（解答题）云南省近10年初中数学学业水平考试试卷考点统计分析（解析版）

云南省近10年（2014——2023）初中数学学业水平考试考点统计分析(第二部分：解答题)（解析版）目录TOC\o"1-3"\h\u考点1数据的统计 1考点2概率 9考点3特殊四边形的性质与判定 15考点4一次函数的综合应用 25考点5圆的综合 31考点6二次函数的综合 45考点7实数的混合运算 53考点8全等三角形的判定与性质 54考点9分式方程的实际应用 58考点10分式的化简求值 61考点11数式规律问题 62考点12一元一次不等式组的解法 64考点13二元一次方程组的应用 64考点14一元一次方程的应用 66考点15解直角三角形的应用 67考点16反比例函数的应用 69考点1数据的统计云南省近10年初中数学学业水平考试试卷考点统计分析(解答题)2023年2022年2021年2020年2019年2018年2017年2016年2015年2014年考点1数据的统计C3C1C3C3C3C3C3C5C7C4全面调查与抽样调查;用样本估计总体;条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图用样本估计总体、中位数、频数(率)分布表中位数、众数、算术平均数算术平均数、中位数、众数中位数、众数、加权平均数条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图统计表扇形统计图条形统计图扇形统计图条形统计图用样本估计总体1、[2023年云南]19.(本小题7.0分)调查主题某公司员工的旅游需求调查人员某中学数学兴趣小组调查方法抽样调查背景介绍某公司计划组织员工前往5个国家全域旅游示范区(以下简称示范区)中的1个自费旅游.这5个示范区为：

A.保山市腾冲市；B.昆明市石林彝族自治县；C.红河哈尼族彝族自治州弥勒市；D.大理白族自治州大理市；E.丽江市古城区．

某中学数学兴趣小组针对该公司员工的意向目的地开展抽样调查，并为该公司出具了调查报告(注：每位被抽样调查的员工选择且只选择1个意向前往的示范区)．报告内容请阅读以上材料，解决下列问题(说明：以上仅展示部分报告内容)．

(1)求本次被抽样调查的员工人数；

(2)该公司总的员工数量为900人，请你估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数．【答案】解：(1)30+18+15+24+13=100(人)．

故本次被抽样调查的员工人数是100人；

(2)900×30.00%=270(人)．

故估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数是270人．

【解析】(1)把5个示范区的人数相加，求出总人数即可解决问题；

(2)利用样本估计总体的思想解决问题即可．

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．2、[2022年云南]19.(本小题8.0分)

临近端午节，某学校数学兴趣小组到社区参加社会实践活动，帮助有关部门了解某小区居民对去年销量较好的鲜花粽、火腿粽、豆沙粽、蛋黄粽四种粽子的喜爱情况．在对该小区居民进行抽样调查后，根据统计结果绘制如下统计图：

说明：参与本次抽样调查的每一位居民在上述四种粽子中选择且只选择了一种喜爱的粽子．

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)补全条形统计图；

(2)若该小区有1820人，估计喜爱火腿粽的有多少人？【答案】解：(1)抽样调查的总人数：70÷35%=200(人)，

喜欢火腿粽的人数为：200−70−40−30=60(人)，

补全条形统计图如图所示：

(2)根据题意得：1820×60200=546(人)，

答：喜爱火腿粽的有546【解析】(1)先计算出抽样调查的总人数，用总人数减去喜欢其它三种粽子的人数即可，从而补全统计图；

(2)根据样本估计总体计算即可．

本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，体现了用样本估计总体的思想．

3、[2021年云南]17.(本小题8.0分)

垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源.为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”(满分为100分).该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法(即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法)抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．

(1)以下三种抽样调查方案：

方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；

方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；

方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．

其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是______(填写“方案一”、“方案二”或“方案三”)；

(2)该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表(90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分)样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分10083.5995%40%10052分数段50≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x≤100频数57183040结合上述信息解答下列问题：

①样本数据的中位数所在分数段为______；

②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有______人.【答案】(1)方案三

(2)①80≤x<90；②626

【解析】解：(1)根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本进行调查分析，是最符合题意的．

故答案为：方案三；

(2)①样本总数为100人，成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在80≤x<90区间里，因此中位数在80≤x<90组中；

②由题意得，1565×40%=626(人)，

故答案为：①80≤x<90；②626．

(1)根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；

(2)①根据样本的中位数，估计总体的中位数所在的范围；

②根据优秀率为40%解答．

本题考查抽样调查、中位数的意义，样本估计总体是统计中常用的方法．

4、[2020年云南]17.(本小题8.0分)

某公司员工的月工资如下：员工经理副经理职员A职员B职员C职员D职员E职员F杂工G月工资/元700044002400200019001800180018001200

经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员工的收入情况．

设该公司员工的月工资数据(见上述表格)的平均数、中位数、众数分别为k、m、n，请根据上述信息完成下列问题：

(1)k=______，m=______，n=______；

(2)上月一个员工辞职了，从本月开始，停发该员工工资，若本月该公司剩下的8名员工的月工资不变，但这8名员工的月工资数据(单位：元)的平均数比原9名员工的月工资数据(见上述表格)的平均数减小了．你认为辞职的那名员工可能是______．【答案】(1)2700，1900，1800

