二次函数与角问题-2022年中考数学复习（解析版）

专题26二次函数函数与角问题

考向二次函数函数中的角度问题

府题呈观

【母题来源】2021年中考四川省德阳卷

【母题题文】如图，已知：抛物线y=x?+bx+c与直线1交于点A(-1,0),C(2,-3),

与x轴另一交点为B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上找一点P,使4ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；

(3)M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N,连接BM.在(2)的条件下,

是否存在点M,使/MBN=NAPC?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

抛物线的解析式为y=x-2x-3；

(2)作点C关于x轴的对称点C',则C'(2,3),连接AC'并延长与抛物线交于点P,由图

解得：｛:二；，

直线AC'的解析式为y=x+l,

将直线和抛物线的解析式联立得:

fy=x+1

(y=x2—2x—3"

解嗽:「(舍去)或0u

.\P(4,5)；

(3)存在点M,

过点P作x轴的垂线，由勾股定理得AP=J（4+l）2+52=5V2,

PC=，(4-2尸+(5+3尸=2V17,

VZMBN=ZAPC,

tanZMBN=tanZAPC,

.MN3

••—二,

BN5

oJlTl2—2772—313

设点M(m,m-2m-3),则---;----;--=-(mW3),

|3-m|5

解得m=一|或m=

当m=—■时，m2-2m-3=(―^)2—2X(―^)—3=—,,

当m=一卷,m2-2m-3=(-1)2-2x(-1)-3=翳

2ciQ69

；•存在符合条件的点M,M的坐标为（一（，（一卷，—）.

【试题解析】（1）把点A,C代入抛物线的解析式，利用待定系数法即可求出抛物线的解析

式；

（2）先作出点C关于x轴的对称点C',然后连接AC'并延长交抛物线于点P,根据对称性

可知P为所求的点；

（3）根据勾股定理先求出NAPC的正切值，再设出点M的坐标为（m,m2-2m-3）,利用/

MBN=/APC列出关于m的方程，求出m,即可确定M的坐标.

【命题意图】二次函数的应用；推理能力.

【命题方向】二次函数综合题，一般为压轴题.

【得分要点】角的数量关系问题

（1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三

角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；（2）证二倍角：常构

造辅助圆，利用圆周角定理；（3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角.

L（2021•广西贵港模拟）如图，抛物线y=-x?+（m-1）x+m（其中m>l）与x轴交于A,

B两点，与y轴交于点C,点D在该抛物线的对称轴上，且DA=DC.

771—1771—1

（1）点A的坐标为（-1,0）,用含m的式子表示点D的坐标为（丁,丁）；

（2）若4ACD与△BC0的面积之比为5：9,求该抛物线的表达式；""

（3）在（2）的条件下，若动点P在该抛物线上，且当NPBC=/DAB时，求点P的坐标.

解：(1),/y=-x2+(m-1)x+m=-(x+1)(x-m),

得A(T,0),

连接DB,•..直线1是抛物线的对称轴，

；.DA=DB,

VDA=DC,

；.DB=DC,

又0B=0C,

直线0D是BC的垂直平分线,

又△BCO是等腰直角三角形，

zn—1、

故答案为：（-1,0）,L丁);

(2)如图，VA(-1,0),B(m,0),C(0,m),且DA=DC,

：.DA2=DC2=(^^+1)2+1(m2+1),AC2=m2+L

.".DA2+DC2=AC2,

则4ACD是等腰直角三角形，

]

,,S“CD=4（血？+1），

又△BCO是等腰直角三角形，且0B=0C=m,

・2

c_1m

,,LBco~2'

•SAACD：SABCO=5：9,

.i-(m2+l)5

••-i——，解得m=±3,

—m29

2

Vm>l,.*.m=3,

则抛物线的表达式为y=-X2+2X+3；

(3)如图，在(2)的条件下，

Vm=3,

・・・B(3,0),C(0,3),又A(-1,0).

