重庆市缙云教育联盟2024-2025学年高一数学9月月考试题

PAGE20PAGE19重庆市缙云教化联盟2024-2025学年高一数学9月月考试题留意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，全部答案必需用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，全部答案必需填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一、选择题已知函数，若且，则函数取得最大值时x的可能值为A. B. C. D.已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是A.， B.，

C. D.直线与圆O：相交于M，N两点，若，P为圆O上随意一点，则的取值范围为A. B. C. D.已知平面对量，，满意，，记与夹角为，则的最小值是A. B. C. D.已知且，若向量满意，则当向量、的夹角取最小值时，A. B.8 C. 已知函数，若使得在区间上为增函数的整数有且仅有一个，则实数的取值范围是A. B. C. D.平面上的两个向量和，若向量，且，则的最大值为

A. B. C. D.已知函数在定义域R上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是

A. B. C. D.二、不定项选择题把函数的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变后得到函数的图象，对于函数有以下四个推断，其中正确的是A.该函数的解析式为

B.该函数图象关于点对称

C.该函数在上是增函数

D.函数在上的最小值为，则下列说法中错误的为

A.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

B.向量不能作为平面内全部向量的一组基底

C.若，则在方向上的投影为

D.非零向量和满意，则与的夹角为已知函数，下列说法正确的是

A.是周期函数

B.若，则

C.在区间上是增函数

D.函数在区间上有且仅有1个零点在平面直角坐标系xOy中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．已知点是角终边上一点，，定义对于下列说法：其中正确的是A.函数的值域是；

B.函数的图象关于直线对称；

C.函数是周期函数，其最小正周期为；

D.函数的单调递减区间是，．第II卷（非选择题）三、填空题已知，向右平移个单位后为奇函数，则______，若方程在上恰有两个不等的根，则m的取值范围是______．在中，已知，，，则的面积为______．已知平面对量，，，满意，，，若平面对量且，则的最小值是______．半径为R的圆外接于，且，若，则面积的最大值为________．四、解答题如图所示，海平面上有3个岛屿A，B，C，它们位于海平面上，已知B在A的正东方向，C在A的北偏西的方向，C在B的北偏西方向上，某一天上午8时，甲，乙两人同时从A岛屿乘两个汽艇动身分别前往B，C两个岛屿执行任务，他们在上午的10时分别同时到达B，C岛屿．现在已知甲乙都是匀速前进的，且乙的前进速度为3海里小时．

求A、B两个岛屿之间的距离；

当天下午2时甲从B岛屿乘汽艇动身前往C岛屿执行任务，且速度为海里小时，1个小时后乙马上从C岛屿乘汽艇以原速度返回A岛屿，求乙前进多少小时后，甲乙两个人之间的距离最近？

留意：．

已知向量，且函数的两条对称轴之间的最小距离为．

Ⅰ若方程恰好在有两个不同实根，，求实数m的取值范围及的值．

Ⅱ设函数，且，求实数a，b的值．

已知函数．

Ⅰ求的最小正周期和单调递增区间；

Ⅱ将函数的图象上全部点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有2个根，求a的取值范围．

已知向量，且函数的两条对称轴之间的最小距离为．Ⅰ若方程恰好在有两个不同实根，，求实数m的取值范围．Ⅱ设函数，且，求实数a的值．

已知向量且函数的两条对称轴之间的最小距离为．Ⅰ若方程恰好在有两个不同实根，求实数m的取值范围及的值．Ⅱ设函数，且，求实数a，b的值．

已知向量，函数，．

当时，求的值；

若的最小值为，求实数m的值；

是否存在实数m，使函数有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由可知函数的对称轴为，所以由题意可得，，解得，，

