湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷（含答案）

湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设集合4={1,3},B={x}x2-3x+m^0],若AcB={l},则集合B=()

A.[1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

2.若复数z满足三=一1一i,贝Uz=()

A.2+2iB.-2-21C.-2iD.21

3.等差数歹K&JOiCN*)中，a2=10,a7-a4=2a1,则a7=()

A.40B.30C.20D.10

Q11

4.已知sin(a+/?)———-----F---—2,则sinasin/?=()

厂5tanatan/?

A，——10B-5JC--5D—10

5.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将

其六个顶点看作正方体各个面的中心点.若正八面体的表面积为12门，则正八面体外接球的体积为()

A.4，^兀B.4^/~觊C.12兀D.367r

6.已知函数/(K)=COSK+靖，且a=/(2)、b=f>c=/(ln2),贝!|a、b、c的大小关系()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

7.当％G时,曲线y=cos%与y=2cos(3x-交点的个数为()

A.3B.4C.5D.6

8.已知/(%)的定义域为民/(%+y)+/(%-y)=3/(%)/(y),且/⑴=g,则E匿6/(々)=()

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的

分数转换区间为[30,100],若等级分X〜N(80,25),则()参考数据：P(〃一<XW〃+。)=0.6827；

P(〃—2a<X<12+2<7)=0.9545；P(〃-3a<X<^+3(r)=0.9973

A.这次考试等级分的标准差为5

B.这次考试等级分超过80分的约有45人

C.这次考试等级分在[70,80]内的人数约为48人

D.P(65<X<75)=0.1573

10.中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰

的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一

个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八

字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线C：(7+y2)2=9(/一丫2)是双纽线，则下列结论正确的是()

A.曲线C的图象关于y=久对称

B.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

C.曲线C经过7个整点(横、纵坐标均为整数的点)

D.若直线y=依与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(-8,-1]u[1,+8)

11.已知函数/'(%)-x2-21nx,则下列选项中正确的是()

A.函数/(久)的极小值点为％=1

B1(表)>/(当

C.若函数g(%)=Cl%l)-t有4个零点,则力eC+8)

D.若f(%)=/(x2)(x1W冷)，则%1+%2V2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量巨1满足同=2,3=(3,0),则向量B在向量B方向上的投影向量的坐标为弓,0),则

|a—b|=.

13.已知双曲线A=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为儿尸2，离心率为2,过点F1的直线咬E的左

支于4B两点.|OB|=|0川(。为坐标原点)，记点。到直线/的距离为d,贝哈=.

14.十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开.会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名

工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人，每人只负责一个会议厅，则甲、乙两

人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.(用数字作答)

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

记团ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知—a)sinA=(b+c)(sinB-sinC).

(1)求角C；

⑵若回ABC外接圆的半径为2,求回力8c面积的最大值.

16.(本小题12分)

如图，四边形力BCD与四边形力DEF均为等腰梯形，BC//AD,EF//AD,AD=4,AB=/2,BC=EF=

2,AF=y/lA,尸81平面ABC。，M为4。上一点，且FM14D,连接BD、BE、BM.

(1)证明：BC_L平面8FM；

(2)求平面4BF与平面DBE的夹角的余弦值.

17.(本小题12分)

222

如图在平面直角坐标系比Oy中，已知椭圆G：2+y2=1,椭圆C2：9+9=1,直线1与椭圆Q只有一个公

共点，且与椭圆。2交于4B两点.

(1)当直线Z倾斜角为135。时，求直线/的方程；

(2)求证：回208的面积为定值.

18.(本小题12分)

已知函数/(久)=(x—l)ex—x2.

(1)求函数的单调区间；

(2)求/(%)的零点个数.

(3)。(K)=f(x)-6在区间［一1,；］上有两个零点，求机的范围?

19.(本小题12分)

对于WieN*,若数列｛功｝满足/+i-%九＞1,则称这个数列为“K数列”.

(1)已知数列1,2m,?712+1是“氏数列”，求实数TH的取值范围.

(2)是否存在首项为-2的等差数列为“K数列”，且其前几项和土使得一九恒成立?若存在，求

出数列｛厮｝的通项公式；若不存在，请说明理由.

(3)已知各项均为正整数的等比数列｛即｝是“K数列”，数列《a"不是"K数列"，若"图,试判断数

列｛g｝是否为“K数列”，并说明理由.

参考答案

l.B

2.C

3.B

4.4

5.B

6.D

1.D

8.B

9.ACD

1Q.BD

11.AC

12.710

1°，2

14.114

15.1?：(1)

由已知及正弦定理可得(Wb-a)a=(b+c)(b-c),

整理得a?+b2—c2=y/~3ab,

vCe(0,兀),C=也

(2)

•••回ABC外接圆的半径为2,

=4,得22

sinec—2,a+b=4+y[3ab,

又a2+b2>2ab,・•・ab<4(2+V-3),

当且仅当a=b=时，等号成立，

11

X

2-2-4(2+A<3)Xi=2+<3,

即因ABC面积的最大值为2+G

16.解：(1)

因为FBI平面2BCD,又ADu平面4BCD,

所以FB12D.又FM1AD,且=

所以AD1平面BFM.因为BC〃/W,所以BC1平面BFM.

