2024年高考数学试题分类汇编：函数与导数

函数与导数

一、单选题

1.(2024•全国)已知函数为"x)=「j：2"：a,x<0,在R上单调递增，则。取值的范围

[e*+ln(x+l),尤20

是()

A.SO]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0收)

2.(2024•全国)已知函数为了⑴的定义域为R,/«>/(x-l)+/(x-2),且当x<3时

f(x)=x,则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

3.(2024•全国)设函数/(x)=a(x+l)2—l,g(尤)=cosx+2办，当时，曲线了=/(x)

与V(x)恰有一个交点，则。=()

A.-1B.1C.1D.2

4.（2024•全国）设函数/（x）=(x+a)ln(x+6),若/(x)20,则/+〃的最小值为()

B.1

C.yD.1

5.（2024・全国）曲线/（x）=x'>+3x-l在(0,-1)处的切线与坐标轴围成的面积为()

A•:B-TC.1D.-f

6.（2024•全国）函数=代+.-/卜iiu在区间［-2.8,2.8］的大致图像为()

7.（2024•全国）设函数=¥詈，则曲线y=〃x）在（0,1）处的切线与两坐标轴围

成的三角形的面积为（）

A.-B.-C.1D.|

6323

8.（2024•北京）己知（4M）,（%2，%）是函数y=2,图象上不同的两点，则下列正确的是（）

A.叱丁/:B.…广

J1

C.log2必>玉+/D.log22''<x,+x2

9.（2024•天津）下列函数是偶函数的是（）

x22x

Ae-x「cosx+x八e-x-sinx+4x

A.=———B.y=-------C.y-.........D.y=-w

x+1x+1'尤+1e

10.(2024•天津)若。=4.2一°3,1=4.2。3,

c=log420.2,则“，b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

11.（2024•上海）下列函数/（x）的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+cosxB.sinxcosx

C.sm•2x+cos2xD.sin2x-cos2x

12.（2024・上海）已知函数"X）的定义域为R,定义集合

Af={x0|x0eR,xe(-a>,x0),/(x)</(x0)),在使得M=[-1』的所有/(x)中，下列成立的

是（）

A.存在/（x）是偶函数B.存在/（x）在x=2处取最大值

C.存在f（x）是严格增函数D.存在“X）在h-1处取到极小值

二、多选题

13.(2024・全国)设函数/(x)=(x—l)2(x—4),则()

A.x=3是/(X)的极小值点B.当0<x<l时，/W</(x2)

C.当l<x<2时，-4</(2x-l)<0D.当-l<x<0时，/(2-x)>/(x)

14.(2024•全国)设函数/(x)=2/—3加+1,则()

A.当。＞1时，〃x）有三个零点

B.当。<0时，x=0是/(x)的极大值点

C.存在0,6,使得x=b为曲线了=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点(1J⑴)为曲线了=/(x)的对称中心

三、填空题

15.(2024•全国)若曲线y=e'+x在点(0,1)处的切线也是曲线了=ln(x+l)+。的切线，贝|

a=.

115

16.(2024•全国)已知。〉1,---------------7二-7，贝.

logWlog.42

17.(2024•全国)曲线>与了=-(尤-1『+。在(o,+动上有两个不同的交点，则。的

取值范围为.

18.(2024•天津)若函数/(X)=2A/7=--2|+1有唯一零点，则。的取值范围为.

19.(2024•上海)已知无)=[4户贝4/(3)=_____.

l,x<0

四、解答题

20.(2024•全国)已知函数/(x)=>*+ax+6(x-l)3

2-x

(1)若6=0,且广(x”0,求。的最小值;

(2)证明：曲线V=/(x)是中心对称图形；

(3)若/。)>一2当且仅当1<%<2,求6的取值范围.

21.(2024,全国)已知函数/(x)=e"-依一/.

(1)当。=1时，求曲线了=/(%)在点(1，/⑴)处的切线方程;

⑵若〃x)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

22.(2024•全国)已知函数〃x)=a(x-l)-lnx+l.

⑴求/(x)的单调区间；

(2)若aV2时，证明：当x>l时，/(x)<ei恒成立.

23.(2024•全国)己知函数/(x)=(l-ax)ln(l+x)-x.

⑴当a=-2时，求/(x)的极值;

⑵当x20时，〃x丝0恒成立，求a的取值范围.