(2)经理或副经理

【解析】解：(1)平均数k=(7000+4400+2400+2000+1900+1800×3+1200)÷9=2700，

9个数据从大到小排列后，第5个数据是1900，所以中位数m=1900，

1800出现了三次，次数最多，所以众数n=1800．

故答案为：2700，1900，1800；

(2)由题意可知，辞职的那名员工工资高于2700元，所以辞职的那名员工可能是经理或副经理．

故答案为：经理或副经理．

(1)求出9个数据之和再除以总个数即可；对于中位数，按从大到小的顺序排列，找出最中间的那个数即可；出现频数最多的数据即为众数；

(2)根据剩下的8名员工的月工资数据的平均数比原9名员工的月工资数据的平均数减小，得出辞职的那名员工工资高于2700元，从而得出辞职的那名员工可能是经理或副经理．

本题考查了确定一组数据的平均数、中位数和众数的能力．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．5、[2019年云南]17.(本小题8.0分)

某公司销售部有营业员15人，该公司为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，公司有关部门统计了这15人某月的销售量，如下表所示：月销售量/件数177048022018012090人数113334(1)写出这15名营业员该月销售量数据的平均数、中位数、众数；

(2)如果想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，你认为(1)中的平均数、中位数、众数中，哪个最适合作为月销售目标？请说明理由．

【答案】解：(1)这15名营业员该月销售量数据的平均数：

1770+480+220×3+180×3+120×3+90×415=278(件)，

数据从大到小排列后最中间的数是180，

故中位数为：180件，

因为90出现了4次，出现的次数最多，

故众数是：90件；

(2)如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，平均数、中位数、众数中

，中位数最适合作为月销售目标；理由如下：

因为中位数为180件，月销售量大于180与小于180的人数一样多，

【解析】本题考查的是平均数、众数和中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题．

(1)根据平均数、众数和中位数的意义进行解答即可；

(2)根据平均数、中位数和众数的意义以及得出的数据进行分析即可得出答案．

6、[2018年云南]17.(本小题8.0分)某同学参加了学校举行的“五好小公民⋅红旗飘飘”演讲比赛，7名评委给该同学的打分(单位：分)情况如下表：评委评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7打分6878578(1)直接写出该同学所得分数的众数与中位数；(2)计算该同学所得分数的平均数【答案】解：(1)将所得分数从小到大排列，此数据为：5，6，7，7，8，8，8，

则数据8出现了三次最多为众数，7处在第4位为中位数；

(2)该同学所得分数的平均数=(5+6+7×2+8×3)÷7=7．

【解析】本题考查了平均数、众数与中位数.解题关键在于根据众数、中位数的定义，平均数=总数÷个数即可得出答案．

(1)根据众数与中位数的定义求解即可；

(2)根据平均数的定义求解即可．

7、[2017年云南]17.(本小题8.0分)某初级中学正在展开“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行”的“创文活动”为了了解该校志愿者参与服务情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整统计图．条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者数与样本容量的比．

(1)请补全条形统计图；(2)若该校共有志愿者600人，则该校九年级大约有多少志愿者？【答案】解：(1)由题意总人数=20÷40%=50(人)，

八年级被抽到的志愿者：50×30%=15(人)，

九年级被抽到的志愿者：50×20%=10(人)，

条形图如图所示：

(2)该校共有志愿者600人，则该校九年级大约有600×20%=120(人)，

答：该校九年级大约有120名志愿者．

【解析】本题考查条形图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是掌握基本概念，熟练应用所学知识解决问题．(1)根据百分比= 所占人数总人数计算即可解决问题，求出八年级、九年级被抽到的志愿者人数画出条形图即可；8、[2016年云南]19.某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用，因此学校随机抽取了部分同学就兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：

(1)设学校这次调查共抽取了n名学生；

(2)请你补全条形统计图；

(3)设该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢跳绳？【答案】解：(1)∵喜欢篮球的人数有25人，占总人数的25%，

∴2525％=100(人)；

(2)∵喜欢羽毛球的人数=100×20%=20(人)，

∴条形统计图如图；

(3)由已知得，1200×20%=240(人)．

答；该校约有240【解析】(1)根据喜欢篮球的人数有25人，占总人数的25%即可得出总人数；

(2)根据总人数求出喜欢羽毛球的人数，补全条形统计图即可；

(3)求出喜欢跳绳的人数占总人数的20%即可得出结论．

本题考查的是条形统计图，熟知从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较是解答此题的关键．

9、[2015年云南]21.2015年某省为加快建设综合交通体系，对铁路、公路、机场三个重大项目加大了建设资金的投入．

(1)机场建设项目中所有6个机场投入的建设资金金额统计如图1，已知机场E投入的建设资金金额是机场C，D所投入建设资金金额之和的三分之二，求机场E投入的建设资金金额是多少亿元？并补全条形统计图；

(2)将铁路、公路机场三项建设所投入的资金金额绘制成了如图2扇形统计图以及统计表，根据扇形统计图及统计表中信息，求得a=______，b=______，c______，d______，m______.(请直接填写计算结果)铁路公路机场铁路、公路、机场三项投入建设资金总金额(亿元)投入资金(亿元)300abm所占百分比c34%6%所占圆心角216°d21.6°【答案】(1)(2+4)×23=4，答：机场E投入的建设资金金额是4亿元，