①当点P在第一象限内抛物线上时，作PELx轴，垂足为E,

设P(x,-X2+2X+3),则PE=-X?+2X+3,BE=3-X,

VZPBC=ZDAB,而NCB0=NCAD=45°,

.\ZPBE=ZCA0,

PECO

ARtAPBE^RtACAO,一=一=3,

BEAO

—X乙+2x+3

则----------=3,解得x=2(x=3不符题意，舍去),

3—%

此时，点P的坐标为(2,3)；

②当点P在第二象限内抛物线上时，记PB与AC的交点为F,

VZPBC=ZDAB,且NPBA=45°-ZPBC,NCAB=45°+ZDAB,

・・・NPBA+NCAB=90°,则NAFB=90。，即PB_LAC,垂足为F,

VA(1,0),C(0,3),

・,・直线AC的表达式为y=3x+3,

VB(3,0),PB1AC,

J直线PB的表达式为y=-gx+1,

由卜士：二解得■["小舍去),

(y=-X乙+2%+3{y=-g

・••此时，点P的坐标为,得);

综上，符合条件的点P的坐标为(2,3)和(一5，昔).

2.(2021•甘肃兰州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax~+bx+6(aWO)

交x轴于AB两点，交y轴于点C,且0A=0C=30B,连接AC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A,点Q从点0以每秒1个单位

长度的速度沿OC运动到点C,点P和点Q同时出发，连接PQ,当点P到达点A时，点Q停

止运动，求SACPQ的最大值及此时点P的坐标；

(3)抛物线上是否存在点M,使得/ACM=15°?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请

说明理由.

解：(1):,抛物线y=ax，bx+6(a#0)交y轴于点C,

...点C(0,6),.".OC=6,

：0A=0C=30B,

.,.0A=0C=6,0B=2,

.•.点A(-6,0),点B(2,0),

将点A,点B坐标代入解析式，可得：*=整+2236

10=36a—6b+6

解得：k二T,

3=-2

；・抛物线的表达式为：y=-1x2-2x+6；

(2)如图，过点P作PHLCO于H,

・・・N0CA=45°

VPHXOC,

・・・NAC0=NCPH=45°,

・・・PH=CH,

・・・点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A,点Q从点0以每秒1个单位长

度的速度沿0C运动到点C,

CP=2t,OQ=t,

/.PH=CH=V2t,CQ=6-t,

.*.SAPCQ=|XCQXPH=^Ct)=-#(t-3)竽，

9V2

.,.当t=3时，SRPQ的最大值为三一，

.\PH=CH=3V2,.\0H=6-3V2,

.♦.点P的坐标为(-3V2,6-3V2)；

...tan/OCH=^=萼，.*.0H=2V3,.•.点H(-2^,0),

直线CM的解析式为：y=V3x+6,

y=V3x+6

联立方程组可得：1，

y=~2X7—2%+6

解得：1丁(舍去)叱二房8

故点M(-4-2g,-4店);

当点M'在AC的上方时，设CM'与x轴的交点为G,

VZACM'=15°,ZAC0=45°,

.,.Z0CG=60°,

；.tanNOCG=^=次，.>.00=673,

.•.点H(-6V3,0),

直线CM'的解析式为：y=最+6,

(_V3,,

y=~x~x+6

联立方程组可得：r3]

、y=一尹2—2%+6

'.2/3

真"舍去)或x=-4----^―

解得:

473।16,

y=一丁+三

z.2/34v5.16、

故点Mu(-4g―,—I"$)；

综上所述：点M的坐标为(-4-2百，-4V3)或(-4+竽)*

3.(2021•广东模拟)如图1,在平面直角坐标系中，一次函数y=*x-2的图象与x轴交于

1

点B,与y轴交于点C,二次函数y=2,+bx+c的图象经过B,C两点，且与x轴的负半轴

交于点A.~

(1)求二次函数的表达式.

