安徽省桐城市重点中学2024-2025学年高一数学上学期开学教学质量检测试题含解析

PAGEPAGE20数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）若函数，则A. B.1 C. D.27若集合，，则A. B.1， C. D.设，，的大小关系是A. B. C. D.已知映射f：若集合A中元素x在对应法则f下的像是，则B中元素的原像可以是A. B. C. D.2若圆的半径为6cm，则圆心角为的扇形面积是A. B. C. D.若函数的零点所在区间为，则k的值是A.1 B.2 C.3 D.函数在上的大致图象是A. B.

C. D.若不等式在上有解，则实数m的取值范围是A. B. C. D.设直线与函数，，的图像在内交点的横坐标依次为，，，则A. B. C. D.已知锐角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合若角的终边与圆心在原点的单位圆交于点，函数在区间上具有单调性，则角的取值范围是A. B. C. D.已知，若函数对随意满意，则不等式的解集是A. B.

C. D.已知是定义在R上的奇函数，也是奇函数，当时，若函数，则在区间上的零点个数是A.108 B.109 C.144 D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）满意y，的集合B的个数是______．若，则______．计算：______．下列推断正确的是______将你认为全部正确的状况的代号填入横线上．

函数的最小正周期为；

若函数，且，则；

若，则；

若函数的最大值为M，最小值为N，则．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知全集，集合，．

求；

设集合若，求实数a的取值范围．

设函数．

在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图请先列表，再描点连线；

若，求的值．

设函数．

用定义证明函数在区间上是减函数；

若不等式对随意恒成立，求实数m的最小值．

为削减人员聚集，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式上班分析显示，当S中有的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为：，单位：分钟．

而公交群体中的人均上班路上时间不受x的影响，恒为40分钟，试依据上述分析结果回家下列问题：

当x取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？

已知上班族S的人均上班时间计算公式为：，探讨的单调性，并说明实际意义．

注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时

设函数的最小正周期为，其中．

求函数的递增区间；

若函数在上有两个不同的零点，，求实数m的取值范围．

设函数且是定义在R上的奇函数．

若，求使不等式对恒成立的实数k的取值范围；

设函数的图像过点，函数若对于随意的，，都有，求M的最小值．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：依据题意，函数，

则，

则，

故选：B．

依据题意，由函数的解析式可得的值，进而计算可得答案．

本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．

2.【答案】A

【解析】解：1，，，

．

故选：A．

可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．

本题考查了描述法和列举法的定义，对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算实力，属于基础题．

3.【答案】B

【解析】解：，且，

，

，，

，，即，

，

故选：B．

利用对数函数和指数函数的性质求解．

本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要仔细审题，留意对数函数和指数函数的性质的合理运用．

4.【答案】C

【解析】解：集合A中元素x在对应法则f下的像是，

中元素的原像可以是：，

故选：C．

干脆依据集合A中元素x在对应法则f下的像是，即可求解结论．

本题考查映射的概念，留意分清象的集合和原象的集合，还有对应法则．

5.【答案】B

【解析】解：，，

扇形面积．

故选：B．

由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．

本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．

6.【答案】A

【解析】解：函数单调递增，故函数只存在一个零点，

且：，，

由函数零点存在定理可得，函数的零点在区间内，故．

故选：A．

首先确定函数的单调性，然后结合函数的端点值和函数零点存在定理即可确定实数k的值．

本题主要考查函数零点存在定理及其应用，属于基础题．

7.【答案】A

【解析】解：，则是奇函数，图象关于原点对称，解除C，D，

当时，，解除B，

故选：A．

推断函数的奇偶性和对称性，利用进行推断即可．

本题主要考查函数图象的识别和推断，利用奇偶性和对称性以及函数值的对应性是解决本题的关键，是基础题．

8.【答案】B

【解析】解：不等式可化为，

设，则，

所以不等式在上有解，

实数m的取值范围是，即．

故选：B．

把不等式化为，设，求出在上的最小值，即可求得m的取值范围．

本题考查了不等式在闭区间上有解的应用问题，是基础题．

9.【答案】D

【解析】解：当时，

，，

，，

又，，

，，

．

故选：D．

当时，可求出，利用诱导公式，，可求出，即可求解．

考查了诱导公式的应用，特别角的三角函数值，属于基础题．

10.【答案】D

【解析】解：锐角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合．若角的终边与圆心在原点的单位圆交于点，

，，，，．

函数在区间上具有单调性，

，，

故选：D．

由题意利用随意角的三角函数的定义，二次函数的对称轴，可得，由此可得锐角的取值范围．

本题主要考查随意角的三角函数的定义，二次函数的对称轴，属于中档题．

11.【答案】C

【解析】解：，

，

，

，，

，

，

，即，

，解得或，

原不等式的解集是：．

故选：C．

依据可得出，然后即可求出，然后由原不等式可得出，进而得出，然后解出x的范围即可．

本题考查了偶函数的定义，对数的运算性质，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算实力，属于中档题．

