考点03 实数的运算（解析版）

考点三实数的运算知识点整合(1)实数的加减法则.注意异号两数相加时,取“绝对值较大”的数的“符号”.(2)实数的乘除法则.注意“异号”得“负”，除法中的除数不等于0.两数的积为0,则两数中至少有一个为0.(3)实数的乘方开方运算中,乘方时,注意底数相同,开平方时,被开方数为非负数.(4)实数的混合运算中,在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．(5)实数的运算律:加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律、分配律.(6)熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算.注意运算顺序，分清先算什么，再算什么.考向一实数的综合运算典例引领1．计算：．【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根，算术平方根，平方差公式进行计算即可求解．【详解】原式．2．计算：【答案】3【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分别计算乘方，化简算术平方根和立方根，然后再计算加减运算即可．【详解】解：．3．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)5【分析】本题主要考查了实数的混合计算．（1）直接利用算术平方根，绝对值的性质化简以及实数数加减运算法则计算即可；（2）直接利用立方根、算术平方根性质以及绝对值的性质分别化简计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．4．已知，，，．(1)请化简这四个数．(2)根据化简结果，列式表示这四个数中“有理数的和”与“无理数的积”的差，然后计算结果．【答案】(1)8，1，，(2)【分析】本题主要考查实数的运算，实数的分类．（1）根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的定义分别求解即可；（2）根据题意列出算式，再进一步计算即可．【详解】（1）解：，，，．（2）解：由（1）中结果知：，为有理数，，为无理数，．5．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）根据有理数的加减计算法则求解即可；（2）根据有理数乘法分配律进行求解即可；（3）先计算立方根，算术平方根和乘方，再计算加减法即可；（4）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．6．计算：(1)；(2)求式中x的值：．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先计算立方根，算术平方根及绝对值，再计算加减即可；（2）先移项，再根据平方根的定义解方程即可．【详解】（1）原式（2）或7．计算：【答案】【分析】本题考查实数的混合运算，先运算乘方，开方和去绝对值，然后运算加法是解题的关键．【详解】解：．8．对任意有理数，定义一种运算“”：．(1)计算的结果为______；(2)计算的值；(3)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．【答案】(1)(2)22(3)定义的新运算“”对交换律成立【分析】本题主要考查了新定义下实数运算．（1）按照给定的新定义运算计算即可；（2）先按照新定义运算计算，再将其结果与计算即可求出结果；（3）按新定义分别运算和即可说明理由．【详解】（1）解：（2）；（3）∵，，∴，定义的新运算“”对交换律成立．9．符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下：，，，…(1)利用以上运算的规律写出；（为正整数）(2)计算；(3)计算的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】此题主要考查了定义新运算，解题的关键是观察数字规律和熟练掌握实数的运算法则．（）根据题意中的运算，观察规律即可写出；（）由（）中求出的表达式，即可求出的值；（）由（）中求出的表达式，即可求出的值．【详解】（1）解：∵，，，，…，∴，故答案为：；（2）∵，，，，，∴；（3）．10．观察下列各式：第1个式子：．第2个式子：．第3个式子：．……根据其规律，解答下列问题：(1)__________．(2)第n个式子为__________．(3)利用以上规律计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了有理数计算中的规律问题，掌握“裂项”规律是解题关键，此题旨在考查学生的举一反三能力．（1）观察各等式左右两边的变化规律，即可求解；（2）第n个式子左边为：，右边为：；（3）利用所得规律即可“裂项”求解．【详解】（1），故答案为：；（2）解：第n个式子为：故答案为：；（3）解：原式．．11．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，(1)第5个式子为________，第个式子为________．(2)计算：(3)计算：【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根据题目中给出的条件及对应规律，即可求出5个式子和第个式子；（2）根据第1问的规律，寻找第二问和第一问的关系即可求出的值；（3）先找出分母的规律，寻找此规律是第一问分母规律的，按照第一问的规律即可求出答案．【详解】（1）解：由题意知，第5个式子为：，第个式子为：．故答案为：；．（2）解：故答案为：．（3）解：故答案为：．【点睛】本题考查了数字规律，解题的关键在于通过例子寻找规律公式．12．阅读下面的文字，解答问题：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答：(1)的整数部分是，小数部分是；(2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值【答案】(1)2；(2)【分析】本题考查无理数的估算，涉及二次根式性质、代数式求值，读懂文字材料，理解表示无理数整数部分与小数部分的方法是解决问题的关键．（1）先估算的范围，再由材料中的方法表示即可得到答案；（2）先估算的范围，再由材料中的方法表示，代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：，，的整数部分为2，小数部分为，故答案为：2；；（2）解：，，是的整数部分，是的小数部分，，，．13．如图，数轴上A点表示的数是，P是数轴上一动点．

