课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学专题十一概率与统计3二项分布与正态分布试题理

PAGEPAGE20二项分布与正态分布挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点1.条件概率、相互独立事务及二项分布①了解条件概率和两个事务相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简洁的实际问题.②利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2024课标Ⅰ,20,12分二项分布的均值以及利用期望进行决策导数★★★2024课标Ⅲ,8,5分二项分布相互独立事务2024课标Ⅰ,4,5分相互独立事务的概率2024课标Ⅱ,18,12分条件概率的计算离散型随机变量的均值2024课标Ⅱ,5,5分条件概率的计算2.正态分布2024课标Ⅰ,19,12分正态分布、二项分布的概念和性质概率的计算以及数学期望2024课标Ⅰ,18,12分利用正态分布求概率频率分布直方图分析解读本节主要命题点有:(1)相互独立事务的概率,条件概率;(2)二项分布的概念、特征和相关计算;(3)正态分布的应用,一般以解答题的形式出现.解题时留意对相关概念的理解和相关公式的应用.本节在高考中一般以选择题、解答题形式出现,中等以下,分值约为5分或12分.主要考查考生的数据分析实力.破考点【考点集训】考点一条件概率、相互独立事务及二项分布1.(2024河北“五个一名校联盟”二模,4)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪耀,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12,两次闭合后都出现红灯的概率为15,则在第一次闭合后出现红灯的条件下A.110B.15C.2答案C2.(2024福建厦门二模,6)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()A.25B.35C.18答案D3.(2024广东德庆香山中学第一次模拟,9)某个部件由三个元件按如图所示的方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的运用寿命(单位:小时)均听从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的运用寿命超过1000小时的概率为()A.15B.12C.3答案D考点二正态分布1.(2024广西柳州高级中学、南宁其次中学其次次联考,3)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别听从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,A.甲类水果的平均质量μ1=0.4kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量听从正态分布的参数σ2=1.99答案D2.(2024广东茂名一模,6)设X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.44%)A.7539B.6038C.7028D.6587答案D炼技法【方法集训】方法1独立重复试验及二项分布问题的求解方法1.(2024山东潍坊模拟,6)某篮球队对队员进行考核,规则如下:①每人进行3个轮次的投篮;②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23,假如A.3B.83C.2D.答案B2.(2024广东珠海一中等六校第一次联考)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23.若启动一次出现的数字为A=10101,则称这次试验胜利,若胜利一次得2分,失败一次得-1分,则100次独立重复试验的总得分X的方差为答案30800方法2正态分布及其应用方法1.(2024山东淄博一模,5)设随机变量ξ听从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为()A.73B.5答案A2.(2024河北石家庄新华模拟,19)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2024年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下:(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z听从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ=142.若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544.解析(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.(2)①∵Z听从正态分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,∴P(14.55<Z<38.45)=P(26.5-11.95<Z<26.5+11.95)=0.6826,∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②依据题意得X~B4,12,P(X=0)=CP(X=1)=C41124=1P(X=3)=C43124=1∴X的分布列为X01234P11311∴E(X)=4×12过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一条件概率、相互独立事务及二项分布1.(2024课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员运用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中运用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案B2.(2024课标Ⅰ,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案A3.(2024课标Ⅱ,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45答案A4.(2024课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再依据检验结果确定是否对余下的全部产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的全部产品作检验?解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)因此f'(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C20令f'(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)假如对余下的产品作检验,则这一箱产品所须要的检验费为400元.由于EX>400,故应当对余下的产品作检验.考点二正态分布1.(2024课标Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).依据长期生产阅历,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸听从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,假如出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异样状况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116∑i=116xi=9.97,s=1用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值推断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^-3σ^,附:若随机变量Z听从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974.0.997416≈0.9592,0.解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,故X~B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.X的数学期望为EX=16×0.0026=0.0416.(2)(i)假如生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异样状况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^-3σ^,剔除(μ^-3σ^,μ^115因此μ的估计值为10.02.∑i=116xi剔除(μ^-3σ^,μ^115×(1591.134-9.222-15×10.022因此σ的估计值为0.思路分析(1)利用正态分布、二项分布的性质可求出P(X≥1)及X的数学期望;(2)(i)先说明出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率,再说明监控生产过程方法的合理性;(ii)利用给出的数据可计算出区间(μ^-3σ^,μ^+3σ^),从而剔除(μ^-3σ规律总结(1)正态分布:若变量X听从正态分布N(μ,σ2),则μ为样本的均值,正态曲线的对称轴为直线x=μ;σ为样本数据的标准差,体现了数据的稳定性.(2)二项分布:若变量X~B(n,p),则X的期望EX=np,方差DX=np(1-p).2.(2024课标Ⅰ,18,12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z听从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX.附:150≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.解析(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)(i)由(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826.(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),所以EX=100×0.6826=68.26.思路分析(1)依据直方图求得样本平均数x和样本方差s2;(2)(i)由(1)知Z~N(200,150),从而得出概率.(ii)依题意知X~B(100,0.6826),从而求得EX.B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一条件概率、相互独立事务及二项分布1.(2024广东,13,5分)已知随机变量X听从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.