如图所示：

(2)170；30；60%；122.4°；【解析】解：(1)见答案

(2)c=1−34%−6%=60%，300÷(1−34%−6%)=500(亿)

a=500×34%=170(亿)，

b=500×6%=30(亿)，

d=360°−216°−21.6°=122.4°，

m=300+170+30=500(亿)．

故答案为：170，30，60%，122.4°，500．

【分析】

(1)由机场E投入的建设资金金额是机场C，D所投入建设资金金额之和的三分之二，即可得到结果；

(2)根据扇形统计图及统计表中提供的信息，列式计算即可得到结果．

本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的应用，根据图象得出正确的信息是解题关键．

10、[2014年云南]18.(本小题9.0分)

为了解本校九年级学生期末数学考试情况，小亮在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A(100～90)、B(89～80分)、C(79～60分)、D(59～0分)四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题：

(1)这次随机抽取的学生共有多少人？

(2)请补全条形统计图；

(3)这个学校九年级共有学生1200人，若分数为80分(含80分)以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？

【答案】解：(1)20÷50%=40(人)，

答：这次随机抽取的学生共有40人；

(2)B等级人数：40−6−20−4=10(人)

条形统计图如下：

(3)1200×6+1040=480(人)，

这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有480【解析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

(1)抽查人数可由C等所占的比例为50%，根据总数=某等人数÷比例来计算；

(2)可由总数减去A、C、D的人数求得B等的人数，再补全条形统计图；

(3)用样本估计总体．用总人数1200乘以样本中测试成绩等级在80分(含80分)以上的学生所占百分比即可．

考点2概率云南省近10年初中数学学业水平考试试卷考点统计分析(解答题)2023年2022年2021年2020年2019年2018年2017年2016年2015年2014年考点2概率C4C2C5C5C5C5C5C7C6C5用列举法求概率(列表法与树状图法);用列举法求概率(列表法与树状图法)、游戏公平性用列举法求概率(列表法与树状图法)概率公式、用列举法求概率(列表法与树状图法)用列举法求概率(列表法与树状图法)、游戏公平性用列举法求概率(列表法与树状图法)用列举法求概率(列表法与树状图法)用列举法求概率(列表法与树状图法)用列举法求概率(列表法与树状图法)游戏公平性用列举法求概率(列表法与树状图法)游戏公平性1、[2023年云南]20.(本小题7.0分)

甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种，记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C.假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等.记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y．

(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(x,y)所有可能出现的结果总数；

(2)求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P．【答案】解：(1)画树状图如下：

共有9种等可能的结果，分别为(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)，(B,C)，(B,B)、(C,A)、(C,B)、(C,C)；

(2)由(1)可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的结果有3种，

∴甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P=39=【解析】(1)根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果即可；

(2)由(1)可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的结果有3种，再由概率公式求解即可．

此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2、[2022年云南]20.(本小题7.0分)

某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．

游戏规则如下，在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球(除标号外，其余都相同)，甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a.在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片(除标号外，其余都相同)，乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b.然后计算这两个数的和，即a+b.若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》．

(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求(a,b)所有可能出现的结果总数；

(2)你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？【答案】解：(1)按游戏规则计算两个数的和，列表如下：

从表中可以看出共有8种等可能的情况．

(2)我认为这个游戏公平，理由：

从表中可以看出共有8种等可能的情况，其中和为奇数与和为偶数的可能性各有4种，

所以P(和为奇数)=P(和为偶数)，

∴这个游戏公平．

【解析】(1)利用列表法解答即可；

(2)利用计算概率的方法解答即可．

本题主要考查了列表法或树状图法，游戏的公平性，事件的概率，利用游戏规则正确列出表格是解题的关键．

3、[2021年云南]19.(本小题7.0分)

为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”.该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为x1、x2，1名男生，记为y1；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为x3，2名男生，分别记为y2、y3.现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．

(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)【答案】解：(1)树状图如下图所示：

由上可得，出现的代表队一共有9种可能性，每种可能的概率相等．

(2)由(1)可知，一共9种可能性，其中一男一女出现有5种，

故选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P=59．【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可以画出相应的树状图，并写出一共有多少种可能性；

(2)根据(1)中的结果和树状图，可以得到选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率．

本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是画出相应的树状图，求出相应的概率．

4、[2020年云南]19.(本小题7.0分)

甲、乙两个家庭来到以“生态资源，绿色旅游”为产业的美丽云南，各自随机选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的一个城市旅游．假设这两个家庭选择到哪个城市旅游不受任何因素影响，上述三个城市中的每一个被选到的可能性相同，甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率为P．

(1)直接写出甲家庭选择到大理旅游的概率；

(2)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求P的值．【答案】解：(1)甲家庭选择到大理旅游的概率为13；

(2)记到大理、丽江、西双版纳三个城市旅游分别为A、B、C，

ABCA(A,A)(A,B)(A,C)B(B,A)(B,B)(B,C)C(C,A)(C,B)(C,C)由表格可知，共有9种等可能性结果，其中甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的有3种结果，

所以甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率P=39【解析】(1)直接用概率公式求解可得；

(2)记到大理、丽江、西双版纳三个城市旅游分别为A、B、C，列表得出所有等可能结果，从中找到甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的结果数，根据概率公式求解可得．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．5、[2019年云南]19.(本小题7.0分)

甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其它差异).从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示．若x+y为奇数，则甲获胜；若x+y为偶数，则乙获胜．