(2)

作EN14D,垂足为N,则FM〃EM又EF〃4D,

所以四边形FMNE是平行四边形，又EN1AD,

所以四边形FMNE是矩形，又四边形力DEF为等腰梯形，且AD=4,EF=2,

所以4M=1.

由(1)知4。1平面BFM,所以BM1力。.又4B=，！，

所以BM=1.在Rt△4FM中，FM=y/AF2-AM2=710.

在Rt回FMB中,•••FB=<FM2-BM2=3.

由上可知，能以BM,BC,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

则4(-1,一1,0),B(0,0,0),F(0,0,3),£>(-1,3,0),E(0,2,3),所以，AB=(1,1,0),BF=(0,0,3),BD=

(-1,3,0),诙=(0,2,3),设平面ABF的法向量为沅=(久1，%/1),

由依蒙上得］黑可取吟1T。).

设平面BDE的法向量为元=(x2,y2,z2),

晒国=。,得『短+含=，可取元=(932).

I元・BE=Q"2月+3Z2=0,

r一一m-n9-33-/47

因m此lL，cos<m,上>=刖〜-81+9+4=▽.

依题意可知，平面4BF与平面DBE的夹角的余弦值为空.

17.解：(1)

2

因为直线/倾斜角为135。，直线I为y=-久+6,因为椭圆Ci：^+y2=1,

y——x+b

直线1与椭圆G只有一个公共点，联立方程避得3y2—2"+62—2=0,

3+y=1

zl=4b2-12(b2-2)=0,.-.b=±<3,所以直线Z为x+y+C=0或x+y=0

(2)

y=kx+b

因为直线，与椭圆Cl只有一个公共点，设直线1为'=/«+6由7得

匕+y=i

(2/c2+l)x2+4kbx+2b2—2=0,4=16k2b2—4(21+1)(2Z?2—2)=0,2k2—b2+1=0,

y=kx+b

2

又因为直线与椭圆。2交于4B两点%2y2得(2/+1)X2+4kbx+2b-4=0

IT+T=1

_—4kb

\x+x

所以]12]

因为直线/与y轴交于点(0,b),所以品4°B=21b|x\x-x\

Zb—4±2

”2=2必+1

所以酶3=泄，(久】+92-加无2=加(元粤)2—4・嘉

222

=1叫—8b(2/c-/b

18.1?：(1)

由题可得：f'(x)-xex—7.x—x(e%—2),

令/''(%)=0,解得：x=0或x=ln2,

令f’(x)<0,解得：0<x<ln2；

令f'(x)>0,解得：x<0或%>ln2；

所以f(x)的单调减区间为:(0,ln2)；单调增区间为：(—8,0),(ln2,+8)

(2)

因为/'(%)的单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(—8,0),(ln2,+co),

由于〃0)=-1<0,则/(久)在(—8,0)上无零点；

由于『(ln2)=2(ln2-1)-(ln2)2<0,则/(x)在(0,ln2)上无零点;

由于f(2)=e2-4>0,则/(久)在(ln2,2)上存在唯一零点；

综上，函数/(x)在R上存在唯一零点.

(3)

若g(x)=f(x)-m在区间［-1,刍上有两个零点，则函数y=f(x)与y=ni在区间［-1,手上有两个交点;

由⑴知，f(x)在(-1,0)上单调递增，(0,手上单调递减；

*；〉/(-1)，

所以函数y=f(x)与y=m在区间［-1,目上有两个交点，则一与<m<-1,

即g(x)=f(x)一根在区间卜局上有两个零点，则小的范围为卜与一一1)

19.解：(1)

由题意得2m-1>1,且(zu?+1)一2m>1,解得m>2,所以实数m的取值范围是(2,+8).

(2)

不存在.理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为d,则d〉l,

由的=—2得S九=—2n+几*1)d.

12

<-n

由题意，得—2n+也#d2—71对VMeN*均成d,§P(n—l)d<n+2.

当n=1时，deR；

当律>1时，d〈华恒成立,

因为时|=匕1辛=1+吃>1,所以dWl,与d>l矛盾，

n—1n—in—1

所以这样的等差数列不存在.

(3)

设数列｛册｝的公比为q，贝IJ%=%q九T.

因为｛a九｝的每一项均为正整数，且%i+i-%=anq-an=an(q-1)>1>0,

所以在｛%；—。九.1｝中，。2-为最小项，

同理，a九一,a九一1｝中，2a2—2的为最小项.

由｛%J为"K数列"，只需-&>1,即%(q-1)>1.

又因为《即｝不是“K数列”，且ga2-为最小项，

11

2-2-即Qi(q-1)<2.

由数列｛。九｝的每一项均为正整数，可得的(q—1)=