答案12.(2024北京,17,12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设全部电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜爱的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜爱,“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜爱(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.解析(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.故所求概率是502000(2)设事务A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,事务B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.故所求概率为P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.考点二正态分布1.(2024湖北,4,5分)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对随意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对随意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)答案C2.(2024山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)听从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ听从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案BC组老师专用题组1.(2024天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事务的相互独立性,互斥事务的概率加法公式等基础学问.考查运用概率学问解决简洁实际问题的实力.(1)随机变量X的全部可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=1-12×1-1P(X=1)=12×1-13×1-14+1-12×13×1-14+1-12×1-13×P(X=2)=1-12×13×14+12×1-13×1P(X=3)=12×13×14所以,随机变量X的分布列为X0123P11111随机变量X的数学期望E(X)=0×14+1×1124+2×14+3×1(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示其次辆车遇到红灯的个数,则所求事务的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=14×1124+1124×1所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148技巧点拨解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提.2.(2024课标Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),接着购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析(1)设A表示事务:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事务A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)(2)设B表示事务:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事务B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)P(A)因此所求概率为311(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)思路分析(1)将本年度保费高于基本保费a对应的全部事务的概率相加即可;(2)利用条件概率公式求解;(3)求出续保人本年度保费的期望与基本保费的比值即可.3.(2024山东,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参与猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,假如两人都猜对,则“星队”得3分;假如只有一人猜对,则“星队”得1分;假如两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.解析(1)记事务A:“甲第一轮猜对”,记事务B:“乙第一轮猜对”,记事务C:“甲其次轮猜对”,记事务D:“乙其次轮猜对”,记事务E:“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD,由事务的独立性与互斥性,得P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)·P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)·P(D)=34×23×34×=23所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事务的独立性与互斥性,得P(X=0)=14×13×14×1P(X=1)=2×34×13×P(X=2)=34×13×34×13+34×13×14×23+14×23×34×1P(X=3)=34×23×14×13+14×13×34P(X=4)=2×34×23×P(X=6)=34×23×34×23=可得随机变量X的分布列为X012346P1525151所以数学期望EX=0×1144+1×572+2×25144+3×112+4×512评析本题考查了随机事务发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望,确定随机变量可能的取值是解题的关键.属于中档题.4.(2024湖北,20,12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品,生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,运用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,运用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获得的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天依据获得的鲜牛奶数量支配生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获得的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.解析(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x吨,y吨,相应的获利为z元,则有2x目标函数为z=1000x+1200y.