(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x,y)所有可能出现的结果总数；

(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【答案】解：(1)画树状图如图所示，

共有16种等可能的结果数；

(2)x+y为奇数的结果数为8，x+y为偶数的结果数为8，

∴甲获胜的概率=816=12，乙获胜的概率=816=12，【解析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

画树状图展示所有16种等可能的结果数，然后根据概率公式求解判断是否公平．

6、[2018年云南]19.(本小题8.0分)将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片(注：这三张卡片的形状、大小、质地，颜色等其他方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y．

(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，写出(x,y)所有可能出现的结果．

(2)求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P．【答案】解：(1)画树状图得：

由树状图知共有6种等可能的结果：(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2);

(2)∵共有6种等可能结果，其中数字之和为偶数的有2种结果，

∴P(取出的两张卡片上的数字之和为偶数)=26=【解析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率.解题关键在于注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有等可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．

(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果;

(2)由(1)中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果中数字之和为偶数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．

7、[2017年云南]19.(本小题8.0分)在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字6，−2，7的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机取出1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字。(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，写出所有可能出现的结果；

(2)求两次取出的小球上的数字相同的概率P．【答案】

解：

(1)

所以所有等可能出现的结果为(6,6)，(6,−2)，(6,7)，(−2,6)，(−2,−2)，(−2,7)，(7,6)，(7,−2)，(7,7)；(2)P(两次取出的小球上的数字相同)=3

【解析】本题主要考查列表或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解此题的关键是准确列表或画树状图，找出所有的等可能情况，即可求得概率．(1)画树状图后即可写出所有等可能出现的结果，即可求解；(2)利用概率公式即可求解．8、[2016年云南]21.某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖．

(1)请用列表或树状图(树状图也称树形图)的方法(选其中一种即可)，把抽奖一次可能出现的结果表示出来；

(2)假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P．【答案】解：(1)列表得：123412345234563456745678(2)由列表可知，所有可能出现的结果一共有16种，这些结果出现的可能性相同，其中两次所得数字之和为8、6、5的结果有8种，所以抽奖一次中奖的概率为：P=816=12．【解析】(1)首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果；

(2)根据概率公式进行解答即可．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．9、[2015年云南]20.现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片(卡片除数字外，其他都相同)，先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．

(1)请用列表或画树形图(树状图)的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；

(2)小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由．【答案】解：(1)如图所示：

共18种情况，数字之积为6的情况数有3种，P(数字之积为6)=318=16．

(2)由上表可知，该游戏所有可能的结果共18种，其中骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7的有7种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7的有11【解析】(1)列举出所有情况，看向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的情况数占总情况数的多少即可．

(2)概率问题中的公平性问题，解题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．

本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

10、[2014年云南]19.(本小题7.0分)

某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：

将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片(除数字外其余都相同)洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．

(1)请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果；

(2)你认为这个规则公平吗？请说明理由．【答案】解：(1)根据题意列表得：

123412345234563456745678(2)由列表得：共16种情况，其中奇数有8种，偶数有8种，

∴和为偶数和和为奇数的概率均为12，

∴这个游戏公平．【解析】(1)用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可；

(2)求得两人获胜的概率，若相等则公平，否则不公平．

本题考查了游戏公平性及列表与列树形图的知识，难度不大，是经常出现的一个知识点．

考点3特殊四边形的性质与判定云南省近10年初中数学学业水平考试试卷考点统计分析(解答题)2023年2022年2021年2020年2019年2018年2017年2016年2015年2014年考点3特殊四边形的性质与判定C6C3C6C8C6C9C6C4C8C8平行四边形的性质;平行线之间的距离;三角形的面积;菱形的判定与性质;平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质矩形的性质、菱形的判定与性质、翻折变换(折叠问题)相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形的概念及其性质、角平分线的性质矩形的判定与性质、三角形内角和定理平行四边形的性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理菱形的判定与性质、等腰三角形的性质菱形的性质、解直角三角形、矩形的判定矩形的性质平行四边形的判定与性质1、[2023年云南]22.(本小题7.0分)

如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE=AF．

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若∠ABC=60°，△ABE的面积等于43，求平行线AB与DC【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠BCD，AD//BC，

∵AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，

∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠BCF=∠DCF=12∠BCD，

∴∠DAE=∠BCF，

∵AD//BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∴∠BCF=∠AEB，

∴AE//FC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AE=AF，

∴四边形AECF是菱形；

(2)解：连接AC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=EB，

∵∠ABC=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠BAE=∠AEB=∠ABEA=60°，

∵△ABE的面积等于43，

∴34AB2=43，

∴AB=4，

即AB=AE=EB=4，

由(1)知四边形AECF是菱形，

∴AE=CE=4，

∴∠EAC=∠ECA，

∵∠AEB是△AEC的一个外角，

∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=60°，

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，

【解析】(1)根据平行四边形对角相等得到∠BAD=∠BCD，再根据AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，可得到∠DAE=∠BCF，再根据平行四边形对边平行得到∠DAE=∠AEB，于是有∠BCF=∠AEB，得出AE//FC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形AECF是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；

(2)连接AC，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证得AB=EB，结合已知∠ABC=60°得到△ABE是等边三角形，从而求出AB=AE=EB=EC=4，∠BAE=60°，再证得∠EAC=30°，即可得到∠BAC=90°，根据勾股定理求出AC的长，从而得出平行线AB与DC间的距离．

本题考查了菱形的判定与性质，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形是此题的关键，理解平行线间的距离的定义，等边三角形的性质与判定．2、[2022年云南]21.(本小题8.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°．