24.(2024•北京)2知/(x)=x+Mn(l+x)在⑺)(/>0)处切线为。

⑴若切线/的斜率左=-1,求/(x)单调区间;

(2)证明：切线/不经过(0,0)；

⑶己知人=1,"(fj⑺)，C(0J⑺)，0(0,0),其中/>0,切线/与了轴交于点3时.当

2S“o=15S^B。，符合条件的A的个数为？

(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

25.(2024•天津)设函数/(x)=xlnx.

⑴求图象上点(1，〃1))处的切线方程；

⑵若在xe(0,+e)时恒成立，求a的取值范围；

⑶若玉,马€(0,1),证明|/(XJ_/(X2)K,_X2«.

26.(2024•上海)若/(x)=logaX(a>0,awl).

(1)广〃力过(4,2),求〃2x-2)<"x)的解集;

⑵存在X使得〃X+1)、/(ax),“X+2)成等差数列，求。的取值范围.

27.(2024・上海)对于一个函数和一个点朋'(a,6),令s(x)=(x-小+(〃x)-炉，若

P(X°J(x0))是s(x)取到最小值的点，则称P是/在/(X)的“最近点”.

⑴对于〃x)=J(x>0),求证：对于点M(0,0),存在点P,使得点P是M在/(X)的“最近

X

点”；

⑵对于〃x)=e',M(l,0),请判断是否存在一个点尸，它是“在/(x)的“最近点”，且直线

"P与y=/(x)在点p处的切线垂直；

⑶已知y=〃x)在定义域R上存在导函数/(X),且函数g(x)在定义域R上恒正，设点

M1(Z-l,/(/)-g(/)),此1+1J⑺+g(。).若对任意的feR,存在点尸同时是Mi，/?在

/(x)的“最近点”，试判断〃x)的单调性.

参考答案：

1.B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【解析】因为/(x)在R上单调递增，且xNO时，/■5)=6'+111(》+1)单调递增，

—->0

则需满足2x(7),解得一

-a<e°+In1

即。的范围是[TO].

故选：B.

2.B

【分析】代入得到/(1)=1,/(2)=2,再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

【解析】因为当"3时/(x)=x,所以/(1)=1J(2)=2,

又因为〃尤)>/(x-l)+/■(尤-2),

则/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(H)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233JQ3)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知"20)>1000,则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用/⑴=1,〃2)=2,再利用题目所给的函数性质

/(x)>/(x-l)+/(x-2),代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

3.D

【分析】解法一：令b(x)="+a-l,G(x)=cosx,分析可知曲线尸尸(x)与了=G(x)恰有

一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得。=2,并代入检验即可；

解法二：令〃(x)=/(x)-g(x),尤可知〃(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可

知〃(x)的零点只能为0,即可得。=2,并代入检验即可.

【解析】解法一：令/'(x)=g(x),gpa(x+l)2-l=cosx+2ax,可得ax?+a-l=cosx,

令尸(x)=ax2+a-1,G(x)=cosx,

原题意等价于当xe(-1,1)时，曲线尸尸(x)与尸G(x)恰有一个交点，

注意到尸(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得网0)=G(0),即a-l=l,解得a=2,

若a=2,令尸(x)=G(x),可得2X?+1—cosx=0

因为贝［|2-±0,1-cosxNO,当且仅当x=0时，等号成立，

可得2/+1-cosxNO,当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2X2+1-COSX=0有且仅有一个实根0,即曲线尸尸(x)与昨G(x)恰有一个交点,

所以。=2符合题意；

综上所述：(7=2.

解法二：令力(尤)=/(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx,xe(-1,1),

原题意等价于〃(x)有且仅有一个零点，

因为〃(-x)=+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=7z(x),

则/z(x)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知〃(X)的零点只能为0,

即力(0)=a-2=0,解得a=2,

若a=2,则〃(x)=2x+1-cosx,xe(-1,1),

又因为2x?20,1-cosxNO当且仅当x=0时，等号成立，

可得Mx)W0,当且仅当x=0时，等号成立，

即从“有且仅有一个零点0,所以。=2符合题意；

故选：D.

4.C

【分析】解法一：由题意可知：“X)的定义域为(-4+8),分类讨论-。与-41-6的大小关

系，结合符号分析判断，即可得6=。+1,代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分

析ln(x+6)的符号，进而可得x+a的符号，即可得6=。+1,代入可得最值.

