2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测二余弦定理含解析新人教B版必修第四册

PAGE二余弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在△ABC中,若b=1,c=QUOTE,C=QUOTE,则a= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得3=a2+1-2a×1×cosQUOTE,即a2+a-2=0.解之得a=-2(舍去)或a=1,所以a=1.2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=3,b=QUOTE,c=2,那么B等于 ()A.30° B.45° C.60° D.120°【解析】选C.因为a=3,b=QUOTE,c=2,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又因为B为三角形内角,所以B=60°.3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA=QUOTE,a=7,c=6,则b= ()A.8 B.7 C.6 D.5【解析】选D.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以49=b2+36-2b·6·QUOTE,整理得5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-QUOTE(舍去).4.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为cos∠BAC=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,又因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=QUOTE.【补偿训练】在△ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=4,AD=QUOTE,则∠BAC为 ()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选B.如图,设BD=CD=x.在△ABD和△ACD中,由余弦定理及诱导公式,得QUOTE,即14+2x2=20,解得x=QUOTE,即BC=2QUOTE.则cos∠BAC=QUOTE=QUOTE,所以∠BAC=60°.5.(2024·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cosC=QUOTE,AC=4,BC=3,则cosB= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由余弦定理可知cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=3,又由余弦定理可知:cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.6.(多选题)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=QUOTE,则 ()A.c=1 B.c=2C.sinA=QUOTE D.sinA=QUOTE【解析】选BD.依据余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×QUOTE=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2,得cosA=QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,则sinA=________.

【解析】在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,由余弦定理得,cosA=QUOTE=QUOTE,则sinA=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为________.

【解析】方法一:由条件知cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,设中线长为x,由余弦定理知x2=QUOTE+AB2-2×QUOTE×ABcosA=42+92-2×4×9×QUOTE=49,所以x=7.所以AC边上的中线长为7.方法二:设AC中点为M,连接BM(图略).则=QUOTE(+),所以=QUOTE(++2·)=QUOTE(92+72+2||||cos∠ABC),由余弦定理得2||||cos∠ABC=||2+||2-||2=92+72-82,所以||2=QUOTE(92+72+92+72-82)=49.所以BM=7,即AC边上的中线长为7.答案:7【补偿训练】在△ABC中,已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,若a2=b2+QUOTEc2,则QUOTE=________.

【解析】因为a2=b2+QUOTEc2,所以c2=4a2-4b2,又由余弦定理可得:cosB=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题14分,共28分)9.在△ABC中,已知sinC=QUOTE,a=2QUOTE,b=2,求边c.【解析】因为sinC=QUOTE,且0<C<π,所以C为QUOTE或QUOTE.当C=QUOTE时,cosC=QUOTE,此时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4,即c=2.当C=QUOTE时,cosC=-QUOTE,此时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=28,即c=2QUOTE.所以边c的长为2或2QUOTE.10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2QUOTE+4sinAsinB=2+QUOTE.(1)求角C的大小.(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.【解析】(1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sinAsinB=2+QUOTE,化简得-2cosAcosB+2sinAsinB=QUOTE,故cos(A+B)=-QUOTE,所以A+B=QUOTE,从而C=QUOTE.(2)因为S△ABC=QUOTEabsinC,由S△ABC=6,b=4,C=QUOTE,得a=3QUOTE.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=10,得c=QUOTE.【补偿训练】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满意cos2A+2sin2(π+B)+2cos2QUOTE-1=2sinBsinC.(1)求角A的大小.(2)若b=4,c=5,求sinB.【解析】(1)因为cos2A+2sin2(π+B)+2cos2QUOTE-1=2sinBsinC,所以sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC.由正弦定理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE,因为0<A<π,所以A=QUOTE.(2)因为a2=b2+c2-2bccosA=16+25-2×4×5×QUOTE=21,所以a=QUOTE.由正弦定理QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得sinB=QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.在△ABC中,a2+b2-c2+QUOTEab=0,则C等于 ()A.30° B.45° C.120° D.135°【解析】选D.由a2+b2-c2+QUOTEab=0知,c2=a2+b2+QUOTEab,由余弦定理得,cosC=QUOTE=-QUOTE,因为0°<C<180°,所以C=135°.【补偿训练】在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且a2=c2+b2+bc,则角A的大小为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为a2=b2+c2+bc,所以b2+c2-a2=-bc.由余弦定理的推论得cosA=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,又因为0<A<π,所以A=QUOTE.2.在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,那么△ABC是 ()A.直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.非钝角三角形【解析】选B.因为a∶b∶c=3∶5∶7,所以可设a=3t,b=5t,c=7t,由余弦定理可得cosC=QUOTE=-QUOTE,因为0<C<π,所以C=120°,故△ABC是钝角三角形.3.(多选题)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,b=7,c=8,则 ()A.B=45° B.B=60°C.cosC=QUOTE D.sinA=QUOTE【解题指南】利用余弦定理的变形公式计算三角形内角的余弦值,再计算角.【解析】选BCD.最小的角为A,最大的角为C,则cosA=QUOTE=QUOTE,cosB=QUOTE=QUOTE,cosC=QUOTE=QUOTE,则sinA=QUOTE=QUOTE,又0°<B<180°,所以B=60°.4.在△ABC中,sinB=QUOTE,BC边上的高为AD,D为垂足,且BD=2CD,则cos∠BAC= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选A.依题意设CD=x,AD=y,则BD=2x,BC=3x.因为sinB=QUOTE,所以AB=QUOTE=3y.因为BC边上的高为AD,如图所示,所以AB2=AD2+BD2=y2+4x2=9y2,即x=QUOTEy.所以AC=QUOTE=QUOTE=QUOTEy.依据余弦定理得cos∠BAC=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.二、填空题(每小题4分,共16分)5.已知在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC肯定是________三角形.