(1)求证：四边形ABDF是矩形；

(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BA//CD，

∴∠BAE=∠FDE，

∵点E是AD的中点，

∴AE=DE，

在△BEA和△FED中，

∠BAE=∠FDEAE=DE∠BEA=∠FED，

∴△BEA≌△FED(ASA)，

∴EF=EB，

又∵AE=DE，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∵∠BDF=90°．

∴四边形ABDF是矩形．

(2)解：由(1)得四边形ABDF是矩形，

∴∠AFD=90°，AB=DF=3，AF=BD，

∴AF=AD2−DF2=52−32=4，

∴S矩形ABDF=DF⋅AF=3×4=12，BD=AF=4，

【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE=∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED(ASA)，即知EF=EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF=90°，即得四边形ABDF是矩形；

(2)由∠AFD=90°，AB=DF=3，AF=BD，得AF的长，进而得到矩形ABDF的面积，再求出△BCD的面积，即可得四边形ABCF的面积S．

本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，证明△BEA≌△FED．3、[2021年云南]20.(本小题8.0分)

如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点.若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．

(1)求证：四边形BEDF是菱形；

(2)若ED=2AE，AB⋅AD=33【答案】解：(1)证明：矩形ABCD沿BD折叠，使E，F重合，

∴BE=BF，DE=DF，∠EDB=∠FDB．

∵四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，

∴DE//BF，

∴∠EDB=∠FBD，

∴∠FDB=∠FBD．

∴BF=DF，

∴BE=BF=DE=DF，

∴四边形BFDE是菱形．

(2)如图，∵AB⋅AD=33，

∴S△ABD=12AB⋅AD=323，

∵ED=2AE，

∴ED=23【解析】(1)证明∠FDB=∠FBD，得到OF=OE即可得出结论．

(2)由ED=2AE，AB⋅AD=33，可得出菱形BEDF的面积，进而可得出EF·BD的值．

本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

4、[2020年云南]22.(本小题9.0分)

如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，重足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，重足为F，

(1)若∠BAD=60°，求证：四边形CEHF是菱形；

(2)若CE=4，△ACE的面积为16，求菱形【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴∠CAE=∠CAF=∠30°，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE=CF，

∵H为对角线AC的中点，

∴EH=FH=12AC，

∵∠CAE=30°，CE⊥AB

∵CE=12AC，

∴CE=EH=FH，

∴CE=EH=FH=CF，

∴四边形CEHF是菱形；

(2)∵CE⊥AB，CE=4，△ACE的面积为16，

∴AE=8，

∴AC=CE2+AE2=45，

连接BD，则BD⊥AC，AH=12AC=25，

∵∠AHB=∠AEC=90°，∠BAH=∠EAC，

∴△ABH∽△ACE，【解析】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

(1)根据菱形的性质得到∠CAE=∠CAF，根据角平分线的性质得到CE=CF，根据直角三角形的性质得到EH=FH=12AC，于是得到结论；

(2)根据三角形的面积公式得到AE=8，根据勾股定理得到AC=CE2+AE25、[2019年云南]20.(本小题8.0分)

如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若∠AOB：∠ODC=4：3，求∠ADO的度数．【答案】解：(1)证明：∵AO=OC，BO=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，

∴∠DAO=∠ADO，

∴AO=DO，

∴AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形；

(2)∵四边形ABCD是矩形，

∴AB/​/CD，

∴∠ABO=∠CDO，

∵∠AOB：∠ODC=4：3，

∴∠AOB：∠ABO=4：3，

∵OA=OD=OB，

∴∠BAO：∠AOB：∠ABO=3：4：3，

∵∠BAO+∠AOB+∠ABO=180°，

∴∠ABO=54°，

∵∠BAD=90°，

∴∠ADO=90°−54°=36°．

【解析】本题考查了矩形的判定和性质，三角形的内角和，正确的理解题意是解题的关键．

(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的外角的性质得到∠DAO=∠ADO，推出AC=BD，于是得到四边形ABCD是矩形；

(2)根据矩形的性质得到AB/​/CD，根据平行线的性质得到∠ABO=∠CDO，根据三角形的内角和定理得到∠ABO=54°，于是得到结论．

6、[2018年云南]23.(本小题8.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．

(1)若△ABE的面积为30，直接写出S的值；(2)求证：AE平分∠DAF；(3)若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．【答案】解：(1)60(2)如图，延长AE交BC延长线于点H，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD/​/BC，

∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，

∵E为CD的中点，

∴CE=ED，

∴△ADE≌△HCE，

∴AD=HC，AE=HE，

∴AD+FC=HC+FC，

由AF=AD+FC和FH=HC+FC，得AF=FH，

∴∠FAE=∠CHE，

又∵∠DAE=∠CHE，

∴∠DAE=∠FAE，

∴AE平分∠DAF．

(3)如图，连接EF，

∵AE=BE，AE=HE，

∴AE=BE=HE，

∴∠BAE=∠ABE，∠HBE=∠BHE，

∵∠DAE=∠CHE，

∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE，即∠DAB=∠CBA，

由四边形ABCD是平行四边形，得∠DAB+∠CBA=180°，

∴∠CBA=90°，

∴AF2=AB2+BF2=16+(5−FC)2=(FC+CH)2=(FC+5)2，

解得：FC=45，

∴AF=FC+CH=295

【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的外心和圆周角定理的推论．

(1)作EG⊥AB于点G，利用△ABE的面积=12×AB×EG=30，结合平行四边形ABCD的面积=AB·EG即可得出答案．

解：(1)如图，作EG⊥AB

则S△ABE=12×AB×EG=30，

∴AB·EG=60，

∴平行四边形(2)延长AE交BC延长线于点H，利用四边形ABCD是平行四边形的性质，结合E为CD的中点即可证明得出△ADE≌△HCE，利用三角形全等的性质即可得出△AFH为等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得出结论．