【解析】解法一：由题意可知："X)的定义域为(-4+e),

令X+Q=0解得工=一〃；令ln(x+6)=0解得x=l—6；

若-aW-b,当了£(一仇1一6)时，可知x+〃〉0,ln(x+6)<0,

此时)('KO,不合题意；

若—b〈—a<\—b,当工£(一〃1一6)时，可知x+〃>0,In(%+/?)<0,

此时〃x)<0,不合题意；

若一4二1—6,当(一仇1一6)时，可知x+Q<0,ln(x+b)<0,止匕时/(x)>0；

当-仇+8)时，可知x+Q20,ln(x+Z?)>0,此时/(x)20；

可知若-〃=1-6,符合题意；

若—a>l—b,当X£(l—"一Q)时，可知x+a(0,ln(x+6》0,

此时/(x)<0,不合题意；

综上所述：一。二1一6,即b=a+l,

^a2+b2=a2+(a+^=2(a+^\当且仅当a=-1/=1时，等号成立，

所以/+〃的最小值为：；

解法二：由题意可知：AM的定义域为(-6,+8),

令X+Q=0解得工=一〃；令ln(x+b)=O解得％=1—6；

贝lj当了£(一41一人)时，ln(x+Z))<0,故x+〃V0,所以1—6+Q40；

xw(l—8+8)时，ln(x+Z?)>0,故x+〃20,所以1—6+aNO；

故1-6+〃=0,则/+/=/+(Q+1)2二+；1+；>；，

当且仅当。=一!力=:时，等号成立，

22

所以片+尸的最小值为

故选：C.

【点睛】关键点点睛：分别求x+a=O、ln(x+6)=0的根，以根和函数定义域为临界，比较

大小分类讨论，结合符号性分析判断.

5.A

【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.

【解析】r(x)=6x5+3,所以析(0)=3,故切线方程为y=3(x-0)-l=3x-l,

故切线的横截距为《，纵截距为-1,故切线与坐标轴围成的面积为］xlx：=J

3236

故选：A.

6.B

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/⑴>0,可排除D.

［解析］/(-x)=-X?+(「_e")sin(-x)=-/+(e*-/卜inx=f(x),

又函数定义域为［-2.8,2.8］,故该函数为偶函数，可排除A、C,

sinl>-l+fe--.兀e1111

又〃1)=T+sin—=——1----->--------->0,

622e42e

故可排除D.

故选：B.

7.A

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点(0,1)处的切线方程，即可得其与坐标轴交点

坐标，即可得其面积.

((e*+2cosx)(l+x2)-(e*+2sinx〉2x

［解析］x"(^4'

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

贝U//(°)=----------------------------=3，

,(1+0J)

即该切线方程为V-l=3无，即尸3尤+1,

令尤=0,贝1Jy=i,令y=。，贝！］x=-g,

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积s=:xix

故选：A.

8.A

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即

可.

【解析】由题意不妨设西<马，因为函数y=2,是增函数，所以0<2%<2"2,即0<乂<%,

7X17X2I----------明+*2I西+巧

对于选项AB：可得-------〉巧庐=22，即口也>22>0,

22

X]+x

根据函数》=10g2%是增函数，所以Iog2区里>log22H2=美寇，故A正确，B错误；

对于选项C：例如西=0,%2=1，则必=1,必=2,

可得log?匕/=log2ge(0,l),即10g2〃产<1=X|+X2,故C错误；

对于选项D：例如%=-1,9=-2,贝I]必=；,%=:,

可得log?吟左=bg2]=log23-3e(-2,-l),即bg?匕抖>一3=再+x?,故D错误，

故选：A.

9.B

【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.

【解析】对A,设/(工)=学《，函数定义域为R,但=/(1)=^,贝U

f(T)w/(l)，故A错误；

对B,设g(x)=8S：+x2,函数定义域为R,

JX+1

且g(—x)=c°J]：(X)=cos：+：=g(x),则g(x)为偶函数，故B正确；

(-X)+1X+1

对C,设力(x)=*,函数定义域为{X|X*T},不关于原点对称，则从力不是偶函数,

故C错误；

对D,设0(x)=―/——，函数;t义域为R,因为°(1)=―--,0(-1)=——-——，

则0⑴则夕(x)不是偶函数，故D错误.

故选：B.

10.B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.

