人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.1 任意角和弧度制-重难点题型精讲及检测（教师版）

第第页专题5.1任意角和弧度制-重难点题型精讲1．任意角(1)角的概念角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)角的表示如图：

①始边：射线的起始位置OA；

②终边：射线的终止位置OB；

③顶点：射线的端点O；

④记法：图中的角可记为“角SKIPIF1<0”或“SKIPIF1<0”或“AOB”.(3)角的表示在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定：这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.(4)角的相等设角SKIPIF1<0由射线OA绕端点O旋转而成，角SKIPIF1<0由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(5)角的加、减法①角的加法

设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是任意两个角.我们规定，把角SKIPIF1<0的终边旋转角SKIPIF1<0，这时终边所对应的角是SKIPIF1<0+SKIPIF1<0.

②相反角的概念

我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角SKIPIF1<0的相反角记为-SKIPIF1<0.

③角的减法

像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(-SKIPIF1<0).这样，角的减法可以转化为角的加法.2．象限角与终边相同的角(1)终边相同的角若角SKIPIF1<0,SKIPIF1<0终边相同，则它们的关系为：将角SKIPIF1<0的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角SKIPIF1<0.

一般地，我们有：所有与角SKIPIF1<0终边相同的角，连同角SKIPIF1<0在内，可构成一个集合SKIPIF1<0，即任一与角SKIPIF1<0终边相同的角，都可以表示成角SKIPIF1<0与整数个周角的和.(2)象限角、轴线角①象限角、轴线角的概念在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.

②象限角的集合表示

③轴线角的集合表示

(3)区间角、区域角

区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如SKIPIF1<0.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角.(4)角的终边的对称问题与垂直问题

角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：3．角度制、弧度制的概念(1)角度制角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的SKIPIF1<0.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.(2)弧度制的相关概念①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.(3)弧度数在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为SKIPIF1<0rad，那么SKIPIF1<0.其中，SKIPIF1<0的正负由角SKIPIF1<0的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.4．角度与弧度的换算(1)弧度与角度的换算公式(2)特殊角的度数与弧度数的对应表(3)用弧度表示终边相同的角用弧度表示与角SKIPIF1<0终边相同的角的一般形式为SKIPIF1<0，这些角所组成的集合为SKIPIF1<0.5．弧长公式、扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(1)弧长公式由公式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.(2)扇形面积公式SKIPIF1<0.(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示6．弧度制下角的终边的对称与垂直角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，若两个角的终边关于某条直线（或点）对称，则这两个角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：【题型1终边相同的角的表示】【方法点拨】根据与角SKIPIF1<0终边相同的角的集合为SKIPIF1<0，进行求解即可．【例1】（2022·山东·高二阶段练习）下列与角2π3的终边一定相同的角是（

A．5π3B．k·360∘+2π3(k∈Z)C．2kπ+2π3【解题思路】根据终边相同角的表示，即可得解.【解答过程】与角2π3终边相同角可以表示为{α|α=2π3+2kπ,k∈对A，由{α|α=2π3+2kπ,k∈Z}找不到整数k对B，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误，C项正确，对D项，当k=0时，角为5π3，当k=−1时，角为−π3【变式1-1】（2022·浙江高一期末）下列选项中与角α=−30°终边相同的角是（A．30∘ B．240∘ C．390∘【解题思路】写出与角α=−30∘终边相同的角的集合，取【解答过程】解：与角α=−30∘终边相同的角的集合为取k=1时，β=−30【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）终边落在直线y=3x上的角α的集合为（A．αα=k⋅180°+30°,k∈Z C．αα=k⋅360°+30°,k∈Z D．【解题思路】先确定y=3x的倾斜角为【解答过程】易得y=3x的倾斜角为60∘，当终边在第一象限时，α=60°+k⋅360°当终边在第三象限时，α=240°+k⋅360°，k∈Z．所以角α的集合为αα=k⋅180°+60°,k∈故选：B.【变式1-3】（2022·全国·高一课时练习）如果角α与角x＋45°具有相同的终边，角β与角x－45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是（