(3)连接EF，先由AE=BE，AE=HE得出AE=BE=HE得出△ABE和△BHE为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质结合平行四边形的性质即可得出∠CBA=90°，利用勾股定理求出FC的长度，最后根据AE=HE，AF=FH得出FE⊥AH，然后根据圆周角定理的推论判断得出AF是△AEF的外接圆直径，即可得出△AEF的外接圆的周长．

7、[2017年云南]20.(本小题8.0分)

如图，ΔABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．

(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．【答案】解：(1)∵AD⊥BC，点E，F分别是AB，AC的中点，∴Rt△ABD中，DE=1Rt△ACD中，DF=1∵AB=AC，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，∴四边形AEDF是菱形．(2)∵菱形AEDF的周长为12，∴AE=3，

如图

设EF=x，AD=y，则x+y=7，∴x2∵AD⊥EF于O，∴Rt△AOE中，∴AO∴1即x2把②代入①可得：2xy=13，∴xy=13∴菱形AEDF的面积为S=1

【解析】本题考查的是菱形的判定与性质，等腰三角形的性质有关知识．(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质，得出DE=12AB=AE，DF=12AC=AF，再根据AB=AC，点E，F分别是AB，(2)设EF=x，AD=y，则x+y=7，进而得x2+2xy+y2=49，再根据Rt△AOE，A8、[2016年云南]18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE//AC，CE//BD．

(1)求tan∠DBC的值；

(2)求证：四边形OBEC是矩形．【答案】(1)解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD//BC，∠DBC=12∠ABC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∵∠ABC：∠BAD=1：2，

∴∠ABC=60°，

∴∠DBC=12∠ABC=30°，

∴tan∠DBC=tan30°=33；

(2)证明：∵BE//AC，CE//BD，

∴四边形OBEC是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，【解析】(1)由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠DBC度数，即可求出tan∠DBC的值；

(2)利用两组对边平行的四边形是平行四边形，由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．

此题考查了矩形的判定，菱形的性质，以及解直角三角形，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

9、[2015年云南]22.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．

(1)求证：∠PNM=2∠CBN；

(2)求线段AP的长．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，

∴MN//BC，

∴∠CBN=∠MNB，

∵∠PNB=3∠CBN，

∴∠PNM=2∠CBN；

(2)连接AN，

根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，

∵MN//AD，

∴∠PAN=∠ANM，

由(1)知∠PNM=2∠CBN，

∴∠PAN=∠PNA，

∴AP=PN，

∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，

∴DN=2，

设AP=x，则PD=6−x，

在Rt△PDN中

PD2+DN2=PN2，

∴(6−x)2+【解析】(1)由MN//BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；

(2)连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由(1)知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD//MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．

本题主要考查了矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．

10、[2014年云南]22.(本小题7.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．

(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；

(2)求证：BD=3MN【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD//BC，

∵M、N分别是AD、BC的中点，

∴MD=NC，MD/​/NC，

∴四边形MNCD是平行四边形；

(2)如图：连接ND，

∵四边形MNCD是平行四边形，

∴MN=DC．

∵N是BC的中点，

∴BN=CN，

∵BC=2CD，∠C=60°，

∴△NCD是等边三角形．

∴ND=NC，∠DNC=60°．

∵∠DNC是△BND的外角，

∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，

∵DN=NC=NB，

∴∠DBN=∠BDN=12∠DNC=30°，

∴∠BDC=90°．

设MN=a，则CD=a，BC=2a

∴由勾股定理得：BD=3【解析】(1)根据平行四边形的性质，可得AD与BC的关系，根据MD与NC的关系，可得证明结论；

(2)根据根据等边三角形的判定与性质，可得∠DNC的度数，根据三角形外角的性质，可得∠DBC的度数，根据勾股定理，可得答案．

本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质

考点4一次函数的综合应用云南省近10年初中数学学业水平考试试卷考点统计分析(解答题)2023年2022年2021年2020年2019年2018年2017年2016年2015年2014年考点4一次函数的综合应用C5C4C7C7C8C7C8C8c4一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用一次函数的应用、一元一次不等式组的应用一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用一次函数的应用、二次函数的应用表格信息型、一次函数的应用一次函数的应用一元一次不等式的应用二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式一次函数的应用1、[2023年云南]21.(本小题7.0分)

蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意.某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．

(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；

(2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买)，购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的13，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？【答案】解：(1)设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，

根据题意得：2m+4n=52003m+n=2800，

解得：m=600n=1000，

∴每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元；

(2)设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买B种型号帐篷(20−x)顶，

∵购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的13，

∴x≤13(20−x)，

解得x≤5，

根据题意得：w=600x+1000(20−x)=−400x+20000，

∵−400<0，

∴w随x的增大而减小，

∴当x=5时，w取最小值，最小值为−400×5+20000=18000(元)，

∴20−x=20−5=15，

答：购买A种型号帐篷5顶，购买B【解析】(1)设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，根据若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元得：2m+4n=52003m+n=2800，即可解得答案；