【解析】因为y=4.2'在R上递增，且一0.3<0<0.3,

所以0<4.2«3<4.2°<4.2°3,

所以0<4.2«3<1<4.2°3,BP0<a<1<6,

因为》=10g42X在(0,+8)上递增，X0<0.2<1,

所以log420.2<log421H0,即c<0,

所以6>a>c,

故选：B

11.A

【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判

断即可.

【解析】对A,sinx+cosx=V5sin[x+：),周期？=2兀，故A正确；

I27r

对B,sinxcosx=-sin2x,周期T=彳=兀，故B错误；

22

对于选项c,sin2x+cos2x=l,是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；

77r

对于选项D,sin2x-cos2x=-cos2x,周期7=5=兀，故D错误，

故选：A.

12.B

【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对

-2,x<—1

于B,构造函数〃到=—,-14*41即可判断.

l,x>1

【解析】对于A,若存在了=/(x)是偶函数，取x0=le[-l,l],

则对于任意XG(-0),1),/(%)</(1),而/(-1)=/(1),矛盾，故A错误；

-2,x<_1,

对于B,可构造函数/(x)=<x,-lWx<1,满足集合M=[-1,1],

l,x>1,

当尤<一1时，则〃尤)=一2,当-L,y(x)G[-i,i],当尤>i时，/(x)=i,

则该函数f(x)的最大值是八2),则B正确；

对C,假设存在“X),使得/'(x)严格递增，则河=孔与已知M=矛盾，则C错误；

对D,假设存在/(x),使得/(x)在x=-l处取极小值，则在-1的左侧附近存在〃，使得

/(H)>/(-1),这与已知集合”的定义矛盾，故D错误；

故选：B.

13.ACD

【分析】求出函数/'(x)的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；

根据函数/'(x)在(1,3)上的值域即可判断C；直接作差可判断D.

【解析】对A,因为函数/'(x)的定义域为R,而

=2(x-l)(x-4)+(x-l)2=3(x-l)(x-3),

易知当xe(l,3)时，/,(x)<0,当或无e(3,+s)时，fr(x)>0

函数/(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+。)上单调递增，故x=3是函

数/(x)的极小值点，正确；

对B,当0<x<l时，x-x2=x(l-x)>0,所以1八>/>0,

而由上可知，函数/'(x)在(01)上单调递增，所以“X)>/(一),错误；

对C,当1〈尤<2时，l<2x-l<3,而由上可知，函数”X)在(1,3)上单调递减，

所以〃l)>/(2x-l)>/(3),即-4<〃2x-l)<0,正确；

对D,当_]<x<0时，/(2-X)-/(X)=(1-X)2(-2-X)-(X-1)2(X-4)=(X-1)2(2-2X)>0,

所以“2-x)>/(x),正确;

故选：ACD.

14.AD

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=0,x=。，根据零点存在定理和极值的符号判

断出“X)在(-1,0),(0,。),(。,2。)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进

行分析；c选项，假设存在这样的。力，使得x=b为"X)的对称轴，则/■(无)=/(2b-x)为恒

等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的使得(1,3-3a)为Ax)的对称中心，则

/(尤)+/(2-尤)=6-6。，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.

【解析】A选项，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于。>1,

故xe(-8,0)"a,+句时>0,故f(x)在(-oo,0),(a,+oo)上单调递增,

xe(0,a)时，f\x)<0,f(x)单调递减,

则/«在x=0处取到极大值，在x=。处取到极小值，

3

由/(0)=1>0,/(«)=l-a<0,则/(0)/(。)<0,

根据零点存在定理“X)在上有一个零点，

X/(-l)=-l-3a<0,/(2«)=4a3+l>0,则/(一1)/(0)<0,/(a)/(2a)<0,

则/(X)在(-1,0),(凡2a)上各有一个零点，于是a>1时，"X)有三个零点，A选项正确；

B选项，/'(x)=6x(x—a),a<0时，xe(a,0),/'(x)<0,/(x)单调递减，

xe(0,+co)时/''(x)>0,/(x)单调递增，

此时/(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的6,使得x=b为的对称轴，

即存在这样的。涉使得f(x)=f(2b-x),

即2x3-3ax2+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+l,

根据二项式定理，等式右边(2b-x)3展开式含有V的项为2c(2，)°(-4=-2x3,

于是等式左右两边M的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的。力，使得x=b为“X)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

/(1)=3-3«,若存在这样的。，使得(1,3-3a)为/(x)的对称中心，

则〃x)+〃2-x)=6-6a,事实上，

/(x)+/(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+l=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,

于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12。

12-6a=0

即12a-24=0,解得a=2,即存在a=2使得(1J(1))是/⑴的对称中心，D选项正确.