）A．α+β=0° B．α−β=90°C．α+β=k⋅360°k∈Z D．【解题思路】先根据终边相同的角分别表达出α,β，再分析α+β，α−β即可.【解答过程】利用终边相同的角的关系，得α=n⋅360°+x+45°n∈Z，β=m⋅360°+x−45°则α+β=m+n⋅360°+2xn∈Z,m∈Z又α−β=n−m360°+90°n∈Z,m∈Z．因为m，n是整数，所以n－m所以α−β=k⋅360°+90°k∈Z【题型2象限角的判定】【方法点拨】判断角SKIPIF1<0是第几象限角的常用方法为将SKIPIF1<0写成SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0范围内）的形式，观察角SKIPIF1<0的终边所在的象限即可.【例2】（2021·福建省高三开学考试）已知点α=130°，则角α的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】根据象限角概念求解即可.【解答过程】因为90°<130°<180【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（

）A．第一象限角一定不是负角B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．钝角的终边在第二象限【解题思路】根据象限角与角的定义逐个选项辨析即可.【解答过程】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．故选：D．【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（

）A．第二象限角大于第一象限角B．若k⋅360°<α<k⋅360°+180°k∈Z，则αC．钝角一定是第二象限角D．三角形的内角是第一或第二象限角【解题思路】利用任意角的知识，对选项分别判断即可.【解答过程】对A选项，如−210°<30°，故A错误.对B选项，α为第一或第二象限角或终边落在y轴正半轴上的角．故B错误.对C选项，因为钝角大于90°且小于180°，所以钝角一定是第二象限角，故C正确.对D选型，当三角形的一个内角为90°时，不是象限角，故D错误.故选:C.【变式2-3】（2022·全国·高一课时练习）设α是第三象限角，且sinα2=−sinαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】由α是第三象限角，求出α2所在的象限，再由sin【解答过程】因为α是第三象限角，所以π+2kπ<α<3π2+2kπ，k∈Z，所以π2+kπ【题型3角度与弧度的换算】【方法点拨】根据角度与弧度的换算公式进行换算，再进行求解即可.【例3】（2022·安徽省高一开学考试）315°角的弧度数为（

）A．3π4 B．7π4 C．−π【解题思路】利用公式可求315°角的弧度数.【解答过程】315°角对应的弧度数为315180【变式3-1】（2022·全国·高一课时练习）下列结论错误的是（

）A．－150°化成弧度是−7π6rad C．67°30'化成弧度是3π8rad【解题思路】利用弧度和度的互化公式对选项进行逐一验证即可得出答案.【解答过程】对于A，−150°=−150×π180=−B正确；对于C，67°30'=67.5×【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）210°化成弧度是（

）A．5π6 B．7π6 C．5π12【解题思路】直接根据角度制与弧度制的互化即可得解.【解答过程】解：210°=210×π【变式3-3】（2021·四川成都·高一期末）75°用弧度制表示为（

）A．π75 B．π3 C．5π12【解题思路】直接利用角度与弧度间的互化公式求解即可【解答过程】75°=75×π【题型4角的终边的对称问题与垂直问题】【方法点拨】根据角SKIPIF1<0终边的位置关系，进行求解即可.【例4】（2022·全国·高一课时练习）若α=k⋅360°+θ，β=m⋅360°−θk,m∈Z，则角α与角β的终边一定（

