="乃|+由/切=4%在4

A为五2和尸2中，由余弦定理结合cosZAF2F1+COSZBF2F1=0,两式消去cosNA尸2/1,cos/BFzFi,

然后转化求解即可.

法二：设尸26=”则|4/2|=2%\BFi\=\AB\=3n,由椭圆的定义，在△AF1B中,由余弦定理转化求解

椭圆方程即可.

【解答】解：法一：由已知可设下2B尸〃,则|4尸2|=2〃,\BFi\=\AB\=3n,由椭圆的定义有2a=|B"+|B政|

=4〃，

：.\AFi\=2a-\AFi\=2n.

入，llhf,入上人处^曰（22

在△AM"和45尸汨2中，由余弦定Tm理/得4n2+44—02•2n°•2•cos仁Z厂-A厂F^=c42n，

22

In+4-2•n-2•cos^BF2Fr=9n

又NAfYFi,/BF2F1互补，cosZAF2F1+cosZBF2F1=0,两式消去cosNA尸2尸1,COSZBF2F1,

得3n2+6=lln2,解得几=亨.

/.2a=4n=2V・••a=遮,•••Z）2=a2—c2=3—1=2,

%2y2

•..所求椭圆方程为77+—=1,

32

故选：B.

法二：如图,由已知可设下2初=%则闺切=2%\BFi\=\AB\=3n,

由椭圆的定义有2a=\BFi\+\BF2\^4n,：.\AFi\^2a-|4放|=2〃.

在△AF18中，由余弦定理推论得cos4i2B=磐二二=1

，1H

在△AA7?2中，由余弦定理得44+4n2—2•2n・2n•可=4,解得几=2.

.*.2a=4n=2聒,・••a=遮,•••fo2=a2—c2=3—1=2,

x2y2

・••所求椭圆方程为7T+-=1,

32

故选：B.

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

XV

9.已知八R是椭圆C：-+-=1(^>0)的左、右焦点，。是坐标原点，过/作直线与C交于

A,8两点，若|AF2|=|AB|,且△。4八的面积为:则椭圆C的离心率为()

6

V3V3V3V3

A.—B.—C.—D.—

12632

【考点】椭圆的弦及弦长.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】C

【分析】根据题意，设/尸凶尸2=仇再利用余弦定理结合椭圆的性质可解.

【解答】解：,・•椭圆C—+^7=1左、右焦点分别为乃，F2,过尸2的直线与。交于A,

，一V39

5两点，且以尸i|=|A3|,△04为的面积为丁启，

6

•••SM&B=2X秀2=事A

在尸1尸2中，设/乃AF2=e,0G(0,it),

由余弦定理可得回尸2『=|AFIF+|AP2|2-2|AF1||AF2|COS0,

即4c2=(|AFI|+|AF2)|2-2|AFI||AF2|-2|AFi||AF2|cos9=4a2+(-2-2cos9)|AFI||AF2|,

可得(2+2cos0)|AFi||AF2|=4^-4a2=4Z72,

：.&FIAF2的面积S=1|AFi||AF|sin0=加/=枭2,

L2J.十COSt/D

V3sin0-cos0=1,

即sin(0—=义，V0—(―^,—),

oLoo6

,n_n

,•0-3)

又列=|AB|,

：.^AFiB是等边三角形，即|AH|=|BR|=|A3|,

由椭圆的定义可得|4列+|Mi|+|AB|=4a,

故|A"=竽，|AR|=竽，所|=竽，

：.AB1FIF2,

则四1|2=四2|2+尸1时，即(?)2=(y)2+(2c)2,整理得/=302,

故离心率e=E=亨.

故选：C.

【点评】本题考查椭圆的性质，考查计算能力，属于中档题.

10.已知过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点厂的动直线交抛物线C于A,8两点，。为线段的中点,

尸为抛物线C上任意一点，若|尸尸|+|尸。|的最小值为6,贝Up=()

D.6V2

【考点】抛物线的焦点与准线.

【专题】对应思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义得到|尸网+|尸。|的最小值为|。。|,再去求|。。|的最小值p即可.