(2)如图2,连接AC,点M为线段BC上的一点，设点M的横坐标为t,过点M作y轴的平

行线，过点C作x轴的平行线，两者交于点N,将AMCN沿MC翻折得到△MCN'.

①当点N'落在线段AB上，求此时t的值；

②求△MCN'与4ACB重叠的面积S与t的函数关系式.

(3)如图3,点D在直线BC下方的二次函数图象上，过点D作DMLBC于点M,是否存在点

D,使得4CDM中的某个角恰好等于/ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请

说明理由.

解：(1)由题意得：B(4,0),C(0,-2),

'-^+4b+c=0,=

抛物线的解析式为y=#-|x-2；

(2)①如图1,

图1

由题意得：CN'=CN=t,/N'CM=ZNCM,

VCN/7AB,

.\ZOBC=ZNCM,

.".ZOBC=ZBCN/,

.'.BN'=CN,=t,：.0N'=4-t,

在Rt^OCN'中，由勾股定理得，

OC2+NZ(f=N'c2,

：.22+(4-t)2=t2,

②当ovtwj时,

S=SAcm=|cN-MN=|fMN,

OC1

*.,MN=CN*tanZBCN=t*tanZOBC=f—=-1,

OB2

图2

5

当一<tW4时，

2

cor

由①知：CD=BD=^,0D=|,.\DN,=t-|,

/.EN,=DNZ•tanZBDN/=(t-|)・tan/ODC,

在Rt^OCD中，

"244s

tanN0DC==T=W，/♦EN'=—^),

i1q4q2q

**•SADENZ=2DN',EN'=2(t—X(t—之)=g(t—2)?,

•S-If?2.(t5)2_5oII。「25

••W(t-2)-〜石，

(y=4t2(0<t<|)

综上所述：s={4/q；

(y=-「2+学〜」(|VY4)

(3)如图3,

当NDCM=2NABC时，

作CF〃AB,作BE_LCF交CD于E交CF于F,

・・・NCFB=NCFE=90°,

VZFCB=ZABC,

AZFCE=ZFCB=ZABC,

VCF=CF,AACFB^ACFE(ASA),

・・・EF=BF=2,

AE(4,-4),VC(0,2),

・,・直线CE的解析式是：y=-1%-2,

(1

y=—«%—2

由｛13得，

y=/2--x-2

(舍如上出

；.D点的横坐标是2,如图4,

当NCDM=2NABC时，

作BG〃DM交CD于G,作GH_LAB于H,

/.ZGBH+ZHGB=90°,Z0BC+ZGBH=90°,

.•.ZHGB=Z0BC,

4

由(2)知：tan2ZABC=|,

.\tanZCGB=.*.BG=BC»tanZCGB=|BC,

VOC=2,0B=4,

.1.BC=2V5,；.BG=竽,

QrE9

••・BH=BG・sinNHGB=BG・sinNOBC=誓

2275

3JS4

GH=BG・cosNHGB=苧x义=3,

22V5

・・・0H=0B+BH=4+M=殍，・・・G(—,-3),

222

7

•••CG的解析式是:y=-ax-2,

,132,口

由一x7——x—2=———x—2得,

2211

X1=O(舍去)，X2=窘,

2929

点D的横坐标为不，综上所述，点D的横坐标为2或h.

1111

4.(2021•内蒙古鄂尔多斯一模)如图，已知直线y=2x+n与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,

B两点，抛物线的顶点是A(1,-4),点B在x轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩

形时，求点M的坐标.

(3)在抛物线上是否存在点Q,使NBAQ=45°,若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不

存在，说明理由.

备用图

解：(1)将点A(1,-4)代入直线y=2x+n得，

2+n=-4,.*.n=-6,

•I直线y=2x-6,

当y=0时，代入直线得：0=2x-6,

解得：x=3，，点B坐标(3,0),

设抛物线表达式为y=a(x-1)2-4,将点B代入抛物线得，

0=4a-4,解得：a=l,

・・・抛物线表达式y=(x-1)2-4；

(2)当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，有两种情况:

已知点A(1,-4),点B(3,0)

.,.MA2=12+(m+4)2,AB?=(1-3)2+(-4-0)2=20,BM2=32+m2,

.,.MB2=AM2+AB2,即12+(m+4)2+20=32+m2,解得m=—，

7

即点M的坐标(0,-2),

延长BN交y轴于点，作AG，y轴于G,BHLGA交GA的延长线于点H.