当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).将z=1000x+1200y变形为y=-56x+z当x=2.4,y=4.8时,直线l:y=-56x+z最大获利Z=zmax=2.4×1000+4.8×1200=8160.当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).将z=1000x+1200y变形为y=-56x+z当x=3,y=6时,直线l:y=-56x+z最大获利Z=zmax=3×1000+6×1200=10200.当W=18时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将z=1000x+1200y变形为y=-56x+z当x=6,y=4时,直线l:y=-56x+z最大获利Z=zmax=6×1000+4×1200=10800.故最大获利Z的分布列为Z81601020010800P0.30.50.2因此,E(Z)=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708.(2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布知,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为1-(1-0.7)3=1-0.33=0.973.5.(2024陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其详细状况如下表:作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.解析(1)设A表示事务“作物产量为300kg”,B表示事务“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,∵利润=产量×市场价格-成本,∴X全部可能的取值为500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,300×10-1000=2000,300×6-1000=800.P(X=4000)=P(A)P(B)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P(X=2000)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事务“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(C1C2C3)+P(C1C2C3)+P(C1C2C3所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512+0.384=0.896.6.(2024大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需运用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需运用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需运用设备的概率;(2)X表示同一工作日需运用设备的人数,求X的数学期望.解析记Ai表示事务:同一工作日乙、丙中恰有i人需运用设备,i=0,1,2,B表示事务:甲需运用设备,C表示事务:丁需运用设备,D表示事务:同一工作日至少3人需运用设备.(1)D=A1·B·C+A2·B+A2·B·C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C2i×0.5所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B·C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B·C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(B·A0·C)=P(B)P(A0)P(C)=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·C+B·A0·C+B·A1·C)=P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A1)P(C)=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2025届四川成都双流棠湖中学开学考试,2)某校共有500名高二学生,在一次考试中全校高二学生的语文成果X听从正态分布N(110,σ2)(σ>0),若P(100≤X≤110)=0.3,则该校高二学生语文成果在120分以上的人数大约为()A.70B.80C.90D.100答案D2.(2025届浙江温州九校高三第一次联考,7)抽奖箱中有15个形态一样,颜色不一样的乒乓球(2个红色,3个黄色,其余为白色),抽到红球为一等奖,黄球为二等奖,白球不中奖.有90人依次进行有放回抽奖,则这90人中中奖人数的期望和方差分别是()A.6,0.4B.18,14.4C.30,10D.30,20答案D3.(2024江西九江十校联考二模,5)设随机变量ξ听从正态分布N(μ,7),若P(ξ<2)=P(ξ>4),则μ与Dξ的值分别为()A.μ=3,Dξ=7B.μ=3,Dξ=7C.μ=3,Dξ=7D.μ=3,Dξ=7答案C4.(2024山东济南外国语学校12月月考,4)“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳嬉戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代渐渐风靡世界.其嬉戏规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”嬉戏竞赛,则小军和大明竞赛至第四局小军胜出的概率是()A.127B.227C.2答案B二、填空题(每小题5分,共15分)5.(2024安徽合肥名校联考,13)已知随机变量X~N(1,σ2),若P(X>0)=0.8,则P(X≥2)=.

答案0.26.(2024辽宁沈阳东北育才学校第一次模拟,14)抛掷两枚骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验胜利,则在8次试验中,胜利次数ξ的期望是.

答案407.(2024江西南昌模拟,14)口袋中装有大小形态相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,已知第一次取得红球,则其次次取得白球的概率为.

答案3三、解答题(共35分)8.(2025届广东佛山禅城统一调研考试(二),21)某农科所培育一种新型水稻品种,首批培育幼苗2000株,株长均介于185mm~235mm,从中随机抽取100株对株进步行统计分析,得到如下频率分布直方图:(1)求样本平均株长x和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值代替);(2)假设幼苗的株长X听从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2,试估计2000株幼苗的株长位于区间(201,219)的株数;(3)在第(2)问的条件下,选取株长在区间(201,219)内的幼苗进入育种