【解答】解：抛物线C：J=2px(p>0)的焦点为尸虎，0),准线为x=—与

根据题意，过点。作准线刀=-§的垂线，垂足为交抛物线C于点P,连接尸R

于是|PN+|PQ|=I尸。I+IPQI=|。。|,即|P尸I+IPQ的最小值为|。。|，

在抛物线C上任取点P,过P作准线x的垂线，垂足为。'，连接PRP'Q,D'Q.

则有|尸用+|PQ=|尸'。'|+『'。|冽。QI2|纱|全,

当且仅当点P'与点P重合且为O时取等号，

所以『尸|+|「。|的最小值为p=6.

故选：C.

X

2

【点评】本题考查抛物线的性质，属于中档题.

二.填空题(共5小题)

11.若圆M的圆心在无轴上，且与直线>=无相切，则圆M的标准方程可以为5-2)2+丫2=2(答案

不唯一).(写出满足条件的一个答案即可)

【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据题意，举出符合题意的圆，验证可得答案.

【解答】解：根据题意，对于圆(尤-2)2+y2=2,其圆心为(2,0),在无轴上，

半径为我，而圆心到直线>=尤的距离则直线y=尤与圆相切，符合题意.

故答案为：(X-2)2+y2=2(答案不唯一).

【点评】本题考查圆的标准方程，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题.

12.已知48=4,点尸是以线段为直径的圆上任意一点，动点M与点A的距离是它与点3的距离的应

倍，则FM的取值范围为ro>8+4V21.

【考点】两点间的距离公式.

【专题】数形结合；定义法；直线与圆；数学运算.

【答案】[0,8+4V2].

【分析】以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出点M的轨迹方

程，利用数形结合法求出FM的取值范围.

【解答】解：以的中点。为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

设A(-2,0),B(2,0),M(x,y),

则：J(x+2>+*=727(%-2)2+y2,

化简得：/+/-12尤+4=0,

即(%-6)2+y2=32,

所以点M的轨迹是以Q(6,0)为圆心，4V2为半径的一个圆，

OO与O。的位置关系是相交，所以|PM的取值范围是[0,8+4V2].

故答案为：[0,8+4V2].

【点评】本题考查了求点的轨迹方程以及两圆的位置关系应用问题，是基础题.

22

13.已知双曲线C：[一4=l(a>0,b>0)的焦距为2限C的一条渐近线与曲线y=£cos2x在x=咨

azL°

111

处的切线垂直,为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点。，则77F+音万==_.

\OM\Z\ON\ZA

【考点】直线与双曲线的综合.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】7-

4

2

【分析】根据题意易得。=V2,6=2,再设0M直线方程为y^kx,从而可得"=y2=

2—k2—k

22

从而可得|0河|2=4"+J,QN2=4(/C+1),再计算即可得解.

2-r2k-1

i

【解答】解：•.•>=]cos2x,.力'=-sin2x,

・・・y/|37r=—¥，・•・双曲线的一条渐近线斜率为VL

=V2,又c=V6,心=心+序,

a

解得a=VLb=2,

x2y2

•••双曲线C的方程为二—―=1,

24

设直线方程为y=fcc,

联立可得(2--/=4,

A12

24_・24k

.'.Xv~~729

2—k'2-k

A4724（卜2+1）

11244k

.\\0M\=x^y=2+.2

2Q—k72Q—k2—必

又以MN为直径的圆经过坐标原点。，

；.0N直线方程为产-玄

K.

4(-L+l)2

以“一±“代替|OM|2中的“左“，可得|0川2=4=4也+1),

k2-力2k-1

222

•---1---|----1-----2---k--_|--2--k----l------k--+--l-----1

"\0M\2\0N\2~4(fc2+l)4(fc2+l)-4(fc2+l)-4'

1

故答案为：

4

【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，化归转化思想，属中档题.

14.己知曲线G：x\x\+y\y\^4-,。为坐标原点.给出下列四个结论：

①曲线G关于直线y=x成轴对称图形；

②经过坐标原点O的直线/与曲线G有且仅有一个公共点；

③直线/：x+y=2与曲线G所围成的图形的面积为11-2；

④设直线/：y^kx+2,当在(-1,0)时，直线/与曲线G恰有三个公共点.

其中所有正确结论的序号是①③④.

【考点】曲线与方程.

【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】①③④.