(1)在数轴上，把点A向左平移4个单位长度得到点B，求点B表示的数；(2)若点C表示的数是B所表示数的相反数，求点C表示的数；(3)若点P从点A向点B以每秒3个单位长度向B运动，到达点B后又向A运动，到达A后再向B运动，如此往复运动问当点P运动2022秒时，点P与点C的位置有什么关系？请说明理由．【答案】(1)(2)(3)P在C点的左侧，理由见解析【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键．（1）根据数轴上两点距离即可求解；（2）根据相反数的定义即可求解；（3）根据题意，得出P运动2022秒时，P在A点左侧个单位长度，即P表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解．【详解】（1）解：∵数轴上A点表示的数是，把A点向左平移4个单位长度得到B点，∴B点表示的数为；（2）解：∵点表示的数是B所表示数的相反数，∴点表示的数为；（3）解：，∴P运动2022秒时，P在A点左侧2个单位长度，即P表示的数为，因为表示的数是，∴，∵，∴，即．∴P在C点的左侧．

14．一个数值转换器，如图所示：

(1)当输入的为时，输出的值是______；(2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由；(3)若输出的是，请求出两个满足要求的值．【答案】(1)(2)或，理由见解析(3)5或【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可；（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．【详解】（1）解：当时，的算术平方根为，而是有理数，的算术平方根为，而是有理数，的算术平方根为，故答案为：；（2）或，理由如下：因为的算术平方根是，的算术平方根是，无论进行多少次运算都不可能是无理数；（3）若次运算就是无理数，则输入的数为，若次运算输出的数是无理数，则输入的数是，∴满足要求的值可以是：5或．【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．15．下图是一个数值转换机

(1)当输入的x为16时，输出的y值是______．(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______．(3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______．【答案】(1)；(2)和1；(3)5和25．【分析】（1）根据算术平方根，即可解答；（2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出值；（3）根据625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，进行回答即可．【详解】（1）的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，的算术平方根是，是无理数，输出，故答案为：（2）和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，当和1时，始终输不出的值，故答案为：和1；（3）625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，当和5时，输出的y是，故答案为：5和25．【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．16．如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．

(1)当输入的x值为时，求输出的y值；(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；(3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值．【答案】(1)(2)1或2或3，理由见解析(3)【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可；（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．【详解】（1）解：当时，，4的算术平方根为，而2是有理数，2的算术平方根为，故答案为：；（2）解：1或2或3，理由如下：∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，∴当或0时，解得或2或3，∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数；（3）解：若1次运算就是，∴∴∴解得或，∴x为负整数，则输入的数为；若2次运算输出的数是，∴∴∴解得或∵∴不符合题意，综上所述，．【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键．17．一个数值转换器如图所示：