A．重合 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称【解题思路】根据角θ与角−θ的终边关于x轴对称即可得解.【解答过程】解：因为角θ与角−θ的终边关于x轴对称，所以角α与角β的终边一定也关于x轴对称．故选：C.【变式4-1】（2020·河南洛阳·高一期中）若α=2kπ+θ,β=2k+1π−θ,其中k∈Z,则角αA．关于原点对称 B．关于x轴对称C．关于y轴对称 D．关于y=x对称【解题思路】根据角度的终边周期性分析即可.【解答过程】根据角度的性质有α=2kπ+θ与θ的终边相同,β=2k+1π−θ与π−θ的终边相同,且θ的终边与π−θ的终边关于y轴对称,故角α【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为（）A．β＝α+90° B．β＝α±90°C．β＝α+90°+k•360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k•360°（k∈Z）【解题思路】根据终边关系直接可得.【解答过程】∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°+k•360°（k∈Z）．故选：D．【变式4-3】（2022·全国·高一课时练习）若2π<α<4π，且角α的终边与角−7π6的终边垂直，则α=A．7π3 B．10π3 C．4π3【解题思路】先得到角−7π6的终边相同的角的集合为B=β|β=56π+2kπ,k∈Z,因为角α的终边与角−7π6的终边垂直,所以角α的终边相同的角的集合为【解答过程】由题,设角−7π6的终边相同的角的集合为因为角α的终边与角−7π6的终边垂直,则α=β+所以角α的终边相同的角的集合为A=α|α=43因为2π<α<4π,所以当k=1时,α=10π3或【题型5弧长公式与扇形面积公式的应用】【方法点拨】结合具体条件，利用弧长公式与扇形面积公式进行转化求解即可.【例5】（2023·广东·高三学业考试）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（）A．12 B．23 C．3【解题思路】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．【解答过程】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则αr=3,12αr【变式5-1】（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB的周长为（

）A．32 B．24 C．62 D．【解题思路】根据扇形面积和弧长公式即可求解.【解答过程】圆心角α=2，扇形面积S=12αr2故扇形AOB的周长L=【变式5-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（

）．A．2.3 B．2.5 C．2.4 D．2.6【解题思路】根据弧长之比得到半径之比，从而求出小扇形的半径，再根据弧长公式计算可得.【解答过程】解：如图，依题意可得弧AB的长为60cm，弧CD的长为20则OAOC=6020=3，即OA=3OC．因为AC=16故选：B.【变式5-3】（2022·广东·高二期中）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA=OB=r，弧AB的长为l(l<r).为了方便观光，欲在A,B两点之间修建一条笔直的走廊AB.若当0<x<12时，sinx≈x−x36，扇形OAB的面积记为A．2l−r212l3B．【解题思路】由题可得AB=2rsinl2r【解答过程】设扇形OAB的圆心角为α，则α=lr，在△OAB中，又S=12lr，∴ABS=2r【题型6与弧度有关的实际应用问题】【方法点拨】先读懂题意，明确题干的叙述，然后将所求问题转化为弧度的问题，如角度的表示、弧度制下的弧长及扇形面积等，最后回归到实际问题，得到答案.【例6】（2022·湖南·高一课时练习）时钟的分针长6cm，从10:30到10:55，求：(1)分针转过的角的弧度数；(2)分针扫过的扇形的面积；(3)分针尖端所走过的弧长．【解题思路】（1）根据每5钟分针转30°（2）根据扇形的面积公式进行求解即可；（3）根据弧长公式进行求解即可.【解答过程】(1)因为从10:30到10:55，所以一共走了25分钟，而每5钟分针转30°所以分针转过的角为(25÷5)×30°=又因为分针转过的角度为负数，所以分针转过的角的弧度数为−5π(2)因为分针长6cm，所以分针尖端所走过的弧长为：5π6因此分针扫过的扇形的面积为：12(3)因为分针长6cm，所以分针尖端所走过的弧长为：−5π【变式6-1】（2022·湖南·高一课时练习）半径为12cm的轮子，以400r/min的速度按顺时针方向旋转．(1)轮沿上的点A每秒转过的度数是多少？相应的弧度数呢？(2)求轮沿上的点B在轮子转动1000°时所经过的路程．【解题思路】（1）由每分钟的转速求每秒转过的弧数，再换算成度数即可.（2）先求出1000°对应的弧度，利用弧长公式求所经过的路程.【解答过程】(1)由题设，A每秒转过的弧数40060×2π=40π(2)由1000°×π180°=50π9【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min，小轮的半径为10cm，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？【解题思路】通过相互咬合的两个齿轮转动的齿数相同，得到小轮转动的角度，再通过大轮的转速，得到小轮的转速.【解答过程】由题意得，相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，所以当大轮旋转一周时，大轮转了48个齿，小轮转了20齿，所以小轮转动了4820=125周，即所以当大轮的转速为150r/min时，小轮的转速为125所以小轮圆周上的点每秒转过的弧度数为360×2π÷60=12π，因为小轮的半径为10cm，所以小轮圆周上的点每秒转过的弧长为12π×10=120πcm.【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）单位圆上有两个动点M、N，同时从P1,0点出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向每秒钟走π6rad，点N【解题思路】设两个动点从P1,0出发，ts后M、N第三次相遇，根据题中条件可得出关于t的等式，求出【解答过程】设两个动点从P1,0出发，ts后M、N第三次相遇，则π6此时点M走了π6×12=2πrad，点N走了π专题5.1任意角和弧度制-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（