【分析】分尤，y的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，由图可得①正确；当斜率为-1时

结合渐近线可得②错误；由四分之一圆面积减去三角形面积可得③正确；由图形可得④正确.

rx2+y2—4,x>0,y>0

【解答】解:：曲+的=4可化为卜：7一，x>0,y<0；

yz—xz=4/x<0,y>0

、一％2—y2=4,%VO,y<0

因为当xVO,yVO时，-W-y2=4无意义，无此曲线，故舍去，

%2+y2=4,%>0/y>0

x2—y2=4,x>0,y<0,

(y2—x2=4/x<0,y>0

对于①，由图象可得曲线G关于直线y=x成轴对称图形，故①正确；

对于②，由于左上和右下部分双曲线的。=从所以渐近线方程为y=-x,所以当直线的斜率为-1时，

过原点的直线与曲线无交点，故②错误；

对于③，设直线/与x,y交点分别为A,B,因为圆方程中半径为2,且点A(2,0),B(0,2),所以

11

直线与曲线围成的图形的面积为X7rx22--x2x2=7r-2,故③正确；

对于④，由于直线丫=日+2恒过(0,2),当左=0时，直线与无平行，有一个交点；

当左=-1时，与渐近线平行，此时有两个交点，当-结合斜率的范围可得有三个交点，如图，

④正确.

故答案为：①③④.

【点评】本题主要考查了曲线方程的应用，还考查了直线与曲线位置关系的应用，属于中档题.

15.如图，在△ABC中，已知/BAC=120°,其内切圆与AC边相切于点。，且4。=1,延长54到E,

使连接CE,设以E,C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为ei,以E,C为焦点且经过点A

的双曲线的离心率为e2,则eie2的取值范围是(1,+8).

B

A

C匕------------

【考点】双曲线的几何特征；椭圆的几何特征.

【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】(1,+8).

【分析】设M，G分别是BC,BE与圆的切点，设CD=CM=GE=m,利用椭圆，双曲线的定义分切

求出ei,e2的表达式，进而可得eie2的表达式，然后求出机的取值范围即可得解.

【解答】解：如图以CE的中点为原点直角坐标系，

设M,G分别是8C,与圆的切点，由圆的切线性质得AG=AO=1,

设CD=CM=GE=m所以AC=1+机，AE^GE-AG^m-1,

在△ACE中，CE2=CA2+EA2-2CA'EAcos60°=(m+l)2+(w-1)2-(m+1)(m-1)=川+3,

以E,C为焦点经过点A的双曲线的离心率为e2=岭9，

以E,。为焦点经过点A的椭圆的离心率为马=/一，

则6送2=2亦=4+碗'

在△ABC中，设所以BC=MI+〃，AB=n+\,AC=m+l,

由余弦定理可得BC2=BA2+CA2-2A4・ACcosl20°,

即(m+n)2=("+1)"+(m+1)~-2(n+1)(m+1)X(—/),

所以加=3*3〃+3,所以几=震＞3得心3,

由对勾函数的单调性可得函数y=*+尚在(3,+8)上单调递增，

所以e^2=E+磊冶+羡=1.

故答案为：(1,+°°).

【点评】本题考查椭圆和双曲线的性质，以及圆的切线性质，根据圆锥曲线的定义结合条件表示出ei,

e2,然后根据余弦定理结合条件求出参数的取值范围是解出此题的关键，属于中档题.

三.解答题(共5小题)

16.已知双曲线E：弓■-4=1((2>0,6>0)的离心率6=逐，双曲线E与圆。：x2+y2—t2(r>0)的一

ab

个交点坐标是(¥P，蜜).

(1)求双曲线E和圆。的标准方程；

(2)过双曲线E上的一点尸作圆。的两条切线/1,12,若/1,/2的斜率分别为匕，ki,证明：krki为

定值；

(3)在(2)的条件下，若切线/1,/2分别与双曲线E相交于另外的两点M,N,证明：M,O,N三点

共线.

【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征.

【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算.

【答案】⑴/—宁=1,x2+y2=-

(2)证明过程见解析；

(3)证明过程见解析.

【分析】(1)由题意，根据题目所给信息列出等式求出。和b的值，进而可得双曲线和圆的方程；

(2)设出点P的坐标和直线/1的方程，根据点到直线的距离公式推出匕,后是关于左的方程(3峙-4)/^2—

6x°yok+3据-4=0的两个不同的实数根，得到a•6=二，进而即可得证；

DXQ4

(3)将直线/I的方程与双曲线方程联立，结合韦达定理以及(2)中所得信息进行求证即可.