又因为，所以，即，可得，

所以可得，，

所以，

所以取到最大值时，则，，即，，

当k取适当的整数时，只有适合，

故选：B．

由可知函数的对称轴为，进而求出的取值集合，再由，可得的取值集合，代入函数中可得，进而求出函数取到最大值时x的集合，k取适当的整数可得x的取值选项．

本题考查函数的对称性及函数的最值的求法，属于中档题．

2.【答案】D

【解析】解：当时，要使函数在区间上的最小值为，则，，即，，则可得；

当，则，，，，则可得，

故选：D．

分的正负探讨，要使函数在区间上的最小值为可知，或，分别求出的范围即可．

本题考查求由三角函数的单调性求最值的应用，属于中档题．

3.【答案】A

【解析】解：取MN的中点A，连接OA、OP，则，

，点O到直线MN的距离，

在中，，，

，

，

当，同向时，取得最小值，为；

当，反向时，取得最大值，为．

的取值范围为．

故选：A．

取MN的中点A，连接OA、OP，由点到直线的距离公式可得，于是推出，，而，故，其中，从而得解．

本题考查平面对量在几何中的应用，除了平面对量的线性运算和数量积运算外，还用到了点到直线的距离公式、二倍角公式等，考查学生的逻辑推理实力和运算实力，属于中档题．

4.【答案】D

【解析】解：设，则．

又．

．

则

．

，，则，

当时，，有最大值为，

有最小值为，

又，

的最小值是．

故选：D．

设，则，用数量积表示与的夹角的余弦值，转化为二次函数求最值．

本题考查平面对量的数量积运算，训练了利用二次函数求最值，考查计算实力，是中档题．

5.【答案】C

【解析】解：如图，

设，，，

由，得C在以A为圆心，以2为半径的圆上，

由图可知，当OC与圆A相切时，向量、的夹角取最小值，

，，，可得，则向量、的夹角取最小值为，且．

．

故选：C．

由题意画出图形，求得向量、的夹角的最小值，并求得当向量、的夹角取最小值时的，代入向量数量积公式求解．

本题考查平面对量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

6.【答案】D

【解析】解：函数，

使得在区间上为增函数，

可得：，，可得，，

当时，满意整数至少有1，2，舍去；

当时，由，时，，

由时，，要使整数有且仅有一个，需，解得．

实数的取值范围是

故选：D．

由已知可求，，可得，，分类探讨，可得当时，由，时，，由时，，要使整数有且仅有一个，需，即可解得实数的取值范围．

本题主要考查利用的图象特征，单调性的应用，是中档题．

7.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查平面对量的数量积及模长公式，考查与圆有关的最值问题，属于较难题．

由题意得出，画出图形，取AB的中点D，求出，说明C在以D为圆心的圆上，利用求O点到圆上点的最大值的方法即可求出．【解答】解：，，

，，，，取AB的中点D，且，如图所示：则，，，，，在以D为圆心，为半径的圆上，的最大值为

故选B．

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，协助角公式，考查计算实力，属于较难题．

由题意可知：为R上的单调函数，则为定值，由指数函数的性质可知为R上的增函数．

则在单调递增，求导，则恒成立，则，依据函数的正弦函数的性质即可求得k的取值范围．

【解答】

解：若方程无解，

则

或恒成立，所以为R上的单调函数，

，都有，

则为定值，

设，则，易知为R上的增函数，

，

，

又与的单调性相同，

在R上单调递增，则当，恒成立，

当时，，

，

，

此时，

故选A．

9.【答案】BD

【解析】【分析】

本题主要考查的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．

利用的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，的得出结论．

【解答】解：把函数的图象沿着x轴向左平移个单位，可得的图象；

再把纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变后得到函数的图象，

对于函数，故选项A不正确；

由于当时，，故该函数图象关于点对称，故B正确；

在上，，故该函数在上不是增函数，故C错误；

在上，，故当时，该函数在上取得最小值为，，故D正确．

故选BD．

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查平面对量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等学问，对学问广度及精确度要求比较高，属于较难的题．

由向量的数量积、向量的投影、基本定理与向量的夹角等基本学问，逐个推断即可求解．

【解答】

解：对于与的夹角为锐角，

，

且时与的夹角为，

所以且，故A错误；

对于B．向量，即共线，故不能作为平面内全部向量的一组基底，B正确；

对于若，则在方向上的正射影的数量为，故C错误；

对于因为，两边平方得，

，

则，

，

故，

而向量的夹角范围为，

得与的夹角为，故D项错误．

故错误的选项为ACD．

故选ACD．

11.【答案】AB

【解析】【分析】

本题考查正弦、余弦函数的图象与性质，二倍角公式，属于较难题，

先对函数化为分段函数，利用三角函数的图象和性质，逐一分析每一个选项即可．

【解答】

解：函数化为分段函数

对于A，，是周期为的函数，故A正确；

对于B，因为，可得，

则有，

此时可得，

可得，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，可知，故D错误．

故选AB．

12.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题主要考查新定义，随意角的三角函数的定义，函数的周期性、单调性的定义，函数的图象的对称性，属于中档题．

由题意可得，再利用函数的周期性、单调性的定义，函数的图象的对称性得出结论．

【解析】

解：由已知点是角终边上一点，，

定义，当时，函数取最大值为；

当时，取最小值为，

可得的值域是，故A正确．

由于点关于直线即的对称点为，故，

故函数的图象关于直线对称，故B正确．

由于角和角的终边相同，故函数是周期函数，其最小正周期为，故C正确．

在区间上，x不断增大，同时y值不断减小，r始终不变，故不断增大，故是增函数，

故函数在区间，上不是减函数，故D不对，

故选ABC．

13.【答案】

【解析】解：，其中，，

则其向右平移后，

因为此时函数为奇函数，故，

则或，即或，，

因为，故只能，

即此时有，，

所以；

方程在上恰有两个不等的根

等价于函数与在图象有2个不同的交点，

作出函数的图象如下：

由图可得．

依据平移后函数为奇函数，结合得范围可得，；

方程有不等两根等价于函数与图象有2个交点，数形结合即可．

本题考查三角函数相关性质，考查方程根与图象交点个数之间的转化，涉及数形结合思想，属于中档题．

14.【答案】

【解析】解：，

，

作，则，则，即，

设，则，

在中，由余弦定理得：，

即，整理解得：，

，，，

在中，由余弦定理得．

则，

则的面积，

故答案为：．

作，则，设，则，在中，由余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出CD与BD的长，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出cosB的值，然后求出sinB，利用三角形的面积公式进行求解即可．

