人教版九年级数学上册专项复习：圆与三角形的综合

专题24.3圆与三角形的综合

典例精析

【典例1】在R/fflABC中，勖CA=90。，CA=CB,点。是0ABC外一动点(点8,点。位于AC两侧)，连

接CO,AD.

(1)如图1,点。是A3的中点，连接OC,OD,当0Ao。为等边三角形时，0Aoe的度数是

(2)如图2,连接B。，当EAOC=135。时，探究线段B。，CD,ZM之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,回。是0ABe的外接圆，点。在4c上，点E为AB上一点，连接CE,DE,当AE=L

BE=7时，直接写出团CDE面积的最大值及此时线段8。的长.

【思路点拨】

(1)由等腰直角三角形的性质得/CtM=90。，C0=0A,再由等边三角形的性质得ZODA=

/Z)CM=60°,然后求出NOOC=75°,即可求解；

(2)过点C作CH_LC。交的延长线于点证AACH咨ABCD(SAS),得BD=AH=HD+DA=

42CD+AD-,

(3)连接。C,由勾股定理得CE=5,过点。作ONJ_CE于N,延长0N交。。于点。，此时点。到CE

的距离最大，△CDE面积的面积最大，然后由三角形面积求出0N=音，则DN=OD-ON屋,即可求解三

角形COE的面积最大值，最后用勾股定理借助(2)的结论求出A£),即可求出80.

【解题过程】

解：(1)回勖CA=90。，BC=AC,点。是AB的中点,

1

团团COA=90°,CO=-AB=OA

2f

酿AO。是等边三角形,

回00=04,团0DARD0A=60°,

^OC=OD,^COD=^\COA-团004=90°-60°=30°,

^\ODC=-(180°-0COD)=-x(180°-30°)=75°,

22

^ADC^ODC+SODA=75°+60°=135°,

故答案为：135。；

(2)解：线段BD,CD,ZM之间的数量关系为：BD=&CD+DA,

理由如下：过点C作C/fflC。交的延长线于点X,如图2所示:

I*

HL

图2

贝崛88=180°-a4DC=180°-135°=45°,

团SDC”是等腰直角三角形，

0CH=CD,HD=42CD,

00BC4=9O°,

^}ACH=^BCD,

m\CtmBCD(SAS),

^BD=AH=HD+DA=y/2CD+AD；

(3)解：连接OC,如图3所示：

图3

00BCA=90",BC=AC,

fflACB是等腰直角三角形,

B0ABC=45°,

盟。是A4BC的外接圆，

回。是AB的中点，

EIOCHAB,OC^OA^-AB^-(AE+BE)=-x(1+7)=4,

222

^OE=OA-AE=4-1=3,

在RtLCOE中，由勾股定理得：CE=y/OC2+OE2=V42+32=5,

(BCE是定值，

回点。到CE的距离最大时，ACDE面积的面积最大，

0AB是回。的直径，

过点。作OA0CE于N,延长ON与回。的交点恰好是点。时，点。到CE的距离最大，ACDE面积的面积

最大，

0SAOC£=-OC»OE^-CE»ON,

22

arOCOE4X312

回ON=------=——=—,

CE55

团OD=OC=4,

12a

⑦DN=OD-ON=4—上=

55

此时，在RtACNO中,CN=y/OC2-ON2=J42-(^)2=£，

在RtLCND中,CD=y/CN2+DN2=J(y)2+(^)2=手，

在RtLABD中，BD2=AB2-A》=82-&》，

由(2)知，BD=V2CD+AD=V2X+AD=+AD,

082-AD2=(噂+A。)2,

财D=等，

0BD=幽+AD=幽+也=物更

5555

即△CZ)E面积的面积最大值为4,此时，BD=^.

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1.(2022•全国•九年级专题练习)已知48为。。的直径，AB=6,C为。。上一点，连接C4cB.

⑴如图①，若C为力B的中点，求NC4B的大小和力C的长；

(2)如图②，若AC=2,。。为。。的半径，且。。1CB,垂足为E,过点。作。。的切线，与4C的延长线相

交于点R求FD的长.

2.(2022•山西•九年级专题练习)如图，在EIABC中，AB=AC,^BAC<90°,以AB为直径作回。分别交

BC,AC于点。，E,连接A。，过点。作回。的切线交AC于点?

⑴试猜想BD和ED的数量关系，并说明理由.

(2)若4B=5VX/W=2/IU,求AF的长.

3.(2022•北京・人大附中九年级阶段练习)如图1,A8是。。的直径，点C在。。上，。为力CAC的中点,

连接BC,OD.

图1图2

⑴求证：ODIIBC；

(2)如图2,过点。作的垂线与。。交于点E,作直径E尸交BC于点G.若G为BC中点，。。的半径为

2,求弦BC的长.

4.(2022•安徽宿州•模拟预测)如图，为。。的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作ED1AE,

与。。相切于点。.

⑴求证：平分NB4C.

(2)若力C=3,AB=5,求CE和。E的长.