【解答】解：(1)因为双曲线E的离心率0=逐且双曲线E与圆。的一个交点坐标为(警，察)，

仅=髀有

所以《（嚼）2（袈）2

^=1

1。2+b2=C2

解得。2=1,庐=4,

4=

则双曲线E的标准方程为/一1,圆。的标准方程为/+y2=i

（2）证明：不妨设尸（xo,yo）,直线/i的方程为y-yo=h（x-xo）,

因为直线/1与圆O相切,

|yo-^i^ol2^3

所以一I=

村+13

2

即3(七%0-y0)=4(好+1),

整理得(3诏-4)kj-6x0y0k1+3韬-4=0,

同理得(3就-4)理-6x0y0k2+3yo-4=0,

22

所以ki,左是关于k的方程（3培-4）k-6x0y0k+3诏-4=0的两个不同的实数根,

可得自/2=舞怖，

因为点尸在双曲线E上,

所以12就—3诏=12

固卜k_3羽一4_12以一16

则心.的.再一飞乔-4,

故总•依为定值，定值为4；

(y-yo=fci(x-xo)

(3)证明：联立,2，

-yT=1

22

消去y并整理得(4-kl)x-2(y0-七与)七%-(y0-fciX0)-4=0(fcx彳±2),

2

此时/=[2(%—fciXo)^]+4(4-fcf)[(y0-k&T+4]>0,

不妨设M(xi,yi),

2

由韦达定理得%0•%=_啊+4,

4—k1

由(2)得3(后右一yo)2=4(般+1),

氯后+4）

所以,X]—

4-向

不妨设N（X2,丁2）,

同理得％o•%2=-式）2+，,

4一々2

知+4）

所以包=_4-好=（4一抬）（密+4）=4账-4状一般状+16

+4

X2|（/C2）（4-般）（公+4）4必-4好-好必+16’

4-厩

由（2）得左次2=4,

所以迎=-1,

久2

即XI+X2—0,

因为，M,N在双曲线上，

所以yi+y2=0或yi="（舍去）.

综上，M,O,N三点共线.

【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中

档题.

x2y2,x2y2

17.如图，双曲线Ci：---=1（。>0,b>0）的左、右焦点Fi,歹2分别为双曲线C2：----T=1的

azbz4az4bz

左、右顶点，过点H的直线分别交双曲线Ci的左、右两支于A,3两点，交双曲线C2的右支于点M

（与点厂2不重合），且△8H尸2与AAB政的周长之差为2.

（1）求双曲线Ci的方程；

（2）若直线MF2交双曲线Ci的右支于DE两点.

①记直线的斜率为％,直线。E的斜率为42,求知b的值；

②试探究：|OE|TAB|是否为定值？并说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的综合；双曲线的几何特征.

【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算.

【答案】⑴=

(2)①3；

②|DE|-|A3|为定值，定值为4.

【分析】(1)由题意，根据题目所给信息以及。，b,c之间的关系列出等式求出。和6的值，进而可得

双曲线的方程；

(2)①设出点M的坐标，根据点M在双曲线C2上以及斜率公式再进行求解即可；

②结合(1)中信息得到直线A8的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式再

进行求解即可.

【解答】解:(1)不妨设下1尸2|=2C,

因为ABg尸2与△48/2的周长之差为2,

所以|8利+/由2|--|A珂=2,

即2c-2a=2,

又因为Fl,尸2分别为双曲线C2的左、右顶点，

所以c—2a,

解得。=1，c=2,

则房=3,

故双曲线C1的方程为/—1=1；

X2V2

(2)①由(1)知，双曲线Q的方程为丁一言=1,%(—2,0),92(2,0),

不妨设M(xo,yo),

因为点M在双曲线Q上，

4•、皿=3；

则七•k

2%o+2XQ—2XQ—4

②由(1)知直线A3的方程为y=h(x+2),

y—女式％+2）

2y2_,消去y并整理得（3-烂）％2一4后%-4蜉-3=0,

x亏-1

不妨设A（xi,yi）,B（X2,丁2）,

4H——2

由韦达定理得+泡=——匕，%