(1)当输入的值为16时，输出的值是______；(2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______；(3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值．【答案】(1)(2)0，1(3)，【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数，继续取算术平方根，不是无理数，继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为；故答案为：；（2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数；故答案为：0，1；（3）解：25的算术平方根为5，5的算术平方根是，∴，都满足要求．【点睛】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．18．如图是一个按运算规则进行的数值转换器：(1)若输入的x为16，则输出的y值是；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是；(3)若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值．【答案】(1)(2)0或1(3)5，25（答案不唯一）【分析】（1）由，，，即可得到答案；（2）根据1和0的算术平方根还等于它本身，即可做出解答；（3）根据题意写出两个满足要求的x值即可．【详解】（1）解：∵，，，∴输入的x为16，输出的y值是，故答案为：（2）∵1和0的算术平方根还等于它本身，∴输入0或1后，始终输不出y值，故答案为：0或1（3）∵，5的算术平方根是，∴两个满足要求的x值可以是25或5．故答案为：5，25（答案不唯一）【点睛】此题考查了算术平方根、实数的分类，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键．19．对于任意实数a、b，用“※”定义新运算如下：(1)．如．已知的结果是6，求的值．(2)．如．已知结果为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了新定义，根据平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是的关键．（1）根据题目所给新定义的运算法则，得出，根据平方根的定义即可求解；（2）根据题目所给新定义的运算法则，得出，根据立方根的定义即可求解．【详解】（1）解：由题意，得，∵∴，则∴．（2）解：由题意，得，∵，∴，则，∴∴．20．规定：将n个整数，，按一定顺序排列组成一个n元有序数组，n为正整数，记作，，，称此数组中各个数绝对值之和为“模和”S，即．将所有满足“模和”为S的n元有序数组的个数为记为．例如：若二元数组的“模和”，即，其中满足条件的二元有序数组有，，，，共4个，则．请根据以上规定完成下列各题：(1)填空：，．(2)若，则．(3)用含为正整数）的式子填空：．【答案】(1)2；8(2)99(3)【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．（1）根据例子，仿照写出、；（2）从例子和（1）求得的值，总结规律；（3）求、、时，的值，从中总结规律．【详解】（1）解：，，即，满足条件的一元有序数组有（1）、，共两个，，，，即，满足条件的二元有序数组有、、、、、、、，共8个，则；故答案为：2；8．（2）解：由、，可得，，时，；故答案为：99．（3）解：时，，满足条件的三元有序数组有，0，、，1，、，0，、，0，、，，、，0，，共6个，则，时，，时，，．故答案为：．21．规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与．(1)数对的一对“对称数对”是______；(2)若数对的一个“对称数对”是，则的值是______；(3)若数对一个“对称数对”是，求的值．【答案】(1)与(2)1(3)或【分析】本题主要考查了新定义运算，理解和应用新定义是解本题的关键．（1）根据新定义即可得出答案；（2）根据新定义可得，解方程即可得出答案；（3）根据新定义得出方程组，解方程即可得出答案．【详解】（1）解：，，数对的一对“对称数对”是与，故答案为：与（2）解：数对的一个“对称数对”是，，，故答案为：1；（3）解：数对一个“对称数对”是，或，或．22．观察下列各式：第一个式子：；第二个式子：；第三个式子：；…(1)求第四个式子为：；(2)求第n个式子为：（用n表示）；(3)求＋…＋的值．【答案】(1)(2)（n为正整数）(3)【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，解题的关键是：（1）观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题．（2）利用（1）中的发现即可解决问题．（3）根据（2）中的结论即可解决问题．【详解】（1）解：观察题中所给式子可知，第四个式子为：．故答案为：．（2）由（1）中的发现可知，第个式子为：．故答案为：为正整数）．（3）原式．23．若a是不为1的有理数，我们把称为a的伴随数．比如：2的伴随数是．(1)求的伴随数．(2)若，是的伴随数，是的伴随数，…以此类推，则______，______，______．(3)若，是的伴随数，是的伴随数，…以此类推，则______．【答案】(1)(2)，，(3)【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；（2）根据新定义的运算法则计算即可；（3）根据新定义的运算法则计算，，，，的值，发现，，，为一个循环，从而的解．【详解】（1）解：的伴随数是；（2），，；（3），，，，，由上述计算得，，，，为一个循环，，．【点睛】本题考查了有理数的混合运算和新定义-数a的伴随数，能灵活运用有理数的运算法则进行计算是解此题的关键．24．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．；；