OMtOB

由△B0MS/\BHA,可得——=■

AHBH

OMf333

---=—,0M=5，.'.M(0,-)

2422

取线段AB的中点P,作辅助圆。P,与y轴交于点Mi,M2,作PG，y轴于点G,

上xiAi-XXyA+VD

点PD坐标(,--A-+---B，4^),即(2,-2),

22

由①可得线段AB=V20=2遥，OP半径芯,

在RtZ^PMiG中，PMi=V5,PG=2,MG=J(V5)2-22=1,

根据垂径定理可得，M2G=1,

・••点Mi坐标(0,-1),点岫坐标(0,-3)；

73

综上所述，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，点M坐标为：(0,-或(0，

或(0,-1)或(0,-3)；

4

(3)存在点Q的横坐标为-2或大使NBAQ=45°.

理由如下：假设存在满足条件的点Q,如图，

当四边形ADBC为正方形，且点Qi，Q?分别在直线AD和直线AC上时，ZBAQ=45

设过线段AB中点P,且与线段AB垂直的直线：y=-1x+b,

将点P(2,-2)代入得：-2=-1+b,

解得b=-1,直线为y———1>

设点C点坐标(n,-1n-1),

在Rt^ABD中，/BAQ=45°,AB=2V5,

sin45°=器，解得BD=V1U，

；.BD=J(n-3)2+(1n+l)2=V10,

解得m=0,n*=4,

・••点C坐标(0,-1),点D坐标(4,-3),

设直线AD表达式为：y=qx+p,将点A(L-4),点D(4,-3)代入得,

(1

『蠢解得q=3

13,

(p=—3

直线AD的表达式为y=9—呈

同理可得直线AC的表达式为y=-3x-1,

联立直线AD与抛物线丫=(x-I)?-4可得，

1132A-4

-X--=(X-1)-4,解得Xi=l,X2=5，

333

同理联立直线AC与抛物线可解得X3=l,x4=-2,

4

.••点Q的横坐标为-2或3

5.(2021•四川模拟)如图，一次函数y=-±x-2的图象与坐标轴交于A,B两点，点C的

坐标为(1,0),二次函数y=ax、bx+c的图象经过A,B,C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,已知点D(-1,n)在抛物线上，作射线BD,Q为线段AB上一点，过点Q作

QMJ_y轴于点M,作QNLBD于点N,过点Q作QP〃y轴交抛物线于点P,当QM与QN的积最

大时，求点P的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，连接AP,若E为抛物线上一点，且满足/APE=2/CAO,

求点E的坐标.

1

解：(1)当y=0时，一亍€-2=0,

・・.x=-4,

AB(-4,0),

当x=0时，y=-2,

・・・A(0,-2),

工设抛物线的解析式是y=a(x+4)*(x-1),

.'.a*4X(-1)=-2,

,_1

••a.—],

i12

Ay=(x+4)・(x-1)=x2+-^x—2；

(2)如图1,

延长PQ交OB于H,延长NQ交0B于K,作DE_LOB于E,

由题意得，

12

n=2X(_1)2_——2—―3,

AD(-1,-3),

・・・DE=BE=3,

.\ZDBE=45°,

.,.△KNB和△KHQ是等腰直角三角形，

设Q(m,—-2),

QM=-m,

1

HK=QH=27n+2,

BH=m+4,

QK=V2*HK=V2*(-m+2),

2

3

BK=BH+HK=+6,

・・・NK=¥・BK=*(|ni+6),

・・・QN=NK-QK

J?3=1

=^-*(-