5.(2022,黑龙江齐齐哈尔,中考真题)如图，在0ABe中，AB=AC,以48为直径作团0,AC与回。交于点

BC与国O交于点E,过点C作CFII4B,MCF=CD,连接

⑴求证：8尸是回。的切线；

(2)若SBAC=45。，AZ)=4,求图中阴影部分的面积.

6.(2022・陕西・交大附中分校模拟预测)如图，回。是EIABC的外接圆，AB=AC,过点A作ADEIAB,交回。

于点。，交于点E,过点2作回。的切线，与ZM的延长线相交于点?

⑴求证：AF=AE；

(2)若回。的半径为2,BE=3,求DE的长.

7.(2022•湖北咸宁•模拟预测)如图，为。。的直径，AD和过点。。上点C的切线互相垂直，垂足为点

D,4D交。。于点E.

⑴求证：4C平分

(2)已知48=16,若点£为4C的中点，求图中阴影部分的面积.

8.(2022・全国•九年级课时练习)如图，线段A2经过O。的圆心O,交圆。于点A,C,BC=1,为。。

的弦，连接BD,ABAD=AABD=30°,连接。。并延长交。。于点E,连接3E交。。于点

⑴求证：直线是O。的切线;

(2)求线段3M的长.

9.(2022•全国•九年级课时练习)在。。中，弦CD与直径2B相交于点P,^ABC=16°.

(1)如图①，若482。=52。，求4ape和NCDB的大小;

(2)如图②，若CD1AB,过点。作。。的切线，与2B的延长线相交于点E,求NE的大小.

10.(2022・江苏•九年级期中)如图1,C、。为半圆。上的两点，且点。是弧8c的中点.连接AC并延长,

与BD的延长线相交于点E.

图3

(2)连接AD与。C、BC分别交于点尺H.

①若CF=CH,如图2,求证：CH=CE；

②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.

11.（2022•浙江丽水•九年级专题练习）如图，4B是。。的直径，点C在。。上，4C=BC,点。是BC的

中点，连结。C,4D,交于点E,连结

⑴求NEB力的度数.

⑵求证：AE=V2BD.

⑶若DE=1,求O。的面积.

12.（2022・全国•九年级课时练习）如图，在△力8c中，以48为直径作。0,交BC于点D,交4C于点E,且

BD=CD,过点。作。。的切线交4C于点F,过点。作4B的垂线，交AB于点G,交O。于点H.

⑴求证：DF1AC；

（2）若。G=1,求4E的长.

13.(2022•全国•九年级课时练习)如图，是回O的直径，点C是回。上的一点，OZM48交AC于点£,0D

⑴求证：C。是回。的切线；

(2)求证：DE=DC；

(3)若。。=5,CD=3,求AE的长.

14.(2022•湖南•长沙市长郡双语实验中学九年级阶段练习)如图，A8为回。的直径，切回。于点C,与

的延长线交于点O,OEBPO交尸。延长线于点E,连接OC,PB,已知尸8=6,DB=8,^EDB^EPB.

(1)求证：PB是回。的切线;

⑵求回。的半径；

(3)连接8E,求8E的长.

15.（2022•山东济南•二模）如图，。。是AABC的外接圆，其切线AE与直径8。的延长线相交于点E,且

AACB=60°.

⑴求证：AE=AB-,

（2）若DE=2,求。。的半径.

16.（2022・全国•九年级课时练习）如图1,在Rt△4BC中，乙4=90。，AB=aC,点D,E分别在边4B,AC

上，AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.

⑴观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是

⑵探究证明：把AADE绕点力逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断APMN的形状，并

说明理由；

⑶拓展延伸：把△力DE绕点4在平面内自由旋转，若4。=4,48=10,请直接写出APMN面积的最大值.

17.(2022,全国•九年级课时练习)已知NMON=a，点A,8分别在射线OM,ON上运动，AB=6.

图①图②图③

⑴如图①，若a=90。，取A8中点。，点A,B运动时，点。也随之运动，点A,2,D的对应点分别为4,B',D',

连接。D,。。'.判断。。与OD'有什么数量关系?证明你的结论：

⑵如图②，若a=60。，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点。与点C的最大距离：

(3)如图③，若a=45。，当点A,2运动到什么位置时，A20B的面积最大?请说明理由，并求出AAOB面积

的最大值.

18.（2022,贵州遵义•二模）小颖复习尺规作图时，RtaABCQACB=90°）进行如下操作（如图）：

①以点8为圆心，适当长为半径画弧，交区4于点。，交BC于点P,再分别以点P,。为圆心，大于^PQ的

长为半径画弧，两弧交于点作射线88；

②以点4为圆心，适当长为半径画弧，交4B于点交AC于点N,再分别以点M,N为圆心，大于|MN的

长为半径画弧，两弧交于点G,作射线AG交射线于点O；

③作射线CO交A8于点。，且NC£M=90。，以点。为圆心，。。为半径作。。，交AC于点E,交BC于

点R构成如图所示的阴影部分.

⑴求证：RtAABC是等腰直角三角形;

（2）若4C=2,求图中阴影部分的面积.

19.(2022•湖南,长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习)如图，是回。的直径，点P在回。上，且以=PB,

点M是国。外一点，与回。相切于点8,连接。M,过点A作AC/OM交回。于点C,连接BC交。/于