(1)请用含有为正整数的等式______；(2)推算出______．(3)求出的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意找出规律，根据规律解答即可；（2）根据题意找出规律，根据规律解答即可；（3）根据题意列出算式，根据乘方法则，加法法则计算即可．【详解】（1）解：由题意得：，故答案为：；（2），所以，故答案为：；（3）．【点睛】本题考查的是勾股定理、数字的变化规律，根据题意找出规律是解题的关键．25．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图1样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4．

(1)A类正方形的边长是________；(2)求长方形邀请函的周长；(3)小李建议将图1正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含意，如图2所示，则修改后的阴影部分的周长是________．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键．（1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是；（2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是，则长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解即可；（3）如图，由题意知，阴影部分由两个类长方形，两个类长方形，一个类正方形组成，则类长方形的长为，宽为2，周长为；类长方形的长为2，宽为，周长为；根据阴影部分的周长为，计算求解即可．【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2，∴A类正方形的边长是，故答案为：；（2）解：∵B类正方形的面积是4，∴B类正方形的边长是，∴长方形的长为，宽为，∵，∴长方形邀请函的周长为；（3）解：如图，由题意知，阴影部分由两个类长方形，两个类长方形，一个类正方形组成，

类长方形的长为，宽为2，周长为；类长方形的长为2，宽为，周长为；∴阴影部分的周长为，故答案为：．变式拓展1．计算：．【答案】1【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键，根据完全平方公式、算术平方根的定义、立方根的意义求解即可．【详解】解：原式．2．计算.(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数混合运算的顺序和运算法则．【详解】（1）解：原式；（2）原式.3．计算：【答案】6【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根、立方根（正数的立方根是正数）以及平方运算，得，再计算即可作答．【详解】解：．4．计算：；【答案】2.6【分析】本题考查实数的混合运算，分别对根号下进行变形或计算，再计算算术平方根和立方根，然后依次相加、减是解题的关键．【详解】解：，．5．计算：(1)(2)【答案】(1)1(2)3【分析】本题考查了实数的运算．（1）根据算术平方根、立方根的性质化简，再计算加减即可；（2）根据乘方、算术平方根的性质化简，再计算加减即可．【详解】（1）解：；（2）解：．6．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．(1)当m=1时，输出的结果为________．(2)当实数m的一个平方根是﹣时，求输出的结果．【答案】(1)0(2)-2【分析】（1）将m=1代入流程图，逐步计算即可；（2）根据题意求出m的值，代入流程图计算即可求出值．【详解】（1）解：当m=1时，；（2）根据题意得：m==3，∴．【点睛】此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：；；；；；．(1)归纳*运算的法则：两数a，b进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________．(2)计算：________．(3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由；【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．等于这个数的平方．(2)17(3)，【分析】本题主要考查新定义下的有理数运算，根据*运算的运算法则进行运算，（1）根据*运算归纳出*运算的运算法则即可；（2）根据*运算的运算法则，以及有理数的混合运算即可求得答案；（3）根据*运算的运算法则，将原式化简，再结合平方的非负性即可解得答案；【详解】（1）解：两数a，b进行∗运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行∗运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方．（2）原式，（3）∵，∴，∴，，解得，，8．阅读理解题．定义：如果一个数的平方等于，记，这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：；(2)计算：；(3)计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1），据此即可求解；（2）利用材料所给乘法运算和乘方运算法则即可求解；（3）据此可找到规律求解．【详解】（1）解：故答案为：（2）解：原式（3）解：由题意可得：∵∴原式【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了学生举一反三以及抽象概括能力．9．【阅读】求值解：设①，将等式①的两边同时乘以2得：②由②－①得：即：【运用】仿照此法计算：；【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2023次，依次得到小正方形、、、…、．