）A．60° B．−60° C．30° D．−30°【解题思路】根据任意角的概念计算可得.【解答过程】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢5分钟，转过的角为5602．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将−885∘化为α+k⋅360A．−165°+C．195°+−2【解题思路】直接由终边相同的角的概念求解即可.【解答过程】由α∈0°,3．（3分）（2021·全国·高一单元测试）在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是（

）.A．α=−βB．α+β=360∘⋅kk∈ZC．【解题思路】本题可通过角α与角β的终边关于x轴对称得出角β=2kπ−α，然后通过计算并与题目中的四个选项对比即可得出结果.【解答过程】因为角−α与角α的终边关于x轴对称，所以角β与角−α的终边相同，即β=2kπ−αk∈Z所以α+β=α+2kπ−α=2kπk∈Z4．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知α∈α45°+k⋅360°≤α≤90°+k⋅360°，则角α的终边落在的阴影部分是（A．B．C．D．【解题思路】令k=0即可判断出正确选项.【解答过程】令k=0，得45°≤α≤90°，则B选项中的阴影部分区域符合题意.故选：B．5．（3分）（2022·江西省高一阶段练习）下列说法中，正确的是（

）A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角C．−150°是第二象限的角 D．−252°16【解题思路】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解【解答过程】对于A：当角为510°是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；对于B：分别取第一象限的角为730°，第二象限角510°，此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；对于C：−150°是第三象限的角，故C错误；对于D：因为467°44所以−252°166．（3分）（2022·辽宁高二开学考试）下面关于弧度的说法，错误的是（

）A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则n180C．长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角的弧度数为2πD．航海罗盘半径为10cm，将圆周32等分，每一份的弧长为5π【解题思路】根据弧度制与角度制的定义，以及转化关系，即可判断选项.【解答过程】A.根据弧度数定义可知A正确；B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；C.根据三角形关系可知，长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角为120∘，即弧度数为2πD.圆周长为2πr=20πcm，32等分后，每一份弧长为5π7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知OA=0.2m,AD=0.3m,∠AOB=100°，则该扇环形砖雕的面积为（A．π6 B．π12 C．π12【解题思路】根据扇形的面积公式公式即可求解.【解答过程】由100∘S扇环8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（

）A．56π3 B．14π C．24π 【解题思路】根据弧长公式l=α×r可求得AD，同理可求得其他弧的长度.【解答过程】扇形ABD的半径为1，圆心角为2π3，所以AD的长l同理可得之后的各段弧长分别为l2=2π3×2，l3=所以“螺旋蚊香”图案的总长度l=2π3×(1+2+3+4+5+6)=二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】设出扇形所在圆的半径及其弧长，再由条件列出方程求解即可作答.【解答过程】设扇形的半径为r，弧长为l，则2r+l=6,12lr=2,解得r=1,又圆心角α=lr，所以α=4或10．（4分）（2022·山东·高二阶段练习）下列命题正确的是（