【解析】因为B=60°,b2=ac,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.又B=60°,所以△ABC是等边三角形.答案:等边6.如图所示,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=QUOTE,AB=3QUOTE,AD=3,则BD的长为________.

【解析】因为sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=QUOTE,所以在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD,所以BD2=18+9-2×3QUOTE×3×QUOTE=3,所以BD=QUOTE.答案:QUOTE7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac=b2-a2,A=QUOTE,则B=________.

【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-QUOTEbc,与ac=b2-a2联立,得ac+c2-QUOTEbc=0,即c=QUOTEb-a,代入ac=b2-a2,得a(QUOTEb-a)=b2-a2,解得b=QUOTEa,所以c=QUOTEb-a=2a,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因为B∈(0,π),所以B=QUOTE.答案:QUOTE8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2=4037c2,则QUOTE的值为________.

【解析】QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=cosC·QUOTE=cosC·QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2018.答案:2018三、解答题(共38分)9.(12分)(2024·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.(1)若a=QUOTEc,b=2QUOTE,求△ABC的面积;(2)若sinA+QUOTEsinC=QUOTE,求C.【解析】(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×QUOTEc2×cos150°,解得c=-2(舍去),c=2,从而a=2QUOTE.△ABC的面积为QUOTE×2QUOTE×2×sin150°=QUOTE;(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sinA+QUOTEsinC=sin(30°-C)+QUOTEsinC=sin(30°+C),故sin(30°+C)=QUOTE.而0<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.10.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满意cosQUOTE=QUOTE,·=3.(1)求△ABC的面积.(2)若c=1,求a的值.【解析】(1)cosA=2cos2QUOTE-1=2×QUOTE-1=QUOTE,又A∈(0,π),sinA=QUOTE=QUOTE,而·=||·||·cosA=QUOTEbc=3,所以bc=5,所以△ABC的面积为QUOTEbcsinA=QUOTE×5×QUOTE=2.(2)由(1)知bc=5,而c=1,得b=5,所以a=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.11.(14分)已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量p=(sinA-cosA,1-sinA),q=(2+2sinA,sinA+cosA),p与q是共线向量,且QUOTE≤A≤QUOTE.(1)求角A的大小.(2)若sinC=2sinB,且a=QUOTE,试推断△ABC的形态,并说明理由.【解析】(1)因为p∥q,所以(sinA-cosA)(sinA+cosA)-2(1-sinA)(1+sinA)=-cos2A-2cos2A=0,所以1+2cos2A=0,所以cos2A