完成下列问题：①小正方形的面积_______，________；②求正方形、、、…、的面积和．【答案】运用：；延伸：①，；②【分析】（1）设，两边乘以5得到，两等式相减得到，得到，即可；（2）①根据，，，，可得；②设，两边都乘以，得到，两等式相减得到，即可得出．【详解】运用：解：令①，得：②，①得：，整理得：，即；延伸：解：①根据题意：，，，，依此规律，，故答案为：，；设，两边都乘以得：，两等式相减得到，．【点睛】本题考查数字类规律的探索，解决问题的关键是明确题意，探究数字的变化规律，运用探究得到的规律解答．10．观察下列算式：①；②；③；④；…(1)写出第⑥个等式；(2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示）(3)计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）观察所给的等式，直接写出即可；（2）通过观察可得第个等式为；（3）利用（2）的规律，将所求的式子化为，再运算即可．【详解】（1）解：第⑥个等式为，故答案为：；（2）第个等式为，故答案为：；（3）．【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键．11．请你观察：；；；…；；以上方法称为“裂项相消求和法”请类比完成：(1)______；(2)______；(3)计算：的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根据题意，对式子进行裂项，求解即可；（2）根据题意，对式子进行裂项，求解即可；（3）根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可．【详解】（1）解：；（2）；（3）．【点睛】此题考查了与实数有关的运算，解题的关键是理解题意，正确的对每一项进行裂项，然后求解．12．如图是一个无理数筛选器的工作流程图．(1)当x为9时，y值为；(2)如果输入0和1，（填“能”或“不能”）输出y值；(3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值：．（写出两个即可）【答案】(1)(2)不能(3)5或25（答案不唯一）【分析】（1）根据运算流程图，即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断；（3）根据运算法则，进行逆运算即可得到满足题意的x值．【详解】（1）解：当输入x=9时，9的算术平方根为3，不是无理数，3的算术平方根为，即；故答案为：（2）解：当输入x=0或1时，因为0的算术平方根是0，始终是有理数，1的算术平方根是1，也始终是有理数，所以不能输出y；故答案为：不能（3）解：当时，，此时x=5；当时，，，此时x=25；故答案为：5或25（答案不唯一）【点睛】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解工作流程图是解题的关键．13．如图为一个数值转换器．(1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________；(2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值．(3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______．【答案】(1)(2)36(3)0或1【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值；（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．【详解】（1）当时，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为；当，取算术平方根为3，3是有理数，继续计算，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为；故答案为：，（2）当时，，，则（3）当x=0，1时，始终输不出y值，∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，∴他输入的x值是0或1．故答案为：0或1．【点睛】本题考查了程序与实数计算，理解题意是解题的关键．14．如图为一个数值转换器．(1)当输入的x值为4时，输出的y值为；当输入的x值为16时，输出的y值为；(2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x值；(3)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？【答案】(1)；(2)输入的x值为9(3)他输入的x值为0或1【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解．（2）对平方两次即可出答案．（2）始终输不出y值，x为非负数，则x的任何算术平方根都是有理数，只有0和1，即可得到答案．【详解】（1）解：依据题意得：当x=4时，，继续输入x=2，结果：；当x=16时，是有理数，继续输入x=4，是有理数，继续输入x=2，结果：；故答案为：；．（2）∵输出y的值为，∴第二次输入的数为，∴第一次输入的数为；∴输入的值为9．（3）∵x为非负数，∴当x=1时，1的算术平方根是1，1是有理数，始终输不出y值，∴当x=0时，0的算术平方根是0，0是有理数，，始终输不出y值，∴x取值为1或0．【点睛】此题考查算术平方根概念及无理数，解题关键是正确理解题目中规定的运算．15．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与．(1)点的一对“相伴点”的坐标是_________与____________；(2)若点的一对“相伴点”重合，则的值为__________；(3)若点的一个“相伴点”的坐标为，求点的坐标．【答案】(1)或(2)0(3)或【分析】对于（1），根据新定义解答即可；对于（2），分别表示出a，b，再根据点重合得出答案；对于（3），分两种情况列出方程组，再求出解即可．【详解】（1）根据题意可知，，所以一对“相伴点”是点与．故答案为：，；（2）根据题意可知，，因为一对“相伴点”重合，所以，即，解得．故答案为：0；（3）分两种情况讨论：当时，解得，所以点B的坐标是；当时，解得，所以点B的坐标是．所以点B的坐标是或．【点睛】