(2)设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，由购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的13，可得x≤5，而w=600x+1000(20−x)=−400x+20000，根据一次函数性质可得答案．2、[2022年云南]22.(本小题8.0分)

某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．

(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？

(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出最少费用．【答案】解：(1)设每桶甲消毒液价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，

由题意可得：9x+6y=6158x+12y=780,

解得x=45y=35,

答：每桶甲消毒液价格为45元，每桶乙消毒液的价格为35元；

(2)由题意可得，

W=45a+35(30−a)=10a+1050，

∴W随a的增大而增大，

∵甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，

∴a≥30−a+5a≤2(30−a)，

解得17.5≤a≤20，

∵a为整数，

∴当a=18时，W取得最小值，此时W=1230，30−a=12，

答：购买甲消毒液18桶，乙消毒液12【解析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．

(1)根据购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；

(2)根据题意，可以写出W与a的函数关系式，根据甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，可以得到a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到W的最小值．

3、[2021年云南]21.(本小题8.0分)

某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．

方案一：没有底薪，只付销售提成；

方案二：底薪加销售提成．

如图中的射线l1，射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y1(单位：元)和y2(单位：元)与其当月鲜花销售量x(单位：千克)(x≥0)的函数关系．

(1)分别求y1、y2与x的函数解析式(解析式也称表达式)；

(2)若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3【答案】解：(1)设y1=k1x，

根据题意得40k1=1200，

解得k1=30，

∴y1=30x(x≥0)．

设y2=k2x+b，

根据题意，得b=80040k2+b=1200，

解得【解析】(1)由待定系数法就可以求出解析式；

(2)利用(1)中求出的两函数的解析式，把x=70代入求解即可．

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键．

4、[2020年云南]21.(本小题8.0分)

众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：目的地

车型A地(元/辆)B地(元/辆)大货车9001000小货车500700现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．

(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？

(2)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；

(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．【答案】解：(1)设大货车、小货车各有x与y辆，

由题意可知：15x+10y=260x+y=20，

解得：x=12y=8，

答：大货车有12辆，小货车有8辆；

(2)设到A地的大货车有x辆，

则到A地的小货车有(10−x)辆，

到B地的大货车有(12−x)辆，

到B地的小货车有(x−2)辆，

∴y=900x+500(10−x)+1000(12−x)+700(x−2)

=100x+15600，

其中2≤x≤10，x为整数．

(3)运往A地的物资共有[15x+10(10−x)]吨，

15x+10(10−x)≥140，

解得：x≥8，

∴8≤x≤10，x为整数，由y=100x+15600中100>0，y随x的增大而增大，

∴当x=8时，y有最小值，此时y=100×8+15600=16400元，

答：总运费最小值为【解析】(1)设大货车、小货车各有x与y辆，根据题意列出方程组即可求出答案．

(2)根据题中给出的等量关系即可列出y与x的函数关系．

(3)先求出x的范围，然后根据y与x的函数关系式即可求出y的最小值．

本题考查一次函数，解题的关键是正确求出大货车、小货车各有12与8辆，并正确列出y与x的函数关系式

5、[2019年云南]22.(本小题9.0分)

某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如图所示：

(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；

(2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．【答案】解：

(1)当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y=kx+b(k≠0)

根据题意得1000=6k+b200=10k+b，解得k=−200b=2200

∴y=−200x+2200

当10<x≤12时，y=200

故y与x的函数解析式为：y=−200x+2200,(6≤x≤10)200,(10<x≤12)

(2)由已知得：W=(x−6)y

当6≤x≤10时，

W=(x−6)(−200x+2200)=−200(x−172)2+1250

∵−200<0，抛物线的开口向下

∴x=172时，取最大值，

∴W=1250

当10<x≤12时，W=(x−6)⋅200=200x−1200【解析】(1)根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得y与x的函数解析式；

(2)根据总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．

本题主要考查的是待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，根据相等关系列出函数解析式，并由二次函数的性质确定其最值是解题的关键；6、[2018年云南]21.(本小题8.0分)某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富．经过调查研究，他们决定利用当地生产的甲乙两种原料开发A，B两种商品，为科学决策，他们试生产A、B两种商品100千克进行深入研究，已知现有甲种原料293千克，乙种原料314千克，生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示．甲种原料

(单位：千克)乙种原料

(单位：千克)生产成本

(单位：元)A商品32120B商品2.53.5200设生产A种商品x千克，生产A、B两种商品共100千克的总成本为y元，根据上述信息，解答下列问题：

(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)，并直接写出x的取值范围；

(2)x取何值时，总成本y最小？【答案】解：(1)由题意可得：y=120x+200(100−x)=−80x+20000，

3x+2.5(100−x)≤293 2x+3.5(100−x)≤314，

解得：24≤x≤86;

(2)∵y=−80x+20000，

∴y随x的增大而减小，

∴x=86时，y最小．

则y=−80×86+20000=13120．

答：x取86时，总成本最少为13120元．【解析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数的性质以及不等式组的应用．

(1)根据题意表示出两种商品需要的成本，再利用表格中数据得出不等式组进而得出答案;