12.【答案】D

【解析】解：因为是定义在R上的奇函数，也是奇函数，

所以，，则，

所以是周期为2的函数，

因为的周期为2，

所以函数是周期为2的函数，

所以，，，

则在区间上，，

故函数在区间上的零点个数是个．

故选：D．

由题意可知是周期为2的函数，进而推断出也是周期为2的函数，求出，，，利用的周期性进行分析求解即可．

本题考查了函数的零点问题，同时考查了函数的周期性的理解和应用，解题的关键是推断出函数的周期为2，考查了逻辑推理实力，属于中档题．

13.【答案】4

【解析】解：y，，

y，，且，

，，，y，

故答案为4．

依据y，，易知y，，且，用列举法写出满意已知条件的集合B，即可求出集合B的个数．

此题是个基础题．考查集合的并集及其运算，以及子集和真子集等基础学问，考查学生敏捷应用学问分析、解决问题的实力．

14.【答案】

【解析】解：依据题意，若，

当时，有，

故答案为：．

依据题意，在中，令可得答案．

本题考查函数解析式的求法，留意特别值的运用，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：原式．

故答案为：．

进行对数和分数指数幂的运算即可．

本题考查了对数和指数的运算性质，考查了计算实力，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：对于，函数，所以函数的最小正周期为，故错误；

对于，若函数，且，即或，则或，故错误；

对于，若，则，

故，

整理得：，

转换为，故正确；

对于，若函数，

设，由于，所以函数为奇函数，

故函数的单调性相同，

所以函数的最大值和最小值为一组相反数，故的最大值为，最小值为，则，故正确；

故答案为：．

干脆利用三角函数的关系式的变换，三角函数的性质的应用，对数的运算，函数的单调性和奇偶性的应用推断的结论．

本题考查的学问要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质的应用，对数的运算，函数的单调性和奇偶性的应用，主要考查学生的运算实力和数学思维实力，属于中档题．

17.【答案】解：依题意，集合，

因为，所以，所以．

因为，所以，

当时，与冲突，不符题意；

当时，，若，则；

由得，实数a的取值范围是．

【解析】化简集合A，依据补集的定义写出，再计算．

依据得出，探讨和时，利用求出a的取值范围．

本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类探讨思想，是中档题．

18.【答案】解：列表如下：x02002描点，连线，可得函数图像如下：

由，得，

由，

得，

由，

得，

则．

【解析】由条件即可利用五点法做函数函数的简图．

由题意可得，进而依据诱导公式化简即可求值得解．

本题主要考查用五点法做函数在一个周期上的简图，考查了三角函数化简求值，体现了转化的数学思想，属于基础题．

19.【答案】解：证明：任取，且，

则，

，且，即，

，，

，即，

在上是减函数；

不等式对随意恒成立，

对随意恒成立．

令，

结合知，在上单调递增，

则．

则，

即，

解得．

所以m的最小值是．

【解析】由单调性的定义，结合不等式的性质，即可得证；

由参数分别可得对随意恒成立，令，由指数函数的单调性和的结论，可推断的单调性，求得最大值，再由对数不等式的解法可得所求最小值．

本题考查函数的单调性的推断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算实力、推理实力，属于中档题．

20.【答案】解：依题意，得当时，，不符，

当时，，

若公交群体的人均上班时间等于自驾群体的人均上班时间，即，则，

解得或舍，

即当时自驾群体的人均上班时间等于公交群体的人均上班时间．

当时，，

当时，，

当时，单调递减，则，

当时，，

在上单调递减，；

在上单调递增，

当时单调递减，当时单调递增．

说明该地上班族S中有小于的人自驾时，人均上班时间递减；当大于的人自驾时，人均上班时间递增；当自驾人数等于时，人均上班时间最少．

【解析】利用题中的条件，列出方程即可干脆解出；

先将表示出来，利用二次函数的单调性即可解出．

本题考查了函数的应用，函数的单调性，学生的抽象概括实力，属于基础题．

21.【答案】解：依题意，，

的最小正周期为，且，，解得，

，设，

函数的递增区间是，

由，

得．

函数的递增区间是；

当时，令，则，

在上递增，在上递减．

，

函数在上有两个不同的零点，

函数与两图像在上有两个不同的交点，

函数与两图像在上有两个不同的交点，

，解得

实数m的取值范围是．

【解析】依据余弦的差角公式以及倍角公式，协助角公式化简函数的解析式，利用周期求出的值，然后利用整体代换思想以及正弦函数的单调性即可求解；先求出函数在已知定义域上的值域，然后将已知问题转化为函数与两图像在上有两个不同的交点，依据函数的值域即可求解．

本题考查了三角函数的解析式，单调性以及图像性质，涉及到倍角公式以及协助角公式的应用，考查了学生的运算推理实力，属于中档题．

22.【答案】解：是定义在R上的奇函数，，，解得，

则，

而等价于，

若，则，结合且，解得，

则为增函数，

结合，可得，

依据题意，对恒成立．

则，解得，

即实数k的取