18—12Q=6—6a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

/(x)=2x3-3av2+1,/'(%)=6x2-6ax,/"(%)=12x-6a,

由/"(x)=0oX=■!,于是该三次函数的对称中心为||

由题意(1J(1))也是对称中心，故•|=1。。=2,

即存在。=2使得(1J⑴)是"X)的对称中心，D选项正确.

故选：AD

【点睛】结论点睛：(1)/(x)的对称轴为x=bo/(x)=/(26-x)；(2)/(x)关于(a,6)对称

o〃x)+/(2a-x)=2b；(3)任何三次函数/0)=办3+/+”+3都有对称中心，对称中

心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是/口)=0的解，即是三次函数

的对称中心

15.In2

【分析】先求出曲线y=e*+x在(0,1)的切线方程，再设曲线y=ln(x+l)+。的切点为

(x0,ln(x0+1)+«),求出了，利用公切线斜率相等求出号,表示出切线方程，结合两切线方

程相同即可求解.

f

［解析］由V=e"+X得V=e'+1,y|x=0=e°+1=2,

故曲线y=e'+x在(0,1)处的切线方程为＞=2x+l；

由y=ln(x+l)+q得j/=^—f

x+1

设切线与曲线V=111(》+1)+。相切的切点为(％,皿/+l)+a),

由两曲线有公切线得了=2=2,解得/=-〈，则切点为+

X。+12I22)

切线下呈V=2+5)+tz+In—=2x+1+Q—In2,

根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案为：In2

16.64

【分析】将log84,10g,4利用换底公式转化成Iog2a来表示即可求解.

113115,、2

【解析】由题:；整理得

j--------------7=1----------log2^=--,(vlog2a)7-51og22«-6=0,

log8aloga4log2a22

=^＞log2a=-l^log2(7=6,又。＞1,

6

^T^log2«=6=log22,故Q=26=64

故答案为：64.

17.(-2,1)

【分析】将函数转化为方程，令d-3x=-(尤-iy+。，分离参数a,构造新函数

g(x)=d+/_5x+1,结合导数求得g(x)单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.

【解析】令—3x=—(尤一1)~+a,BPer=x3+x2-5x+1,令g(x)=x，+x~—5x+l(尤>。),

则g'(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-l),令g[x)=O(x>。)得x=l,

当xe(O,l)时，g[x)<0,g(x)单调递减,

当xe(l,+8)时,g\x)>0,g(x)单调递增,g(O)=l,g(l)=-2,

因为曲线y=/-3x与y=-(x-lp+。在(0,+8)上有两个不同的交点，

所以等价于与g(x)有两个交点，所以ae(-2,1).

故答案为：(-2,1)

18.(-73,-1)u(l,V3)

【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数g(x)=24rq与

ux—3,x之一

=<则两函数图象有唯一交点，分。=0、。>0与a<0进行讨论，当。>0

\-ax,x<—

、a

时，计算函数定义域可得x2。或x40,计算可得ae(0,2]时，两函数在7轴左侧有一交点，

则只需找到当ae(O,2]时，在了轴右侧无交点的情况即可得；当a<0时，按同一方式讨论

即可得.

【解析】令/(x)=0,即2&一亦=|冰一2|-1,

由题可得一分20,

当。=0时，xeR,有2值=卜=则x=±等，不符合要求，舍去;

“、2

ux—3,x2一

当〃>0时，则2，工2一办二|办一21—1=<a

12'