(2)利用一次函数增减性进而得出答案．7、[2017年云南]22.(本小题8.0分)在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A、B两种型号客车作为交通工具。下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A30人/辆380元/辆B20人/辆280元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数。设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元。(1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；(2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？【答案】解：(1)由题意：y=380x+280(62−x)=100x+17360．

∵30x+20(62−x)≥1441，

∴x≥20.1，

又∵x为整数，

∴x的取值范围为21≤x≤62的整数．

(2)由题意100x+17360≤21940，

∴x≤45.8，

∴21≤x≤45，

∴共有25种租车方案，

x=21时，y最小值=19460元．

答：共有25种方案，当A型客车租21辆，B型客车租41【解析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．

(1)根据租车总费用=A、B两种车的费用之和，列出函数关系式即可；

(2)列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题．8、[2016年云南]22.草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．

(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；

(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．【答案】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，

根据题意，得：20k+b=30030k+b=280，

解得：k=−2b=340，

∴y与x的函数解析式为y=−2x+340，(20≤x≤40)．

(2)由已知得：W=(x−20)(−2x+340)

=−2x2+380x−6800

=−2(x−95)2+11250，

∵−2<0，

∴当x≤95时，W随x的增大而增大，

∵20≤x≤40，

【解析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式与二次函数的应用，根据相等关系列出函数解析式，并由二次函数的性质确定其最值是解题的关键．

(1)待定系数法求解可得；

(2)根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．

9、[2015年云南]18.已知A，B两地相距200千米，一辆汽车以每小时60千米的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后不再行驶，设汽车行驶的时间为x小时，汽车与B地的距离为y千米．

(1)求y与x的函数关系，并写出自变量x的取值范围；

(2)当汽车行驶了2小时时，求汽车距B地有多少千米？【答案】解：(1)y=200−60x(0≤x≤103)；

(2)将x=2代入函数关系式得：y=200−60×2=80千米．

答：汽车距离B地【解析】(1)根据剩余的路程=两地的距离−行驶的距离即可得到y与x的函数关系式，然后再求得汽车行驶200千米所需要的时间即可求得x的取值范围．

(2)将x=2代入函数关系式，求得y值即可．

本题主要考查的是列函数关系式，读懂题意，明确剩余的路程=两地的距离−行驶的距离是解答本题的关键．

考点5圆的综合云南省近10年初中数学学业水平考试试卷考点统计分析(解答题)2023年2022年2021年2020年2019年2018年2017年2016年2015年2014年考点5圆的综合C7C5C8C6C9C8C9C6C9直线与圆的位置关系;相似三角形的判定与性质;圆周角定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定、正方形的性质、特殊角的三角函数值、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理、平行线的判定与性质相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的综合、圆周角定理切线的判定与性质、扇形面积的计算切线的判定与性质相似三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质勾股定理、切线的判定、平行线的判定与性质、三角形的面积、扇形面积的计算待定系数法求正比例函数解析式一次函数综合切线的判定与性质相似三角形的判定与性质1、[2023年云南]23.(本小题8.0分)

如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点.⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA⋅AC=DC⋅AB.设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2．

(1)判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若BC=BE【答案】解：(1)AE与⊙O相切，理由如下：

如图，连接OA，

∵DA⋅AC=DC⋅AB，

∴DADC=ABCA，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC=90°=∠ADC，

∴△ABC∽△DAC，

∴∠ACB=∠ACD，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACB=∠ACD，

∴OA//CD，

∴∠OAE=∠CDE=90°，

∴OA⊥DE，

又∵OA为半径，

∴AE与⊙O相切；

(2)如图，∵OA//CD，

∴△AOE∽△DCE，

∴AOCD=OEEC，

设BO=OC=OA=a，则BC=2a，

∵BC=BE=2a，

∴S△ABE=S△ABC，EO=3a，EC=4a，

∴aCD=3a4a，

∴CD=43a，【解析】(1)通过证明△ABC∽△DAC，可得∠ACB=∠ACD，可证OA⊥DE，即可求解；

(2)设BO=OC=OA=a，则BC=2a，由相似三角形的性质可求CD的长，即可求解．

本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．2、[2022年云南]23.(本小题8.0分)

如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O.P是⊙O的劣弧BC上的任意一点．连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD2=BC⋅BE．

(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若四边形ABCD是正方形，连接AC.当P与C重合时，或当P与B重合时，把PA+PCPD转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得PA+PCPD=2.当【答案】解：(1)DE与⊙O相切，理由如下：

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BCD=90°．

∵BD2=BC⋅BE，

∴BDBC=BEBD．

∵∠CBD=∠DBE，

∴△BCD∽△BDE，

∴∠BDE=∠BCD=90°．

∵点D在圆上，BD是⊙O的直径，

∴DE是⊙O的切线，

即：DE与⊙O相切；

(2)PA+PCPD=2仍然成立，理由如下：

如图，作FD⊥PD，交PC的延长线于F，

∴∠FDP=90°．

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=AD，∠ADC=90°，AC⊥BD，

∴∠COD=∠AOD=90°，∠ADC=∠FDP，

∴∠ADC−∠PDC=∠FDP−∠PDC，

即：∠ADP=∠CDF，

∵CD=CD，

∴∠CPD=12∠COD=45°，

同理可得：∠APD=12∠AOD=45°，

∴∠F=90°−∠DPF=90°−45°=45°，

∴∠F=∠FPD，sin∠F=PDPF=【解析】【解析】

本题考