）A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为αB．终边落在y轴上的角的集合为α∣α=90°+kπ,k∈ZC．第三象限角的集合为α∣π+2kπ≤α≤D．在−720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为−675°和−315°【解题思路】根据任意角的定义判断即可.【解答过程】终边落在x轴的非负半轴的角的集合为α∣α=2kπ,k∈Z故A正确.终边落在y轴上的角的集合为α∣α=90°+kπ,k∈Z属于角度制和弧度制的混用，故B错误.第三象限角的集合为α∣π+2kπ<α<3π−720°~0°范围内所有与45°角可以表示为αα=45∘+36011．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列结论中不正确的是（

）A．终边经过点(a,−a)(a≠0)的角的集合是{α|α=−B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是πC．若α是第一象限角，则α2是第一象限角，2αD．M={x|x=45°+k⋅90°,k∈Z}，N={y|y=90°+k⋅45°,k∈Z}，则M⊆N【解题思路】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D．【解答过程】对于选项A：终边经过点a,−aa≠0的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是α对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是−π3，错误；对于选项C：若α=400对于选项D：M=xx=45°+k⋅90°,k∈Z={x|x=2k+1×45∘，k∈Z}而k+2×45∘，k∈Z12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（

）A．经过1s后，∠BOA的弧度数为π3＋3B．经过π12s后，扇形AOBC．经过π6s后，扇形AOB的面积为π3D．经过5π9s后，A【解题思路】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.【解答过程】经过1s后，质点A运动1rad，质点B运动2rad，此时∠BOA的弧度数为π3经过π12s后，∠AOB=π12+π3经过π6s后，∠AOB=π6+π设经过ts后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1+2)+π3=2π故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·上海·高一阶段练习）已知角α与角β的终边关于直线y=x对称，则α与β的关系为β=π2【解题思路】先在0∼2π得出α与β的关系，然后由终边相同的角的关系得出答案.【解答过程】若α与β均在0∼2π内时，如图1：则β−α=2π4−α=如图2：则β−α=25π4−α=由终边相同的角的关系可得：β=π2−α+2kπ,k∈Z.所以α与β故答案为：β=π14．（4分）（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第一象限角．【解题思路】利用象限角的定义进行求解.【解答过程】若α是第二象限角，则k⋅360∘+90∘<α<k⋅360∘+180∘所以180°－α是第一象限角．故答案为：一.15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合是[2kπ−π6【解题思路】确定以边界为终边的角，即可得角θ的集合.【解答过程】由题图，终边OB对应角为2kπ−π6且k∈Z，终边OA对应角为2kπ+所以阴影部分角θ的集合是[2kπ−π6,2kπ+16．（4分）（2022·浙江·高一期中）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧AB的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为18π【解题思路】由弧长公式可求得等边△ABC的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个△ABC的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.【解答过程】解：由题意可知∠ABC=∠ACB=∠BAC=π3，设则弧AB的长度为π3r=2π，所以r=6，设弧ABS△ABC3S−2S△ABC=3×四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·河南南阳·高一期中）时间经过2小时20分钟，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？【解题思路】根据时钟的转动规律，先求出每分钟时针和分针转动的角度，进而求出经过2小时20分钟，时针、分针转动的角度即可，结合角度制和弧度制的换算即可.【解答过程】每经过1分钟，时针转了−360°12×60=−0.5°时间经过2小时20分钟，则时针转了−0.5°×140=−70°，等于−70°×π则分针转了−6°×140=−840°，等于−840°×π18．（6分）（2022·上海·高一课时练习）写出下列角α与β的关系.（1）角α与β的终边互相垂直；（2）角α与β的终边互为反向延长线；（3）角α与β的终边关于y轴对称【解题思路】（1）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得α−β=90∘+k⋅（2）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得α−β=180∘+k⋅（3）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得α+β2=90【解答过程】（1）若角α与β的终边互相垂直，则α−β=90∘+k⋅所以β=α+k⋅360（2）若角α与β的终边互为反向延长线，则α−β=180∘+k⋅所以β=α+180（3）若