1-ax,x<—

a

ax-3,x>—

即函数g(无)=2五2一°尤与函数为(x)=«;有唯一交点,

1-ax,x<—

、a

由一办20,可得％之。或X40,

当xWO时，贝!JQX—2<0,则24%2一办二|亦_21-1=1一办，

2

即4x—4ax=(1—ax)?,整理得(4—/卜？_2ax—1=[(2+Q)X+1][(2—a)x—1]=0,

当〃=2时，即4x+l=0,gpx=-l

4

当ae(O,2),x=-J-或x=——>0(正值舍去)，

2+a2-a

当aw(2,+oo)时，x=-1—<0或x=J—<0,有两解，舍去，

2+Q2-a

即当ae(0,2]时，2尸工-2|+l=0在xWO时有唯一解，

则当ae(0,2]时，2尸弓-麻-2|+1=0在xNa时需无解，

当ae(O,2],且xNa时,

ax-3,x>—

由函数Mx)=:关于x=2对称，令〃(x)=0,可得x=L或x=3,

2aaa

且函数〃(力在上单调递减，在［2,上单调递增,

\aa)\aaJ

令g(x)=y=2Jx?_办,即J，

a

4

('Jy2

故xNa时，g(x)图象为双曲线丁一/二1右支的x轴上方部分向右平移三所得,

4

(x)y2_a_

由丁一万的渐近线方程为'一一-

T2

即g(x)部分的渐近线方程为y=2(x-£|,其斜率为2,

'c2

ax-3,x>—

又ae(O,2],即“尤)=:在xN?时的斜率ae(O,2],

1-ax,x<—

令8(%)=2，X2一办二o,可得x=q或x=0(舍去),

且函数g(H在(见+°°)上单调递增,

1

一<a

故有;解得故1<0<6符合要求;

—>a

、a

ax-3,x<—

当a<0时，则2>/x2—ux=1ax-2|—1=*；

l-ax,x>—

a

。2

ax-3,x<—

即函数g(x)=242一"与函数〃(无)=,;有唯一交点,

1-ax,x>—

a

由一办20，可得XN0或

当x20时，则ax—2<0,则2，％2_"二|办一2|-1二1一办,

即4x2—4ax=（1—ax）?,整理得（4—/卜？_2ax—1=[（2+Q）X+1][（2—Q）X—1]=0,

当〃=一2时，即4x—1=0,BPx=—,

4

当ae（-2,0）,x=-—1—<0（负值舍去）或工=丁1-0,

2+a2-a

当ae（-oo,2）时，x=->0或尤=J—>0,有两解，舍去，

即当。e[-2,0）时，2,当-办办-2|+1=0在x»0时有唯一解,

贝lj当q£[-2,0）时,2,X）-办-1办-2|+1=0在x«Q时需无解，

当。£[-2,0),且时,

ax-3,x<—

由函数〃(x)=:关于x=2对称，令%(x)=o,可得x=L或x=2,

12aaa

I-ax,x>—

、a

且函数〃(x)在上单调递减，在仅,2]上单调递增，

\aajyaaJ

(x)2y2

同理可得：xW。时，g(力图象为双曲线「一7二1左支的1轴上方部分向左平移£所得,

T

g(X)部分的渐近线方程为歹=-21+£|,其斜率为-2,

'r2

ax-3,x>—

又ae[-2,0),即//(%)=<(在x<2时的斜率。«-2,0),

12a

令g(x)=2飞x?-ax=。,可得x=a或x=0(舍去),

且函数g(x)在(-8,a)上单调递减,

1

—>CL

故有《，解得故-符合要求;

—<a

、a

综上所述，6/e(-V3,-l)U(l,V3).

故答案为：(-V3,-l)u(1,6).

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数“X)的零点问题转化为函数g(x)=2E^

。2

ax-3,x>—

与函数〃(%)=<;的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.

1—UX,X<一

a

19.百

【分析】利用分段函数的形式可求/(3).

【解析】因为=故〃3)=6,

Lx<0

故答案为：百.

20.(1)-2

(2)证明见解析

2

⑶

【分析】（1）求出了'（X）1nhi=2+。后根据八x）20可求a的最小值；

（2）设尸（私〃）为*=/（力图象上任意一点,可证尸（见〃）关于（1,。）的对称点为

。（2-机,2。-〃）也在函数的图像上，从而可证对称性；

（3）根据题设可判断/⑴=-2即〃=—2,再根据/（%）>-2在（1,2）上恒成立可求得

【解析】（1）6=0时，/（x）=ln-^—+6zx,其中XE（0,2）,

2,—x

112

则/⑴二十二二产6+0武叮），

因为x（2一-;+xj=i,当且仅当》=1时等号成立，

故/'（AjZ+a,而/'（x"0成立，故a+2»0即a12,

所以。的最小值为-2.,

（2）/（x）=lnA+"+6（x-l）3的定义域为（0,2）,

设尸（刃,〃）为y=/（x）图象上任意一点，

尸仇〃）关于（l,a）的对称点为。（2-%2a-〃）,

因为尸（加,〃）在了=/（x）图象上，^n=\nm+am+b（m-].）3,

2-m

/_ytqqyyi->

而/（2—加）=ln-------ba（2—加）+6（2—加-1）=-In--------am+b[m-\^+2a,

m[_2—m

=-n+2a,

所以。（2-〃[,2"〃）也在了=/（力图象上，

由P的任意性可得V=/（x）图象为中心对称图形，且对称中心为（L。）.