本题主要考查解三角形的应用，依据条件作出协助线，利用余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，有肯定的难度．

15.【答案】

【解析】解：，，即，

不妨令，由于，所以，，

如图所示，分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，则，

，

，且x，，

点S的轨迹是以4为焦距的双曲线的右支．

，，

如图，设的夹角为，则，，

，，

即，的夹角为，

，，，

，

当且仅当即时，取得等号．

故答案为：．

由，可知，于是可分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，此外，不妨设，则，，，于是有，而，且x，，所以点S的轨迹是以4为焦距的双曲线的右支．再设的夹角为，可推知，的夹角为，将其代入，可得，最终结合双曲线的定义、平面对量的减法运算、勾股定理和均值不等式等可求得的最小值．

本题主要考查的是平面对量的运算，实际须要将其转化为双曲线，利用双曲线的性质来解题，其中还用到了三角函数和均值不等式的学问，综合性很强，考查学生转化与化归的实力、逻辑推理实力和运算实力，属于难题．

16.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，函数的图象与性质，属于中档题．

利用正弦定理将已知条件转化为边之间的关系，然后用余弦定理求得利用三角形面积公式，结合两角差的正弦函数公式和二倍角公式得，再利用协助角公式得，最终利用函数的值域计算得结论．

【解答】

解：因为所以由正弦定理得：，即，所以由余弦定理可得：，

又，

故．

由正弦定理得：，所以，所以当时，S最大，．

若，则面积的最大值为．

故答案为．

17.【答案】解：由题意知，，，，海里，

中，由正弦定理得，，

所以，

所以A、B两个岛屿之间的距离为海里；

由正弦定理得，，

所以；

设乙从C岛峪乘汽艇以原速度返回A岛屿运行t小时到达P处，

则甲从B岛屿乘汽艇动身前往C岛屿执行任务运行小时到达Q处，

，其中，

当且仅当时，取得最小值；

又，所以；

所以乙前进小时后，甲乙两个人之间的距离最近．

【解析】中由正弦定理求得AB的值即可；

由正弦定理求出BC，再利用余弦定理求，计算取最小值时对应的时间即可．

本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解实力，是中档题．

18.【答案】解：

．

因为函数的两条对称轴之间的最小距离为，所以，解得，

．

Ⅰ当时，由正弦型函数的图象性质知，在上递增，在上递减，在上递增，

所以，，

且，，

所以，或．

Ⅱ因为，所以，所以，

即．

当时，在上递增，满意，解得，，；

当时，在上递减，满意，解得，，．

综上所述：或．

【解析】先依据二倍角公式和协助角公式将函数化简为，再由函数的周期性可求得，从而可得．

Ⅰ依据正弦型函数的图象性质，推断函数在上的单调性，再求出最大值、最小值和端点处的函数值，从而得解；

Ⅱ易知，再分两类：和，并结合一次函数的单调性，列出关于a和b的方程组，解之即可．

本题考查了平面对量数量积的运算、三角函数与三角恒等变换的综合应用，娴熟驾驭正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理实力和运算实力，属于中档题．

19.【答案】解：Ⅰ

，

所以，的最小正周期为．

令，得．

所以的单调递增区间为．

Ⅱ由Ⅰ知，

将函数的图象上全部点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，

得到的图象；

再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，

所以．

由，得，或．

当时，．

当且仅当，即时，．

由题意，仅有一个根，因为，，

所以，a的取值范围是．

【解析】Ⅰ由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，得出结论．

Ⅱ由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再结合三角函数的图象与性质，求得a的范围．

本题考查三角恒等变换、正弦函数的周期性和单调性，定义域和值域，函数的图象变换规律，三角函数的图象与性质，属于中档题．

20.【答案】解：依题又因为两条对称轴之间的最小距离为，所以由得：，

；Ⅰ当时，，

由正弦函数的图像和性质易知：在上递增，在上递减，在上递增，当时，取得最大值，当时，取得最小值，且，所以；Ⅱ当时，，所以，

所以，

当时：在上递增，满意：，此时无解，

当时：在上递减，满意：，解得：，

综上所述，．

【解析】本题考查三角函数的图像和性质，考查平面对量的数量积、三角函数的恒等变形，属于中档题．Ⅰ首先依据数量积的坐标运算以及三角函数的恒等变形公式得到依题，由两条对称轴之间的最小距离为，求出w得到函数解析式，利用正弦型函数的性质得到的单调性即可求出m的取值范围；Ⅱ首先依据三角函数的图象和性质