（3）因为/（力>-2当且仅当l<x<2,故x=l为/'（"=-2的一个解，

所以7（1）=-2即°=_2,

先考虑l<x<2时，恒成立.

此时〃x)>-2即为加7匚+2(1-X)+6(X-1)3>0在(1,2)上恒成立,

2—x

设£=%-1«0,1),则In罟-2/+#>0在(0,1)上恒成立，

।2_t~(~3bt~+2+3Z))

贝nUg，⑺=3_2+3bt2=」-----5——

'71-2I-/2

当620,-3bt2+2+3b>-3b+2+3b=2>0,

故g'«)>0恒成立，故g(f)在(0』)上为增函数,

故g(t)〉g(o)=o即/(x)>-2在。2)上恒成立.

2

当一时，-3次+2+3622+3620,

故g'⑺20恒成立，故g(。在(0,1)上为增函数，

故g")>g(o)=0即/(x)>-2在(1,2)上恒成立.

当方<4,则当时，g'(f)<0

故在上g(/)为减函数，故g⑺<g(o)=o,不合题意，舍；

综上，/"(力>-2在(1,2)上恒成立时62-：

2

而当时,

而62、时，由上述过程可得g«)在(0,1)递增，故g«)>0的解为(0,1),

即/(力>-2的解为(1,2).

2

综上，b>—y.

【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的

端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时,

可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.

21.(l)(e-l)x-j^-l=0

⑵(l，+s)

【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；

(2)解法一：求导，分析。40和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得

Y+lna-l〉。，构建函数解不等式即可;解法二:求导，可知/'(x)=e，-a有零点，可得a>0,

进而利用导数求/'(x)的单调性和极值，分析可得Y+ina—l〉。，构建函数解不等式即可.

【解析】(1)当。=1时，贝ij/(x)=e*-x-l,f\x)=ev-1,

可得f(l)=e-2,r(l)=e-l,

即切点坐标为(Le-2),切线斜率左=e-l,

所以切线方程为了-(e-2)=(e-l)(x-l),即(e-l)x-y-l=0.

(2)解法一：因为“X)的定义域为R,且尸(x)=e-a,

若a40,则/'(无”0对任意xeR恒成立，

可知〃x)在R上单调递增，无极值，不合题意；

若a>0,令/''(x)>0,解得尤>Ina；令/''(x)<0,解得x<lna；

可知〃x)在(-内单调递减，在(ina,+(»)内单调递增，

贝l|/(x)有极小值/(lna)=a-aln。-/,无极大值，

由题意可得：/(lna)=a-alna-a3<0,gpa2+ln<7-l>0,

构建8(々)=々2+lna—l,a>0,贝［|g，(a)=>0,

可知g(a)在(0,+功内单调递增，且g(l)=0,

不等式Y+ln“_l>0等价于g(a)>g(l),解得。>1,

所以a的取值范围为(L+8);

解法二：因为“X)的定义域为R,且法(x)=e*-a,

若/(x)有极小值，贝1/'。)=/-。有零点，

令f\x)=ex-a=0,可得e*=a,

可知〉=e，与V=4有交点，贝|a>0,

若。>0,令/'(无)>0,解得尤>lna；令/''(无)<0,解得尤<lna；

可知/(x)在(-8,In。)内单调递减，在(Ina,+8)内单调递增,

则/(x)有极小值/(lna)=a-alna-a3,无极大值，符合题意,

由题意可得：/(lna)=a—«lnfl—«3<0,BP«2+Ina-1>0,

构建g(a)=/+ln"l,a>0,

因为则歹=。2,7=111。_1在(0,+动内单调递增,

可知g(a)在(0,+动内单调递增,且g⑴=0,

不等式a2+lna-l>0等价于g(a)>g(l),解得。>1,

所以a的取值范围为(1,+8).

22.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性;

(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x>l时，ei-2x+l+lnx>0即可.

【解析】(1)“X)定义域为(0,+s),f\x)=a--=^

XX

当aV0时，/'(x)=巴匚<0,故"X)在(0,a)上单调递减；

X

当a>0时,时,f'(x)>0,/⑺单调递增，

当xe［o,£|时，/'(x